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8. 如下图,四个盒子里分别装了一些球,这些球除颜色外完全相同。
三名同学选择了其中同一个盒子玩摸球游戏,每人摸20次。他们每次从盒子里任意摸一个球,记录颜色后放回摇匀,再摸下一次。右表是他们摸出红球、黄球和蓝球的次数情况。根据右表中的数据进行推测,他们最有可能选择的盒子是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
三名同学选择了其中同一个盒子玩摸球游戏,每人摸20次。他们每次从盒子里任意摸一个球,记录颜色后放回摇匀,再摸下一次。右表是他们摸出红球、黄球和蓝球的次数情况。根据右表中的数据进行推测,他们最有可能选择的盒子是(
D
)。A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，需明确放回式摸球实验的规律：每次摸球后放回摇匀，盒子中各颜色球的数量不变，摸出某颜色球的次数越多，说明盒子里该颜色球的数量相对越多（可能性大小与球的数量有关，数量越多，被摸出的概率越大，实验中次数就越多）。我们需要对比表格中红、黄、蓝球的摸出次数，匹配四个盒子的球的颜色分布，找到最符合的选项。
【解析】
根据摸球实验的规律，摸出次数多的颜色对应盒子中该颜色球的数量占比大。结合表格中三种颜色球的摸出次数，对应四个盒子的球的颜色分布，可推测出最符合的盒子是丁盒，因此选择D选项。
【答案】
D
【知识点】
可能性的大小
【点评】
本题通过实际摸球游戏考查可能性大小的应用，核心是理解“摸球次数反映球的数量多少”，难度不大，属于基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需明确放回式摸球实验的规律：每次摸球后放回摇匀，盒子中各颜色球的数量不变，摸出某颜色球的次数越多，说明盒子里该颜色球的数量相对越多（可能性大小与球的数量有关，数量越多，被摸出的概率越大，实验中次数就越多）。我们需要对比表格中红、黄、蓝球的摸出次数，匹配四个盒子的球的颜色分布，找到最符合的选项。
【解析】
根据摸球实验的规律，摸出次数多的颜色对应盒子中该颜色球的数量占比大。结合表格中三种颜色球的摸出次数，对应四个盒子的球的颜色分布，可推测出最符合的盒子是丁盒，因此选择D选项。
【答案】
D
【知识点】
可能性的大小
【点评】
本题通过实际摸球游戏考查可能性大小的应用，核心是理解“摸球次数反映球的数量多少”，难度不大，属于基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
9. 根据《九章算术》的规则，正数的十位用横式算筹、个位用纵式算筹表示，负数则相反（即十位用纵式、个位用横式）。例如“$\underline{\underline{三}} ∣ ∣$”表示$+32$，那么“$∣ ∣ \underline{\underline{三}}$”表示$-23$。按照这一规则，下列表示“$-13$”正确的（$\quad$）。
A.$∣ ∣ ∣ \underline{—}$
B.$\underline{—} ∣ ∣ ∣$
C.$∣ \underline{\underline{三}}$
D.$\underline{\underline{三}} ∣$
A.$∣ ∣ ∣ \underline{—}$
B.$\underline{—} ∣ ∣ ∣$
C.$∣ \underline{\underline{三}}$
D.$\underline{\underline{三}} ∣$
答案
C
解析
【分析】
首先明确题目中的核心规则：表示负数时，十位用纵式算筹，个位用横式算筹。要确定“-13”的正确表示，需先拆分“-13”的数位（十位为1，个位为3），再根据负数的算筹规则，分别对应十位、个位的算筹形式，最后匹配选项即可。
【解析】
根据题意，负数的算筹表示规则为：十位用纵式算筹，个位用横式算筹。
对于数“-13”，十位数字是1，纵式算筹中1的形式为“|”；个位数字是3，横式算筹中3的形式为“三”。
因此，“-13”对应的算筹表示为“| 三”，与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
算筹计数法；负数的数位表示
【点评】
本题结合《九章算术》的算筹计数规则，考察学生对规则的理解与应用能力，只需理清负数的数位对应算筹类型，即可快速解题，属于基础的规则应用类题目。
【难度系数】
0.6
首先明确题目中的核心规则：表示负数时，十位用纵式算筹，个位用横式算筹。要确定“-13”的正确表示，需先拆分“-13”的数位（十位为1，个位为3），再根据负数的算筹规则，分别对应十位、个位的算筹形式，最后匹配选项即可。
【解析】
根据题意，负数的算筹表示规则为：十位用纵式算筹，个位用横式算筹。
对于数“-13”，十位数字是1，纵式算筹中1的形式为“|”；个位数字是3，横式算筹中3的形式为“三”。
因此，“-13”对应的算筹表示为“| 三”，与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
算筹计数法；负数的数位表示
【点评】
本题结合《九章算术》的算筹计数规则，考察学生对规则的理解与应用能力，只需理清负数的数位对应算筹类型，即可快速解题，属于基础的规则应用类题目。
【难度系数】
0.6
10. 如图,竖式中,第二个乘数是15,则箭头所指的甲、乙两数的关系正确的是（
A.甲数是乙数的5倍
B.乙数是甲数的5倍
C.乙数是甲数的2倍
D.无法比较
C
）。A.甲数是乙数的5倍
B.乙数是甲数的5倍
C.乙数是甲数的2倍
D.无法比较
答案
C
解析
【分析】
要解决该问题，需明确乘法竖式中各部分的数位意义：计算三位数乘15时，先用第二个乘数的个位数字5乘第一个三位数，得到的积是甲数，代表5个三位数；再用第二个乘数的十位数字1乘第一个三位数，由于十位上的1表示1个十，因此得到的积是乙数，代表10个三位数。通过对比两者与三位数的关系，即可判断甲、乙的倍数关系。
【解析】
根据整数乘法竖式计算规则：
1. 甲数是第二个乘数的个位数字5与第一个三位数的乘积，即：甲数 = 三位数 × 5；
2. 乙数是第二个乘数的十位数字1与第一个三位数的乘积，因十位上的1代表1个十，故乙数 = 三位数 × 10；
3. 计算两者的倍数关系：乙数 ÷ 甲数 = (三位数 ×10) ÷ (三位数 ×5) = 2，即乙数是甲数的2倍。
【答案】
C
【知识点】
整数乘法竖式、倍数关系
【点评】
本题考查乘法竖式中数位的意义，核心是理解十位上的数相乘对应“几个十”，避免误将乙数当作1倍的三位数，需准确区分个位和十位相乘的实际含义。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需明确乘法竖式中各部分的数位意义：计算三位数乘15时，先用第二个乘数的个位数字5乘第一个三位数，得到的积是甲数，代表5个三位数；再用第二个乘数的十位数字1乘第一个三位数，由于十位上的1表示1个十，因此得到的积是乙数，代表10个三位数。通过对比两者与三位数的关系，即可判断甲、乙的倍数关系。
【解析】
根据整数乘法竖式计算规则：
1. 甲数是第二个乘数的个位数字5与第一个三位数的乘积，即：甲数 = 三位数 × 5；
2. 乙数是第二个乘数的十位数字1与第一个三位数的乘积，因十位上的1代表1个十，故乙数 = 三位数 × 10；
3. 计算两者的倍数关系：乙数 ÷ 甲数 = (三位数 ×10) ÷ (三位数 ×5) = 2，即乙数是甲数的2倍。
【答案】
C
【知识点】
整数乘法竖式、倍数关系
【点评】
本题考查乘法竖式中数位的意义，核心是理解十位上的数相乘对应“几个十”，避免误将乙数当作1倍的三位数，需准确区分个位和十位相乘的实际含义。
【难度系数】
0.5
11.某市图书馆2024年全年共借阅图书三千零六十八万四千三百册。横线上的数写作(
30684300
),改写成用“万”作单位的数是(3068.43
)万册。答案
30684300
3068.43
3068.43
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步操作：第一步是正确写出给定的数，方法是从高位到低位，一级一级地写，哪一位上没有计数单位就写0占位；第二步是将该数改写成用“万”作单位的数，方法是在万位的右下角点上小数点，去掉小数末尾的0，再在数的后面加上“万”字。
【解析】
1. 写数：三千零六十八万四千三百，千万位写3，百万位写0，十万位写6，万位写8，千位写4，百位写3，十位和个位没有计数单位，分别写0，因此写作30684300。
2. 改写成用“万”作单位的数：找到万位（数字8所在的位置），在其右下角点小数点，得到3068.43，再加上“万”字，即3068.43万册。
【答案】
30684300；3068.43
【知识点】
整数的写法；数的改写
【点评】
本题考查整数的写法和数的改写，属于基础题型，只要掌握整数的读写规则以及数的改写方法，就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分两步操作：第一步是正确写出给定的数，方法是从高位到低位，一级一级地写，哪一位上没有计数单位就写0占位；第二步是将该数改写成用“万”作单位的数，方法是在万位的右下角点上小数点，去掉小数末尾的0，再在数的后面加上“万”字。
【解析】
1. 写数：三千零六十八万四千三百，千万位写3，百万位写0，十万位写6，万位写8，千位写4，百位写3，十位和个位没有计数单位，分别写0，因此写作30684300。
2. 改写成用“万”作单位的数：找到万位（数字8所在的位置），在其右下角点小数点，得到3068.43，再加上“万”字，即3068.43万册。
【答案】
30684300；3068.43
【知识点】
整数的写法；数的改写
【点评】
本题考查整数的写法和数的改写，属于基础题型，只要掌握整数的读写规则以及数的改写方法，就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
12. $6:(\quad)=37.5\%=(\quad)÷40=\frac{9}{(\quad)}=(\quad)$（填小数）
答案
16
15
24
0.375
15
24
0.375
解析
【分析】本题考查比、除法、分数、百分数与小数之间的相互转换，解题思路是利用各数形式间的关系逐步推导：①比的后项=比的前项÷比值（比值为37.5%）；②除法中被除数=除数×商（商为37.5%）；③分数的分母=分子÷分数值（分数值为37.5%）；④百分数化小数，去掉百分号并将小数点左移两位。
【解析】
1. 求6对应的比的后项：根据比的关系，后项=6÷37.5%=6÷0.375=16；
2. 求除法中的被除数：根据除法关系，被除数=40×37.5%=40×0.375=15；
3. 求分数的分母：根据分数关系，分母=9÷37.5%=9÷0.375=24；
4. 百分数转小数：37.5%=0.375。
【答案】16；15；24；0.375
【知识点】比、分数、百分数、小数的互化
【点评】本题为基础的数的形式转换题，核心是掌握不同数的形式间的关系，步骤清晰，难度较低，适合基础巩固练习。
【难度系数】0.3
【解析】
1. 求6对应的比的后项：根据比的关系，后项=6÷37.5%=6÷0.375=16；
2. 求除法中的被除数：根据除法关系，被除数=40×37.5%=40×0.375=15；
3. 求分数的分母：根据分数关系，分母=9÷37.5%=9÷0.375=24；
4. 百分数转小数：37.5%=0.375。
【答案】16；15；24；0.375
【知识点】比、分数、百分数、小数的互化
【点评】本题为基础的数的形式转换题，核心是掌握不同数的形式间的关系，步骤清晰，难度较低，适合基础巩固练习。
【难度系数】0.3
13.2. $8\ \mathrm{km}^2 = (\quad)$公顷
$7\ \mathrm{L}\ 60\ \mathrm{mL} = (\quad)\mathrm{mL}$
$1\dfrac{4}{5}\mathrm{时}=(\quad)\mathrm{分}$
$7\ \mathrm{L}\ 60\ \mathrm{mL} = (\quad)\mathrm{mL}$
$1\dfrac{4}{5}\mathrm{时}=(\quad)\mathrm{分}$
答案
280
7060
108
7060
108
解析
【分析】本题是不同类型的单位换算题，需明确各单位间的进率，掌握单位换算方法：高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算为高级单位除以进率；复名数化单名数时，先将不同单位分别换算，再相加求和。
【解析】1. 面积单位：因为$1\ \mathrm{km}^2=100$公顷，所以$8\ \mathrm{km}^2=8×100=280$公顷；2. 容积单位：因为$1\ \mathrm{L}=1000\ \mathrm{mL}$，$7\ \mathrm{L}=7×1000=7000\ \mathrm{mL}$，故$7\ \mathrm{L}\ 60\ \mathrm{mL}=7000+60=7060\ \mathrm{mL}$；3. 时间单位：因为$1\ \mathrm{时}=60\ \mathrm{分}$，$1\dfrac{4}{5}\mathrm{时}=(1+\dfrac{4}{5})\mathrm{时}$，$1\mathrm{时}=60\mathrm{分}$，$\dfrac{4}{5}\mathrm{时}=\dfrac{4}{5}×60=48\mathrm{分}$，所以$1\dfrac{4}{5}\mathrm{时}=60+48=108\mathrm{分}$。
【答案】280；7060；108
【知识点】面积单位换算、容积单位换算、时间单位换算
【点评】本题考查常见量的单位换算，属于基础题型，核心是牢记各单位间的进率，换算时注意方法，难度较低，适合学生巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】1. 面积单位：因为$1\ \mathrm{km}^2=100$公顷，所以$8\ \mathrm{km}^2=8×100=280$公顷；2. 容积单位：因为$1\ \mathrm{L}=1000\ \mathrm{mL}$，$7\ \mathrm{L}=7×1000=7000\ \mathrm{mL}$，故$7\ \mathrm{L}\ 60\ \mathrm{mL}=7000+60=7060\ \mathrm{mL}$；3. 时间单位：因为$1\ \mathrm{时}=60\ \mathrm{分}$，$1\dfrac{4}{5}\mathrm{时}=(1+\dfrac{4}{5})\mathrm{时}$，$1\mathrm{时}=60\mathrm{分}$，$\dfrac{4}{5}\mathrm{时}=\dfrac{4}{5}×60=48\mathrm{分}$，所以$1\dfrac{4}{5}\mathrm{时}=60+48=108\mathrm{分}$。
【答案】280；7060；108
【知识点】面积单位换算、容积单位换算、时间单位换算
【点评】本题考查常见量的单位换算，属于基础题型，核心是牢记各单位间的进率，换算时注意方法，难度较低，适合学生巩固基础。
【难度系数】0.8
14.a和b是非零的自然数,如果a-b=1,那么a和b的最大公因数是(
1
),最小公倍数是(ab
)。答案
1
ab
ab
解析
【分析】首先根据题目中“a和b是非零自然数，a-b=1”，判断出a和b是相邻的两个非零自然数；相邻的两个非零自然数是互质数（公因数只有1的两个数）；再利用互质数的最大公因数、最小公倍数的规律，即可得出结果。
【解析】因为a、b是非零自然数，且a - b = 1，所以a和b是相邻的两个非零自然数，相邻的非零自然数为互质数（公因数只有1）。根据互质数的性质：互质的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积，因此a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。
【答案】1；ab
【知识点】最大公因数、最小公倍数、互质数
【点评】本题考查相邻自然数的性质及互质数的最大公因数、最小公倍数的求法，属于基础题型，只要掌握相邻非零自然数互质的特点，就能快速解答。
【难度系数】0.8
【解析】因为a、b是非零自然数，且a - b = 1，所以a和b是相邻的两个非零自然数，相邻的非零自然数为互质数（公因数只有1）。根据互质数的性质：互质的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积，因此a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。
【答案】1；ab
【知识点】最大公因数、最小公倍数、互质数
【点评】本题考查相邻自然数的性质及互质数的最大公因数、最小公倍数的求法，属于基础题型，只要掌握相邻非零自然数互质的特点，就能快速解答。
【难度系数】0.8
15.一个分数的分子是最小的合数，分母是最大的一位数，这个分数的分数单位是(
$\frac{1}{9}$
)，这个分数再加(14
)个这样的分数单位就是最小的质数。答案
$\frac{1}{9}$
14
14
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步，根据“最小的合数”“最大的一位数”的定义确定分数的分子和分母，得到这个分数；第二步，依据分数单位的定义，确定该分数的分数单位；第三步，明确最小的质数，计算该质数与已知分数的差，差的分子就是需要添加的分数单位的个数。
【解析】
1. 确定分数：最小的合数是4，最大的一位数是9，因此这个分数为$\frac{4}{9}$；
2. 求分数单位：把单位“1”平均分成9份，每份是$\frac{1}{9}$，所以$\frac{4}{9}$的分数单位是$\frac{1}{9}$；
3. 计算需要添加的分数单位个数：最小的质数是2，将2转化为分母是9的分数：$2=\frac{18}{9}$，则$\frac{18}{9}-\frac{4}{9}=\frac{14}{9}$，$\frac{14}{9}$包含14个$\frac{1}{9}$，即需要再加14个这样的分数单位。
【答案】
$\frac{1}{9}$；14
【知识点】
合数、分数单位、质数
【点评】
本题考查合数、质数、分数单位的基础概念，解题关键是准确掌握各概念的定义，属于基础题型，适合巩固分数相关的基础知识。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分三步思考：第一步，根据“最小的合数”“最大的一位数”的定义确定分数的分子和分母，得到这个分数；第二步，依据分数单位的定义，确定该分数的分数单位；第三步，明确最小的质数，计算该质数与已知分数的差，差的分子就是需要添加的分数单位的个数。
【解析】
1. 确定分数：最小的合数是4，最大的一位数是9，因此这个分数为$\frac{4}{9}$；
2. 求分数单位：把单位“1”平均分成9份，每份是$\frac{1}{9}$，所以$\frac{4}{9}$的分数单位是$\frac{1}{9}$；
3. 计算需要添加的分数单位个数：最小的质数是2，将2转化为分母是9的分数：$2=\frac{18}{9}$，则$\frac{18}{9}-\frac{4}{9}=\frac{14}{9}$，$\frac{14}{9}$包含14个$\frac{1}{9}$，即需要再加14个这样的分数单位。
【答案】
$\frac{1}{9}$；14
【知识点】
合数、分数单位、质数
【点评】
本题考查合数、质数、分数单位的基础概念，解题关键是准确掌握各概念的定义，属于基础题型，适合巩固分数相关的基础知识。
【难度系数】
0.8
16. 把糖和水按$1:19$配制成一种糖水，这种糖水的含糖率是(
5
)%。现有糖50 g，可配制这种糖水(1000
)g。答案
5
1000
1000
解析
【分析】首先明确含糖率的计算公式为“含糖率=糖的质量÷糖水的总质量×100%”。已知糖和水的质量比是1:19，可先算出糖水的总份数，进而求出含糖率；再根据“糖水质量=糖的质量÷含糖率”，结合现有糖的质量，计算出可配制的糖水总质量。
【解析】1. 计算含糖率：糖和水的比为1:19，糖水总份数为1+19=20，因此含糖率=（1÷20）×100%=5%；2. 计算50g糖可配制的糖水质量：因为含糖率为5%，所以糖水质量=50÷5%=1000（g）。
【答案】5；1000
【知识点】比的应用；百分率的计算
【点评】本题考查比与百分率的实际结合应用，核心是理解糖水的组成，利用比确定各部分占比，再结合公式计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】1. 计算含糖率：糖和水的比为1:19，糖水总份数为1+19=20，因此含糖率=（1÷20）×100%=5%；2. 计算50g糖可配制的糖水质量：因为含糖率为5%，所以糖水质量=50÷5%=1000（g）。
【答案】5；1000
【知识点】比的应用；百分率的计算
【点评】本题考查比与百分率的实际结合应用，核心是理解糖水的组成，利用比确定各部分占比，再结合公式计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
17. 右图中，长方形ABCF与长方形ACDE重叠。
(1)AE长(
(2)如果三角形①的面积是$8.64\ \mathrm{cm}^2$，那么三角形②的面积是(
(1)AE长(
4.8
)cm；(2)如果三角形①的面积是$8.64\ \mathrm{cm}^2$，那么三角形②的面积是(
15.36
)$\mathrm{cm}^2$。答案
4.8
15.36
15.36
解析
【分析】
首先观察图形，长方形ABCF中已知AB=8cm、BC=6cm，利用勾股定理可求出对角线AC的长度，AC也是长方形ACDE的一条边。△ACF是长方形ABCF的一半，同时也是长方形ACDE的一半，由此可先算出长方形ACDE的面积，进而求出AE的长度；再根据长方形ACDE的面积减去△ACF的面积，得到三角形①和②的面积和，结合已知三角形①的面积，即可求出三角形②的面积。
【解析】
(1) 在长方形ABCF中，根据勾股定理，对角线AC的长度为：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10\ \mathrm{cm}$
△ACF的面积是长方形ABCF面积的一半，因此：
$S_{△ ACF}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm}^2$
由于△ACF是长方形ACDE面积的一半，所以长方形ACDE的面积为：
$S_{ACDE}=2× S_{△ ACF}=2×24=48\ \mathrm{cm}^2$
又因为长方形ACDE的面积=AC×AE，代入AC=10cm，可得：
$AE=\frac{S_{ACDE}}{AC}=\frac{48}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$
(2) 长方形ACDE中，三角形①和三角形②的面积和为：
$S_①+S_②=S_{ACDE}-S_{△ ACF}=48-24=24\ \mathrm{cm}^2$
已知$S_①=8.64\ \mathrm{cm}^2$，因此三角形②的面积为：
$S_②=24-8.64=15.36\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
4.8；15.36
【知识点】
长方形面积、勾股定理、三角形面积
【点评】
本题核心是利用公共三角形△ACF的面积关联两个长方形的面积，结合勾股定理和面积和差关系解题，需理清图形间的面积联系，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先观察图形，长方形ABCF中已知AB=8cm、BC=6cm，利用勾股定理可求出对角线AC的长度，AC也是长方形ACDE的一条边。△ACF是长方形ABCF的一半，同时也是长方形ACDE的一半，由此可先算出长方形ACDE的面积，进而求出AE的长度；再根据长方形ACDE的面积减去△ACF的面积，得到三角形①和②的面积和，结合已知三角形①的面积，即可求出三角形②的面积。
【解析】
(1) 在长方形ABCF中，根据勾股定理，对角线AC的长度为：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10\ \mathrm{cm}$
△ACF的面积是长方形ABCF面积的一半，因此：
$S_{△ ACF}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm}^2$
由于△ACF是长方形ACDE面积的一半，所以长方形ACDE的面积为：
$S_{ACDE}=2× S_{△ ACF}=2×24=48\ \mathrm{cm}^2$
又因为长方形ACDE的面积=AC×AE，代入AC=10cm，可得：
$AE=\frac{S_{ACDE}}{AC}=\frac{48}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$
(2) 长方形ACDE中，三角形①和三角形②的面积和为：
$S_①+S_②=S_{ACDE}-S_{△ ACF}=48-24=24\ \mathrm{cm}^2$
已知$S_①=8.64\ \mathrm{cm}^2$，因此三角形②的面积为：
$S_②=24-8.64=15.36\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
4.8；15.36
【知识点】
长方形面积、勾股定理、三角形面积
【点评】
本题核心是利用公共三角形△ACF的面积关联两个长方形的面积，结合勾股定理和面积和差关系解题，需理清图形间的面积联系，难度适中。
【难度系数】
0.5
