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1.一个正方形的边长增加2 cm，它的面积增加20 cm²，求这个正方形的边长。
答案
解:设边长为$x$ cm，
$(x+2)^2-x^2=20$，
$4x+4=20$，
$\therefore x=4$。
答:这个正方形的边长为4 cm。
$(x+2)^2-x^2=20$，
$4x+4=20$，
$\therefore x=4$。
答:这个正方形的边长为4 cm。
2.如图，一块直径为$m+n$的圆形钢板，从中挖去直径分别为$m$，$n$的两个圆.(1)求剩下钢板的面积；(2)若$m+n=4$，$m^2+n^2=10$，求其面积.
答案
(1)$S_{阴影}=π(\frac{m+n}{2})^2-π(\frac{m}{2})^2-π(\frac{n}{2})^2$
$=\frac{π}{4}[(m+n)^2-m^2-n^2]$
$=\frac{π mn}{2}$。
(2)$\because m+n=4$，
$\therefore (m+n)^2=16$，
$\therefore m^2+n^2+2mn=16$，
$mn=3,\therefore S_{阴影}=\frac{3}{2}π$。
$=\frac{π}{4}[(m+n)^2-m^2-n^2]$
$=\frac{π mn}{2}$。
(2)$\because m+n=4$，
$\therefore (m+n)^2=16$，
$\therefore m^2+n^2+2mn=16$，
$mn=3,\therefore S_{阴影}=\frac{3}{2}π$。
3.如图,两个正方形边长分别为$a$,$b$,如果$a+b=17$,$ab=60$,求图中阴影部分的面积.
答案
解:$S_{阴影}=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)$
$=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)$
$=\frac{1}{2}[(a+b)^2-3ab]$
$=54.5$。
$=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)$
$=\frac{1}{2}[(a+b)^2-3ab]$
$=54.5$。
4.先化简,再求值:$(2x-1)^2+(x+2)(x-2)-4x(x-1)$,其中$x=3.$
答案
解:原式$=4x^2-4x+1+x^2-4-4x^2+4x$
$=x^2-3$
当$x=3$时,原式$=6$。
$=x^2-3$
当$x=3$时,原式$=6$。
5.(1)若$a^2 + b^2 =15$，$a - b =5$，求$ab$的值；
(2)已知$a^2 + b^2 =68$，$a + b =10$，求$(a - b)^2$的值。
(2)已知$a^2 + b^2 =68$，$a + b =10$，求$(a - b)^2$的值。
答案
(1)$\because (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=25$，
$\therefore 2ab=-10$，
$\therefore ab=-5$；
(2)$\because (a+b)^2=100$，
$\therefore 2ab=32$，
$\therefore (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=36$。
$\therefore 2ab=-10$，
$\therefore ab=-5$；
(2)$\because (a+b)^2=100$，
$\therefore 2ab=32$，
$\therefore (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=36$。
6.(2026·仙桃)综合训练:如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“幸运数”.如:$4=2^2-0^2$,$12=4^2-2^2$,$20=6^2-4^2$,因此4,12,20都是“幸运数”.
(1)请判断:28
(2)下面是两个同学演算后的发现,请判断真假,并说明理由.
①奇奇发现:两个连续偶数$2k+2$和$2k$(其中$k$取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数；
②妙妙发现:2028是“幸运数”.
(1)请判断:28
是
“幸运数”;(选填“是”或“不是”)(2)下面是两个同学演算后的发现,请判断真假,并说明理由.
①奇奇发现:两个连续偶数$2k+2$和$2k$(其中$k$取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数；
②妙妙发现:2028是“幸运数”.
答案
(1)28$=8^2-6^2$,故是“幸运数”；
(2)奇奇和妙妙说的都是真的,理由:
①$(2k+2)^2-(2k)^2=4(2k+1)$，
故$2k+2,2k$构造的“幸运数”是4的倍数；
②$2028=4×507$，
$507=2×253+1$，
$\therefore 508^2-506^2=2028$。
(2)奇奇和妙妙说的都是真的,理由:
①$(2k+2)^2-(2k)^2=4(2k+1)$，
故$2k+2,2k$构造的“幸运数”是4的倍数；
②$2028=4×507$，
$507=2×253+1$，
$\therefore 508^2-506^2=2028$。
