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24.$a,b$表示两个自然数。在学习整数除法时，商这样表示$a÷ b=6······3$；在学习小数除法时，商这样表示$a÷ b=6.25$。根据两种不同的表示方法，可以知道$b$是（$\quad\quad\quad\quad$）。
答案
24. 12
解析
【分析】首先明确两种除法形式中被除数$a$是相同的：在有余数除法中，被除数=商×除数+余数，即$a=6b+3$；在小数除法中，被除数=商×除数，即$a=6.25b$。通过建立等式将两个式子联立，即可求出除数$b$的值。
【解析】根据题意，在有余数除法中：$a = 6b + 3$；在小数除法中：$a = 6.25b$。因为$a$是同一个自然数，所以联立等式得：$6b + 3 = 6.25b$，移项计算：$6.25b - 6b = 3$，即$0.25b = 3$，解得$b = 3÷0.25 = 12$。
【答案】12
【知识点】有余数除法、小数除法
【点评】本题结合两种除法的表示方法，考查被除数、除数、商及余数的关系，通过建立等式求解，思路清晰，难度适中，能较好地检验学生对除法知识的综合运用能力。
【难度系数】0.6
【解析】根据题意，在有余数除法中：$a = 6b + 3$；在小数除法中：$a = 6.25b$。因为$a$是同一个自然数，所以联立等式得：$6b + 3 = 6.25b$，移项计算：$6.25b - 6b = 3$，即$0.25b = 3$，解得$b = 3÷0.25 = 12$。
【答案】12
【知识点】有余数除法、小数除法
【点评】本题结合两种除法的表示方法，考查被除数、除数、商及余数的关系，通过建立等式求解，思路清晰，难度适中，能较好地检验学生对除法知识的综合运用能力。
【难度系数】0.6
25.一场篮球比赛门票原定每张 80 元,为了让更多球迷有机会看球,主办方调低了门票价格,在保持总收入不变的情况下,看球的人数增加了 25%。现在每张门票是(
64
)元。答案
25. 64 解析:假设看球人数是100人,总收入$80×100=8000$(元),看球人数增加25%是$100×(1+25\%)=125$(人),收入不变仍是8000元,现在门票价格是$8000÷125=64$(元)。
解析
【分析】
这道题的核心是利用“总收入不变”的关系，结合单价、数量、总价的公式（总价=单价×数量）解题。因为题目中人数是变化的，我们可以假设原来的看球人数为具体数值（比如100人），这样能简化计算，先算出原来的总收入，再算出现在的人数，最后用总收入除以现在的人数得到新的门票价格。
【解析】
假设原来的看球人数为100人：
1. 计算原来的总收入：原来的门票单价×原来的人数 = $80×100 = 8000$（元）；
2. 计算现在的看球人数：原来的人数×(1+25%) = $100×1.25 = 125$（人）；
3. 计算现在的门票价格：总收入÷现在的人数 = $8000÷125 = 64$（元）。
【答案】
64
【知识点】
百分数的应用；单价、数量、总价的关系
【点评】
本题通过假设具体人数的方法，将抽象的数量关系转化为具体数值，降低了计算难度，考查学生对总价、单价、数量关系及百分数应用的掌握，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是利用“总收入不变”的关系，结合单价、数量、总价的公式（总价=单价×数量）解题。因为题目中人数是变化的，我们可以假设原来的看球人数为具体数值（比如100人），这样能简化计算，先算出原来的总收入，再算出现在的人数，最后用总收入除以现在的人数得到新的门票价格。
【解析】
假设原来的看球人数为100人：
1. 计算原来的总收入：原来的门票单价×原来的人数 = $80×100 = 8000$（元）；
2. 计算现在的看球人数：原来的人数×(1+25%) = $100×1.25 = 125$（人）；
3. 计算现在的门票价格：总收入÷现在的人数 = $8000÷125 = 64$（元）。
【答案】
64
【知识点】
百分数的应用；单价、数量、总价的关系
【点评】
本题通过假设具体人数的方法，将抽象的数量关系转化为具体数值，降低了计算难度，考查学生对总价、单价、数量关系及百分数应用的掌握，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.6
26.如图所示,直角梯形ABCD的面积是$36cm^2$,那么图中阴影部分的面积是(
24
)$cm^2$,圆的面积是(75.36
)$cm^2$。答案
26. 24 75.36 解析:由图可知,直角梯形ABCD可以分成3个一样大小的直角三角形,阴影部分是2个这样的三角形即$36÷3×2=24(\mathrm{cm}^2)$,每个直角三角形的面积是$12\mathrm{cm}^2$,即$r×r÷2=12$,那么$r^2=24$,圆的面积是$3.14×24=75.36(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】首先观察图形，直角梯形ABCD被分割为3个完全相同的直角三角形，阴影部分占其中2个。先通过梯形总面积求出单个直角三角形的面积，再计算阴影部分面积；再根据单个直角三角形的直角边为圆的半径，结合三角形面积公式求出半径的平方，进而计算圆的面积。
【解析】
1. 计算单个直角三角形的面积：由图可知，直角梯形ABCD可分成3个大小相同的直角三角形，因此单个直角三角形的面积为 $ 36 ÷ 3 = 12 \, \mathrm{cm}^2 $。
2. 计算阴影部分面积：阴影部分是2个这样的直角三角形，所以阴影面积为 $ 12 × 2 = 24 \, \mathrm{cm}^2 $。
3. 推导圆的面积：每个直角三角形的直角边为圆的半径$ r $，根据三角形面积公式 $ S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} r^2 $，可得 $ \frac{1}{2} r^2 = 12 $，即 $ r^2 = 24 \, \mathrm{cm}^2 $。圆的面积公式为 $ S_{\mathrm{圆}} = π r^2 $，代入得圆的面积为 $ 3.14 × 24 = 75.36 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】24；75.36
【知识点】圆的面积计算、三角形面积计算、图形分割
【点评】本题核心是观察图形的分割特征，将直角梯形转化为3个相同的直角三角形，利用三角形面积与圆半径的关系，逐步求解，考查图形观察能力和公式的灵活运用。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 计算单个直角三角形的面积：由图可知，直角梯形ABCD可分成3个大小相同的直角三角形，因此单个直角三角形的面积为 $ 36 ÷ 3 = 12 \, \mathrm{cm}^2 $。
2. 计算阴影部分面积：阴影部分是2个这样的直角三角形，所以阴影面积为 $ 12 × 2 = 24 \, \mathrm{cm}^2 $。
3. 推导圆的面积：每个直角三角形的直角边为圆的半径$ r $，根据三角形面积公式 $ S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} r^2 $，可得 $ \frac{1}{2} r^2 = 12 $，即 $ r^2 = 24 \, \mathrm{cm}^2 $。圆的面积公式为 $ S_{\mathrm{圆}} = π r^2 $，代入得圆的面积为 $ 3.14 × 24 = 75.36 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】24；75.36
【知识点】圆的面积计算、三角形面积计算、图形分割
【点评】本题核心是观察图形的分割特征，将直角梯形转化为3个相同的直角三角形，利用三角形面积与圆半径的关系，逐步求解，考查图形观察能力和公式的灵活运用。
【难度系数】0.5
27.如下图所示,每个图都由棱长为1cm的小正方体堆成,按照这个规律,第⑤个图由(
55
)个小正方体堆成,第⑥个图所表示的几何体表面积是(156
)$\mathrm{cm}^2$。答案
27. 55 156 解析:由图可知,小正方体是1,4,9,16,25…依次增加的,第⑤个图形有$1+4+9+16+25=55$(个),几何体前后左右的面积都是$1+2+3+4+5+6=21(\mathrm{cm}^2)$,上下的面积是$36\mathrm{cm}^2$,表面积是$21×4+36×2=156(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
首先观察图形中小正方体的数量规律，发现第n个图的小正方体总数是从1²开始依次加到n²的和；再分析几何体的表面积，将表面积拆分为前、后、左、右、上、下六个方向分别计算，其中前/后、左/右四个方向面积相等，上/下两个方向面积相等，通过找规律计算对应面的面积后求和。
【解析】
1. 计算第⑤个图的小正方体个数：
观察图形可知，第①个图小正方体个数为$1=1^2$，第②个图为$1+4=1^2+2^2$，第③个图为$1+4+9=1^2+2^2+3^2$，以此类推，第n个图的小正方体总数为$1^2+2^2+\dots+n^2$。
因此第⑤个图的小正方体个数为：$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1+4+9+16+25=55$（个）。
2. 计算第⑥个图的表面积：
对于堆叠的几何体，表面积分六个方向计算：
前、后、左、右四个方向，每个方向的面积为$1+2+3+4+5+6=21\ \mathrm{cm}^2$，四个方向总面积为$21×4=84\ \mathrm{cm}^2$；
上、下两个方向，每个方向的面积为$6×6=36\ \mathrm{cm}^2$，两个方向总面积为$36×2=72\ \mathrm{cm}^2$；
因此第⑥个图的表面积为$84+72=156\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
55；156
【知识点】
找规律、几何体表面积、数的平方和
【点评】
本题需要先通过观察图形总结小正方体数量的规律，再结合空间想象拆分几何体表面积计算，考查了学生的观察能力、规律总结能力和空间思维能力，是中等难度的规律应用题型。
【难度系数】
0.5
首先观察图形中小正方体的数量规律，发现第n个图的小正方体总数是从1²开始依次加到n²的和；再分析几何体的表面积，将表面积拆分为前、后、左、右、上、下六个方向分别计算，其中前/后、左/右四个方向面积相等，上/下两个方向面积相等，通过找规律计算对应面的面积后求和。
【解析】
1. 计算第⑤个图的小正方体个数：
观察图形可知，第①个图小正方体个数为$1=1^2$，第②个图为$1+4=1^2+2^2$，第③个图为$1+4+9=1^2+2^2+3^2$，以此类推，第n个图的小正方体总数为$1^2+2^2+\dots+n^2$。
因此第⑤个图的小正方体个数为：$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1+4+9+16+25=55$（个）。
2. 计算第⑥个图的表面积：
对于堆叠的几何体，表面积分六个方向计算：
前、后、左、右四个方向，每个方向的面积为$1+2+3+4+5+6=21\ \mathrm{cm}^2$，四个方向总面积为$21×4=84\ \mathrm{cm}^2$；
上、下两个方向，每个方向的面积为$6×6=36\ \mathrm{cm}^2$，两个方向总面积为$36×2=72\ \mathrm{cm}^2$；
因此第⑥个图的表面积为$84+72=156\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
55；156
【知识点】
找规律、几何体表面积、数的平方和
【点评】
本题需要先通过观察图形总结小正方体数量的规律，再结合空间想象拆分几何体表面积计算，考查了学生的观察能力、规律总结能力和空间思维能力，是中等难度的规律应用题型。
【难度系数】
0.5
四、操作与分析。（7分）
28. 按要求填一填、画一画。（图中每个小方格的边长为1厘米）
(1)如果点A的位置是$(3,9)$，那么点C的位置是( ， )。（1分）
(2)把三角形ABC绕点C逆时针旋转$90°$，画出旋转后的图形。（1分）
(3)如果把三角形ABC以线段BC所在的直线为轴旋转一周，所形成图形的体积是(
(4)在合适位置画出长方形DEFG按$1:2$缩小后的图形。（1分）
(5)画一条线段，把长方形DEFG分成一个三角形和梯形，使三角形和梯形的面积比是$1:2$。（1分）
28. 按要求填一填、画一画。（图中每个小方格的边长为1厘米）
(1)如果点A的位置是$(3,9)$，那么点C的位置是( ， )。（1分）
(2)把三角形ABC绕点C逆时针旋转$90°$，画出旋转后的图形。（1分）
(3)如果把三角形ABC以线段BC所在的直线为轴旋转一周，所形成图形的体积是(
50.24
)立方厘米。（1分）(4)在合适位置画出长方形DEFG按$1:2$缩小后的图形。（1分）
(5)画一条线段，把长方形DEFG分成一个三角形和梯形，使三角形和梯形的面积比是$1:2$。（1分）
答案
28.(1)$(6,5)$ (2)如图 (3)50.24 (4)(5)如图
解析
【分析】
本题是操作与分析类题目，需依次解决5个小问题：1. 根据数对规则确定点C的坐标；2. 按旋转要求画出三角形旋转后的图形；3. 利用圆锥体积公式计算旋转形成图形的体积；4. 按比例缩小长方形并画图；5. 分割长方形使两部分面积比为1:2。解题时需明确各知识点的基本方法，结合图形特征逐步分析。
【解析】
(1) 数对的表示规则是（列，行），已知点A的位置是$(3,9)$，即第3列第9行；观察图形，点C在第6列第5行，因此点C的位置是$(6,5)$。
(2) 旋转三角形ABC时，绕点C逆时针旋转$90°$，需先确定点A、B绕点C逆时针旋转$90°$后的对应点，再依次连接对应点与点C，即可得到旋转后的图形。
(3) 线段BC的长度：点B坐标为$(3,5)$，点C坐标为$(6,5)$，则$BC=6-3=3$厘米；线段AB的长度：点A坐标为$(3,9)$，点B坐标为$(3,5)$，则$AB=9-5=4$厘米。以BC为轴旋转一周，形成底面半径$r=AB=4$厘米、高$h=BC=3$厘米的圆锥，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入得：$V=\frac{1}{3}×3.14×4^2×3=50.24$立方厘米。
(4) 长方形DEFG的长$DE=20-13=6$厘米，宽$DG=8-4=4$厘米；按$1:2$缩小后，长变为$6÷2=3$厘米，宽变为$4÷2=2$厘米，在合适位置画出长3格、宽2格的长方形即可。
(5) 长方形DEFG的面积为$6×4=24$平方厘米，要使三角形和梯形面积比为$1:2$，则三角形面积为$24×\frac{1}{1+2}=8$平方厘米，梯形面积为$16$平方厘米。在GF边上取距离G点4厘米的点，连接该点与D点，即可将长方形分成符合要求的三角形和梯形。
【答案】
(1)$(6,5)$ (2)如图 (3)$50.24$ (4)(5)如图
【知识点】
数对与位置、图形的旋转、圆锥体积、图形的缩放
【点评】
本题综合考查数对、图形旋转、圆锥体积、图形缩放及图形分割的知识，既需要掌握相关公式和规则，也考查动手操作能力，是一道综合性较强的基础题。
【难度系数】
0.5
本题是操作与分析类题目，需依次解决5个小问题：1. 根据数对规则确定点C的坐标；2. 按旋转要求画出三角形旋转后的图形；3. 利用圆锥体积公式计算旋转形成图形的体积；4. 按比例缩小长方形并画图；5. 分割长方形使两部分面积比为1:2。解题时需明确各知识点的基本方法，结合图形特征逐步分析。
【解析】
(1) 数对的表示规则是（列，行），已知点A的位置是$(3,9)$，即第3列第9行；观察图形，点C在第6列第5行，因此点C的位置是$(6,5)$。
(2) 旋转三角形ABC时，绕点C逆时针旋转$90°$，需先确定点A、B绕点C逆时针旋转$90°$后的对应点，再依次连接对应点与点C，即可得到旋转后的图形。
(3) 线段BC的长度：点B坐标为$(3,5)$，点C坐标为$(6,5)$，则$BC=6-3=3$厘米；线段AB的长度：点A坐标为$(3,9)$，点B坐标为$(3,5)$，则$AB=9-5=4$厘米。以BC为轴旋转一周，形成底面半径$r=AB=4$厘米、高$h=BC=3$厘米的圆锥，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入得：$V=\frac{1}{3}×3.14×4^2×3=50.24$立方厘米。
(4) 长方形DEFG的长$DE=20-13=6$厘米，宽$DG=8-4=4$厘米；按$1:2$缩小后，长变为$6÷2=3$厘米，宽变为$4÷2=2$厘米，在合适位置画出长3格、宽2格的长方形即可。
(5) 长方形DEFG的面积为$6×4=24$平方厘米，要使三角形和梯形面积比为$1:2$，则三角形面积为$24×\frac{1}{1+2}=8$平方厘米，梯形面积为$16$平方厘米。在GF边上取距离G点4厘米的点，连接该点与D点，即可将长方形分成符合要求的三角形和梯形。
【答案】
(1)$(6,5)$ (2)如图 (3)$50.24$ (4)(5)如图
【知识点】
数对与位置、图形的旋转、圆锥体积、图形的缩放
【点评】
本题综合考查数对、图形旋转、圆锥体积、图形缩放及图形分割的知识，既需要掌握相关公式和规则，也考查动手操作能力，是一道综合性较强的基础题。
【难度系数】
0.5
29.张阿姨去菜市场买香葱，当时店主的秤显示的是2kg，回家秤了一下，发现实际只有1800g。她找到店家，店主用店里的秤又称了200g给她，说：“现在你不吃亏了。”
我认为店主说得(
我认为店主说得(
不对
)(填“对”或“不对”)，并用合适的方式说明理由。（2分）答案
29. 不对 店主的称比实际重量多$(2000-1800)÷1800=\frac{1}{9}$,后来店主又称了200g,实际只有$200÷(1+\frac{1}{9})=180\mathrm{g}$。(意思对即可)
解析
【分析】
要判断店主说得对不对，需先明确店主的秤的“显示重量”与“实际重量”的关系：已知店主秤显示2000g（2kg）时实际仅1800g，可算出店主秤的显示重量是实际重量的几倍；再计算店主补的“秤显示200g”对应的实际重量，最后对比总实际重量是否达到应有的2000g，即可判断。
【解析】
1. 统一单位：2kg = 2000g。
2. 计算店主秤的显示与实际重量的比例：店主秤显示2000g时实际1800g，说明店主秤的显示重量比实际多，多的比例为$(2000 - 1800)÷1800 = \frac{1}{9}$，即店主秤的显示重量是实际重量的$1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$倍。
3. 计算补的200g对应的实际重量：店主补的是秤显示的200g，对应的实际重量为$200÷\frac{10}{9} = 180g$。
4. 对比总实际重量：原来实际得到1800g，加上补的实际180g，总实际重量为$1800 + 180 = 1980g$，而应有的重量是2000g，1980g ＜ 2000g，因此店主说得不对。
【答案】
不对；店主的秤显示2000g时实际仅1800g，补的200g显示重量实际仅180g，总实际重量为1980g，仍不足应有的2000g，所以店主说得不对。
【知识点】
分数的实际应用
【点评】
本题结合购物场景考查分数的实际运用，需理清秤的显示与实际重量的关系，避免被表面的“补量”误导，培养逻辑分析与实际应用能力。
【难度系数】
0.5
要判断店主说得对不对，需先明确店主的秤的“显示重量”与“实际重量”的关系：已知店主秤显示2000g（2kg）时实际仅1800g，可算出店主秤的显示重量是实际重量的几倍；再计算店主补的“秤显示200g”对应的实际重量，最后对比总实际重量是否达到应有的2000g，即可判断。
【解析】
1. 统一单位：2kg = 2000g。
2. 计算店主秤的显示与实际重量的比例：店主秤显示2000g时实际1800g，说明店主秤的显示重量比实际多，多的比例为$(2000 - 1800)÷1800 = \frac{1}{9}$，即店主秤的显示重量是实际重量的$1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$倍。
3. 计算补的200g对应的实际重量：店主补的是秤显示的200g，对应的实际重量为$200÷\frac{10}{9} = 180g$。
4. 对比总实际重量：原来实际得到1800g，加上补的实际180g，总实际重量为$1800 + 180 = 1980g$，而应有的重量是2000g，1980g ＜ 2000g，因此店主说得不对。
【答案】
不对；店主的秤显示2000g时实际仅1800g，补的200g显示重量实际仅180g，总实际重量为1980g，仍不足应有的2000g，所以店主说得不对。
【知识点】
分数的实际应用
【点评】
本题结合购物场景考查分数的实际运用，需理清秤的显示与实际重量的关系，避免被表面的“补量”误导，培养逻辑分析与实际应用能力。
【难度系数】
0.5
