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1. 已知在等腰三角形中，一个角的度数比另一个角的2倍少$20°$,则该等腰三角形顶角的度数为
140°或80°或44°
.答案
1. $140°$或$80°$或$44°$
解析:设两个角的度数分别为 $x$,$2x-20°$,则第三个角的度数为 $180°-x-2x+20°=200°-3x$. 因为该三角形是等腰三角形,所以分类讨论如下: 当 $x=2x-20°$ 时, $x=20°$. 则 $200°-3x=140°$. 所以该等腰三角形的三个内角度数分别是 $20°$,$20°$,$140°$,即该等腰三角形顶角的度数为 $140°$; 当 $x=200°-3x$ 时, $x=50°$. 则 $2x-20°=80°$. 所以该等腰三角形的三个内角度数分别为 $50°$,$50°$,$80°$,即该等腰三角形顶角的度数为 $80°$; 当 $2x-20°=200°-3x$ 时, $x=44°$. 则 $2x-20°=68°$. 所以该等腰三角形的三个内角度数分别为 $44°$,$68°$,$68°$,即该等腰三角形顶角的度数为 $44°$. 综上,该等腰三角形顶角的度数为 $140°$或$80°$或$44°$.
解析:设两个角的度数分别为 $x$,$2x-20°$,则第三个角的度数为 $180°-x-2x+20°=200°-3x$. 因为该三角形是等腰三角形,所以分类讨论如下: 当 $x=2x-20°$ 时, $x=20°$. 则 $200°-3x=140°$. 所以该等腰三角形的三个内角度数分别是 $20°$,$20°$,$140°$,即该等腰三角形顶角的度数为 $140°$; 当 $x=200°-3x$ 时, $x=50°$. 则 $2x-20°=80°$. 所以该等腰三角形的三个内角度数分别为 $50°$,$50°$,$80°$,即该等腰三角形顶角的度数为 $80°$; 当 $2x-20°=200°-3x$ 时, $x=44°$. 则 $2x-20°=68°$. 所以该等腰三角形的三个内角度数分别为 $44°$,$68°$,$68°$,即该等腰三角形顶角的度数为 $44°$. 综上,该等腰三角形顶角的度数为 $140°$或$80°$或$44°$.
2. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，其中一个内角的度数是$40°$，点$D$在直线$BC$上，连接$AD$。若$△ ABD$为直角三角形，则$∠ ADC$的度数为________。
答案
2. $130°$或$90°$或$20°$
解析: 因为 $AB=AC$, 所以 $∠ B=∠ C$. 又$△ ABC$ 中一个内角的度数是 $40°$, 所以 $∠ B=∠ C=40°$ 或 $∠ BAC=40°$. 又点 $D$ 在直线 $BC$ 上, 且 $△ ABD$ 是直角三角形, 所以分类讨论如下:① 如图①, 当 $∠ B=∠ C=40°$, $∠ BAD=90°$ 时, $∠ ADC=∠ BAD+∠ B=130°$; ② 如图②, 当 $∠ B=∠ C=40°$, $∠ ADB=90°$ 时, $∠ ADC=180°-∠ ADB=90°$; ③ 如图③, 当 $∠ BAC=40°$, $∠ ADB=90°$ 时, $∠ ADC=180°-∠ ADB=90°$; ④ 如图④, 当 $∠ BAC=40°$, $∠ BAD=90°$ 时, $∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=70°$. 又 $∠ B+∠ ADC=90°$, 所以 $∠ ADC=20°$. 综上, $∠ ADC$ 的度数为 $130°$或$90°$或$20°$.
3.（2026·江苏苏州期末）若一个等腰三角形的一边长是另一边长的k倍，则把这样的等腰三角形叫作“k倍边等腰三角形”.若一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18 cm，则该等腰三角形的底边长为（
A.12 cm
B.12 cm或2 cm
C.2 cm
D.4 cm或12 cm
C
）A.12 cm
B.12 cm或2 cm
C.2 cm
D.4 cm或12 cm
答案
3. C
解析:设该等腰三角形的较短边长为 $x\ \mathrm{cm}(x＞0)$,则较长边长为 $4x\ \mathrm{cm}$. ① 当 $x\ \mathrm{cm}$ 为腰长,$4x\ \mathrm{cm}$ 为底边长时. 因为 $x+x＜4x$,所以此时不能组成三角形,即这种情况不存在; ② 当 $4x\ \mathrm{cm}$ 为腰长,$x\ \mathrm{cm}$ 为底边长时,因为 $4x+4x＞x$,所以此时能组成三角形. 因为该等腰三角形的周长为 $18\ \mathrm{cm}$,所以 $4x+4x+x=18$,解得 $x=2$. 所以该等腰三角形的底边长为 $2\ \mathrm{cm}$.
解析:设该等腰三角形的较短边长为 $x\ \mathrm{cm}(x＞0)$,则较长边长为 $4x\ \mathrm{cm}$. ① 当 $x\ \mathrm{cm}$ 为腰长,$4x\ \mathrm{cm}$ 为底边长时. 因为 $x+x＜4x$,所以此时不能组成三角形,即这种情况不存在; ② 当 $4x\ \mathrm{cm}$ 为腰长,$x\ \mathrm{cm}$ 为底边长时,因为 $4x+4x＞x$,所以此时能组成三角形. 因为该等腰三角形的周长为 $18\ \mathrm{cm}$,所以 $4x+4x+x=18$,解得 $x=2$. 所以该等腰三角形的底边长为 $2\ \mathrm{cm}$.
4.（2025·江苏无锡二模）如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=120°$，点$D$在线段$AB$上运动（点$D$不与$A$，$B$两点重合），连接$CD$，作$∠ CDE=30°$，$DE$交$BC$于点$E$。若$△ CDE$是等腰三角形，则$∠ ADC$的度数是
60°或105°
。答案
4. $60°$或$105°$
解析:设 $∠ ACD=x$. 因为 $∠ ACB=120°$, 所以 $∠ DCE=∠ ACB-∠ ACD=120°-x$. 又 $AC=BC$, 所以 $∠ A=∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=30°$. 又 $∠ BDC=∠ A+∠ ACD$, $∠ BDC=∠ BDE+∠ CDE$, $∠ CDE=30°$, 所以 $∠ BDE=∠ ACD=x$. 又 $∠ CED=∠ BDE+∠ B$, 所以 $∠ CED=30°+x$. 若 $△ CDE$ 是等腰三角形, 则 $CD=CE$ 或 $DE=CE$ 或 $CD=DE$. 当 $CD=CE$ 时, $∠ CDE=∠ CED$, 则 $30°=30°+x$, 解得 $x=0°$. 则此时 $A,D$ 两点重合. 这与点 $D$ 不与 $A,B$ 两点重合矛盾, 所以此种情况不存在; 当 $DE=CE$ 时, $∠ CDE=∠ DCE$, 则 $30°=120°-x$, 解得 $x=90°$. 则 $∠ ACD=90°$. 所以 $∠ A+∠ ADC=90°$, 即 $∠ ADC=90°-∠ A=60°$; 当 $CD=DE$ 时, $∠ DCE=∠ CED$, 则 $120°-x=30°+x$, 解得 $x=45°$. 则 $∠ ACD=45°$. 又 $∠ A+∠ ACD+∠ ADC=180°$, 所以 $∠ ADC=180°-∠ A-∠ ACD=105°$. 综上, $∠ ADC$ 的度数是 $60°$或$105°$.
解析:设 $∠ ACD=x$. 因为 $∠ ACB=120°$, 所以 $∠ DCE=∠ ACB-∠ ACD=120°-x$. 又 $AC=BC$, 所以 $∠ A=∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=30°$. 又 $∠ BDC=∠ A+∠ ACD$, $∠ BDC=∠ BDE+∠ CDE$, $∠ CDE=30°$, 所以 $∠ BDE=∠ ACD=x$. 又 $∠ CED=∠ BDE+∠ B$, 所以 $∠ CED=30°+x$. 若 $△ CDE$ 是等腰三角形, 则 $CD=CE$ 或 $DE=CE$ 或 $CD=DE$. 当 $CD=CE$ 时, $∠ CDE=∠ CED$, 则 $30°=30°+x$, 解得 $x=0°$. 则此时 $A,D$ 两点重合. 这与点 $D$ 不与 $A,B$ 两点重合矛盾, 所以此种情况不存在; 当 $DE=CE$ 时, $∠ CDE=∠ DCE$, 则 $30°=120°-x$, 解得 $x=90°$. 则 $∠ ACD=90°$. 所以 $∠ A+∠ ADC=90°$, 即 $∠ ADC=90°-∠ A=60°$; 当 $CD=DE$ 时, $∠ DCE=∠ CED$, 则 $120°-x=30°+x$, 解得 $x=45°$. 则 $∠ ACD=45°$. 又 $∠ A+∠ ACD+∠ ADC=180°$, 所以 $∠ ADC=180°-∠ A-∠ ACD=105°$. 综上, $∠ ADC$ 的度数是 $60°$或$105°$.
5. 已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为$35°$,则该等腰三角形顶角的度数为（
A.$70°$
B.$75°$
C.$20°$
D.$70°$或$20°$
A
）A.$70°$
B.$75°$
C.$20°$
D.$70°$或$20°$
答案
5. A
解析:如图,当该等腰三角形是锐角三角形时. 由题意,得 $AB=AC$, $BD ⊥ AC$, $∠ CBD=35°$, 所以 $∠ ABC=∠ C$, $∠ C+∠ CBD=90°$, 即 $∠ ABC=∠ C=55°$. 所以 $∠ A=180°-∠ ABC-∠ C=70°$, 即该等腰三角形顶角的度数为 $70°$; 当该等腰三角形是直角三角形时,高即为腰,高与底边的夹角为 $45°$, 不符合题意; 当该等腰三角形是钝角三角形时,顶角为钝角. 同理,得该等腰三角形顶角的度数为 $70°$, 不符合题意. 综上,该等腰三角形顶角的度数为 $70°$.
6. 已知等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成两部分，其中一部分比另一部分少3，则该等腰三角形的底边长为
6或10
。答案
6. 6或10
解析:设该等腰三角形的腰长为 $x$,底边长为 $y$. 由题意,得 $\begin{cases}2x+y=24,\\x+\frac{x}{2}=y+\frac{x}{2}+3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2x+y=24,\\x+\frac{x}{2}=y+\frac{x}{2}-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=9,\\y=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=7,\\y=10.\end{cases}$ 经检验,均符合题意. 所以该等腰三角形的底边长为6或10.
解析:设该等腰三角形的腰长为 $x$,底边长为 $y$. 由题意,得 $\begin{cases}2x+y=24,\\x+\frac{x}{2}=y+\frac{x}{2}+3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2x+y=24,\\x+\frac{x}{2}=y+\frac{x}{2}-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=9,\\y=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=7,\\y=10.\end{cases}$ 经检验,均符合题意. 所以该等腰三角形的底边长为6或10.
7. (2025·江苏盐城二模)如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动.若以O，A，B三点为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB的度数为
25°或50°或65°或80°
.答案
7. $25°$或$50°$或$65°$或$80°$
解析: 因为以 $O,A,B$ 三点为顶点的三角形是等腰三角形, 所以有 $OA=OB$ 或 $OA=AB$ 或 $OB=AB$ 三种情况. 当 $OA=OB$ 时, $∠ OAB=∠ OBA$. 若点 $B$ 在直线 $a$ 的下方, 则 $∠ 1=∠ OAB+∠ OBA$. 又 $∠ 1=50°$, 所以 $∠ OAB=25°$; 若点 $B$ 在直线 $a$ 的上方, 则 $∠ 1+∠ OAB+∠ OBA=180°$. 所以 $∠ OAB=\frac{1}{2}(180°-∠ 1)=65°$. 当 $OA=AB$ 时, $∠ OBA=∠ 1$. 又 $∠ OAB+∠ OBA+∠ 1=180°$, 所以 $∠ OAB=180°-2∠ 1=80°$. 当 $OB=AB$ 时, $∠ OAB=∠ 1=50°$. 综上, $∠ OAB$ 的度数为 $25°$或$50°$或$65°$或$80°$.
解析: 因为以 $O,A,B$ 三点为顶点的三角形是等腰三角形, 所以有 $OA=OB$ 或 $OA=AB$ 或 $OB=AB$ 三种情况. 当 $OA=OB$ 时, $∠ OAB=∠ OBA$. 若点 $B$ 在直线 $a$ 的下方, 则 $∠ 1=∠ OAB+∠ OBA$. 又 $∠ 1=50°$, 所以 $∠ OAB=25°$; 若点 $B$ 在直线 $a$ 的上方, 则 $∠ 1+∠ OAB+∠ OBA=180°$. 所以 $∠ OAB=\frac{1}{2}(180°-∠ 1)=65°$. 当 $OA=AB$ 时, $∠ OBA=∠ 1$. 又 $∠ OAB+∠ OBA+∠ 1=180°$, 所以 $∠ OAB=180°-2∠ 1=80°$. 当 $OB=AB$ 时, $∠ OAB=∠ 1=50°$. 综上, $∠ OAB$ 的度数为 $25°$或$50°$或$65°$或$80°$.
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB = BC$，$∠ ABC = 100°$，边$BA$绕点$B$按顺时针方向旋转$m°(0 ＜ m ＜ 180)$，得到线段$BD$，连接$AD$，$CD$。若$△ ACD$为等腰三角形，则$m$所有可能的取值是
100或130或160
。答案
8. 100或130或160
解析: 因为 $AB=BC$, $∠ ABC=100°$, 所以 $∠ BAC=∠ BCA=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=40°$. 由旋转的性质, 得 $AB=BD$, $∠ ABD=m°$, 所以 $∠ BAD=∠ BDA$, $BD=BC$. 所以 $∠ BCD=∠ BDC$. 因为 $△ ACD$ 为等腰三角形, 所以有 $AC=AD$ 或 $AC=CD$ 或 $AD=CD$ 三种情况. 分类讨论如下: 当 $AC=AD$ 时, $∠ ADC=∠ ACD$. 又 $∠ ACD=∠ BCA+∠ BCD$, $∠ ADC=∠ BDA+∠ BDC$, 所以 $∠ BDA=∠ BCA=40°$, 即 $∠ BAD=40°$. 又 $∠ BDA+∠ BAD+∠ ABD=180°$, 所以 $∠ ABD=180°-∠ BDA-∠ BAD=100°$, 即 $m=100$; 当 $AC=CD$ 时, $∠ CAD=∠ ADC$. 又 $∠ CAD=∠ BAC+∠ BAD$, $∠ ADC=∠ BDA+∠ BDC$, 所以 $∠ BDC=∠ BAC=40°$, 即 $∠ BCD=40°$. 同理, 得 $∠ CBD=100°$. 又 $∠ ABC+∠ ABD+∠ CBD=360°$, 所以 $∠ ABD=360°-∠ ABC-∠ CBD=160°$, 即 $m=160$; 当 $AD=CD$ 时, $∠ CAD=∠ ACD$. 又 $∠ CAD=∠ BAC+∠ BAD$, $∠ ACD=∠ BCA+∠ BCD$, 所以 $∠ BAD=∠ BCD$, 即 $∠ BDA=∠ BAD=∠ BCD=∠ BDC$. 又 $∠ BAC+∠ BCA+∠ BDA+∠ BAD+∠ BCD+∠ BDC=180°$, 所以 $∠ BAD=∠ BDA=\frac{1}{4}(180°-∠ BAC-∠ BCA)=25°$. 同理, 得 $∠ ABD=130°$, 即 $m=130$. 综上,$m$ 所有可能的取值是 100 或 130 或 160.
解析: 因为 $AB=BC$, $∠ ABC=100°$, 所以 $∠ BAC=∠ BCA=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=40°$. 由旋转的性质, 得 $AB=BD$, $∠ ABD=m°$, 所以 $∠ BAD=∠ BDA$, $BD=BC$. 所以 $∠ BCD=∠ BDC$. 因为 $△ ACD$ 为等腰三角形, 所以有 $AC=AD$ 或 $AC=CD$ 或 $AD=CD$ 三种情况. 分类讨论如下: 当 $AC=AD$ 时, $∠ ADC=∠ ACD$. 又 $∠ ACD=∠ BCA+∠ BCD$, $∠ ADC=∠ BDA+∠ BDC$, 所以 $∠ BDA=∠ BCA=40°$, 即 $∠ BAD=40°$. 又 $∠ BDA+∠ BAD+∠ ABD=180°$, 所以 $∠ ABD=180°-∠ BDA-∠ BAD=100°$, 即 $m=100$; 当 $AC=CD$ 时, $∠ CAD=∠ ADC$. 又 $∠ CAD=∠ BAC+∠ BAD$, $∠ ADC=∠ BDA+∠ BDC$, 所以 $∠ BDC=∠ BAC=40°$, 即 $∠ BCD=40°$. 同理, 得 $∠ CBD=100°$. 又 $∠ ABC+∠ ABD+∠ CBD=360°$, 所以 $∠ ABD=360°-∠ ABC-∠ CBD=160°$, 即 $m=160$; 当 $AD=CD$ 时, $∠ CAD=∠ ACD$. 又 $∠ CAD=∠ BAC+∠ BAD$, $∠ ACD=∠ BCA+∠ BCD$, 所以 $∠ BAD=∠ BCD$, 即 $∠ BDA=∠ BAD=∠ BCD=∠ BDC$. 又 $∠ BAC+∠ BCA+∠ BDA+∠ BAD+∠ BCD+∠ BDC=180°$, 所以 $∠ BAD=∠ BDA=\frac{1}{4}(180°-∠ BAC-∠ BCA)=25°$. 同理, 得 $∠ ABD=130°$, 即 $m=130$. 综上,$m$ 所有可能的取值是 100 或 130 或 160.
9. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫作等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线. 如图①，当△ABD和△ACD都为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线.
（1）如图②，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED分别交AC，BC于D，E两点，连接AE. 求证：AE是△ABC的一条等腰分割线；
（2）已知在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD，∠C=30°，请你画出所有可能的图形，并求出∠B的度数.
（1）如图②，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED分别交AC，BC于D，E两点，连接AE. 求证：AE是△ABC的一条等腰分割线；
（2）已知在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD，∠C=30°，请你画出所有可能的图形，并求出∠B的度数.
答案
9. (1) 因为 $DE$ 是线段 $AC$ 的垂直平分线, 所以 $EA=EC$, 即 $△ EAC$ 是等腰三角形, $∠ EAC=∠ C$. 所以 $∠ AEB=∠ EAC+∠ C=2∠ C$. 因为 $∠ B=2∠ C$, 所以 $∠ AEB=∠ B$, 即 $△ EAB$ 是等腰三角形. 所以 $AE$ 是 $△ ABC$ 的一条等腰分割线.
(2) 因为线段 $AD$ 为 $△ ABC$ 的等腰分割线, $∠ C=30°$, 所以 $△ ABD$ 和 $△ ACD$ 都是等腰三角形. 分类讨论如下:① 如图①, 当 $AD=CD=BD$ 时, $∠ CAD=∠ C=30°$. 所以 $∠ ADB=∠ C+∠ CAD=60°$. 因为 $AD=BD$, 所以 $△ ABD$ 是等边三角形, 即 $∠ B=60°$;
② 如图②, 当 $AD=BD=AC$ 时, $∠ ADC=∠ C=30°$. 因为 $AD=BD$, 所以 $∠ B=∠ BAD$. 因为 $∠ ADC=∠ B+∠ BAD$, 所以 $∠ B=\frac{1}{2}∠ ADC=15°$;
③ 如图③, 当 $AD=BD$, $AC=CD$ 时, $∠ CAD=∠ ADC$, $∠ B=∠ BAD$. 又 $∠ C+∠ CAD+∠ ADC=180°$, 所以 $∠ ADC=\frac{1}{2}(180°-∠ C)=75°$. 因为 $∠ ADC=∠ B+∠ BAD$, 所以 $∠ B=\frac{1}{2}∠ ADC=37.5°$. 综上, $∠ B$ 的度数为 $60°$或 $15°$或 $37.5°$.
