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1.（教材P49例5变式）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$AB$的中点，且$CA=CD$，则$∠ B$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$65°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
1. A
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，$D$是$AB$的中点. 现将$△ BCD$沿$BA$方向平移$2\ \mathrm{cm}$，得到$△ EFG$，$FG$交$AC$于点$H$，则$GH$的长为
6
$\mathrm{cm}$.答案
2. 6
3. (2026·江苏南京期中)如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,BE是边AC上的中线,$BD=CE,DF ⊥ BE$于点F.
(1) 求证:$BF=EF$;
(2) 若$∠ AEB=72°$,求$∠ EBC$的度数.
(1) 求证:$BF=EF$;
(2) 若$∠ AEB=72°$,求$∠ EBC$的度数.
答案
3. (1) 由题意,得$AD⊥BC$,E 为 AC 的中点,所以$AE=CE=DE=\frac{1}{2}AC$. 因为$BD=CE$,所以$BD=DE$. 又$DF⊥BE$,所以$BF=EF$.
(2) 由(1),得$BD=DE=CE$,所以$∠EBC=∠DEB$,$∠EDC=∠C$. 因为$∠EDC=∠EBC+∠DEB$,$∠AEB=∠C+∠EBC$,所以$∠AEB=3∠EBC$. 又$∠AEB=72°$,所以$∠EBC=24°$.
(2) 由(1),得$BD=DE=CE$,所以$∠EBC=∠DEB$,$∠EDC=∠C$. 因为$∠EDC=∠EBC+∠DEB$,$∠AEB=∠C+∠EBC$,所以$∠AEB=3∠EBC$. 又$∠AEB=72°$,所以$∠EBC=24°$.
4. 亮点原创·如图，在等边三角形ABC中，AD是角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC。若∠ABE=15°，△EBC的面积是9，则BC的长是（
A.3
B.4
C.6
D.4.5
（第4题）
C
）A.3
B.4
C.6
D.4.5
（第4题）答案
4. C 解析:由题意,得 AD 垂直平分 BC,$∠ABC=60°$,所以 $BE = CE$, $AD ⊥ BC$, D 是 BC 的中点,即$∠BCE=∠CBE$. 因为$∠ABE=15°$,所以$∠CBE=∠ABC - ∠ABE = 45°$,即 $∠BCE = 45°$. 所以$∠BEC = 180° - ∠BCE - ∠CBE = 90°$,即 $DE = \frac{1}{2} BC$. 又$△EBC$ 的面积是 9,且 $S_{△EBC}=\frac{1}{2} BC · DE$,所以$\frac{1}{2} BC · \frac{1}{2} BC =9$,即 $BC^2=36$. 又$(±6)^2=36$,所以 $BC=6$(负值已舍去). 则 BC 的长是 6.
5. 如图，在$△ ABC$中，D是BC上一点，$AB=AD$，E，F分别是AC，BD的中点.若$EF=2$，则AC的长是
4
.答案
5. 4 解析:连接 AF. 因为 $AB=AD$,F 是 BD 的中点,所以 $AF⊥BD$,即 $AF⊥BC$. 所以$∠AFC=90°$. 又 E 是 AC 的中点,所以 $EF=\frac{1}{2} AC$. 又 $EF=2$,所以 $AC=4$.
6.（2026·江苏苏州期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，连接BD，BE，DE.
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BCD=
（3）当∠ADE+∠ABE=45°时，若BD=5，取BD的中点F，求EF的长.
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BCD=
150
°时，△BED是等边三角形；（3）当∠ADE+∠ABE=45°时，若BD=5，取BD的中点F，求EF的长.
答案
6. (1) 因为$∠ABC=∠ADC=90°$,E 是边 AC 的中点,所以 $BE=\frac{1}{2} AC$,$DE=\frac{1}{2} AC$,即 $BE=DE$. 所以$△BED$ 是等腰三角形.
(2) 150 解析:因为$∠ABC=∠ADC=90°$,E 是边 AC 的中点,所以 $AE=CE=BE=DE=\frac{1}{2} AC$,即$∠ADE=∠DAE$,$∠ABE=∠BAE$. 因为$∠DAE+∠ADE = ∠DEC$,$∠ABE + ∠BAE = ∠BEC$,$∠DAB = ∠DAE + ∠BAE$,$∠DEB = ∠DEC + ∠BEC$,所以$∠DAB=\frac{1}{2} ∠DEB$. 因为$△BED$ 是等边三角形,所以$∠DEB=60°$,即$∠BAD=30°$. 所以$∠BCD=360°-∠ADC-∠ABC-∠BAD=150°$.
(3) 同(2),得 $BE=DE$,$∠ADE=∠DAE$,$∠ABE=∠BAE$,$∠DEB=2∠DAB$. 又$∠DAB=∠DAE+∠BAE$,$∠ADE+∠ABE=45°$,所以$∠DAB=45°$,即$∠DEB=90°$. 因为 F 为 BD 的中点,所以 $EF=\frac{1}{2} BD$. 又 $BD=5$,所以 $EF=\frac{5}{2}$.
(2) 150 解析:因为$∠ABC=∠ADC=90°$,E 是边 AC 的中点,所以 $AE=CE=BE=DE=\frac{1}{2} AC$,即$∠ADE=∠DAE$,$∠ABE=∠BAE$. 因为$∠DAE+∠ADE = ∠DEC$,$∠ABE + ∠BAE = ∠BEC$,$∠DAB = ∠DAE + ∠BAE$,$∠DEB = ∠DEC + ∠BEC$,所以$∠DAB=\frac{1}{2} ∠DEB$. 因为$△BED$ 是等边三角形,所以$∠DEB=60°$,即$∠BAD=30°$. 所以$∠BCD=360°-∠ADC-∠ABC-∠BAD=150°$.
(3) 同(2),得 $BE=DE$,$∠ADE=∠DAE$,$∠ABE=∠BAE$,$∠DEB=2∠DAB$. 又$∠DAB=∠DAE+∠BAE$,$∠ADE+∠ABE=45°$,所以$∠DAB=45°$,即$∠DEB=90°$. 因为 F 为 BD 的中点,所以 $EF=\frac{1}{2} BD$. 又 $BD=5$,所以 $EF=\frac{5}{2}$.
7. (2026·江苏泰州期中)如图，∠MON=90°,Rt△ABC的顶点A,B分别在OM,ON上，∠ACB=90°,点A从点O出发沿射线OM运动，同时点B从点O出发沿射线ON运动，连接OC.若AB=5，则OC的长的最大值是
5
.答案
7. 5 解析:取线段 AB 的中点 D,连接 OD,CD. 因为$∠MON=90°$,所以 $∠AOB = 90°$. 所以 $OD =\frac{1}{2} AB$. 同理,得 $CD=\frac{1}{2} AB$. 又 $AB=5$,所以 $OD=CD=\frac{5}{2}$. 又$OC≤OD+CD=5$,所以当 O,D,C 三点共线时,OC 的长取最大值,且最大值是 5.
