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1.(真题·台州临海)下列各命题中,真命题为…………………(
A.平行四边形的对角线互相平分
B.菱形的对角线相等
C.矩形的对角线互相垂直
D.对角线相等的四边形是矩形
A
)A.平行四边形的对角线互相平分
B.菱形的对角线相等
C.矩形的对角线互相垂直
D.对角线相等的四边形是矩形
答案
1.A
解析
【分析】要判断各命题是否为真，需牢记平行四边形、菱形、矩形的性质及矩形的判定定理，逐一分析每个选项的正确性，排除错误选项后确定真命题。
【解析】逐个分析选项：
A选项：根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，该命题为真命题；
B选项：菱形的对角线互相垂直且平分，并非相等，该命题为假命题；
C选项：矩形的对角线相等且互相平分，并非互相垂直，该命题为假命题；
D选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，该命题为假命题。
综上，真命题为A。
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质与判定
【点评】本题考查特殊四边形的基本性质与判定，属于基础题，需准确区分各特殊四边形的特征，避免混淆性质与判定条件。
【难度系数】0.8
【解析】逐个分析选项：
A选项：根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，该命题为真命题；
B选项：菱形的对角线互相垂直且平分，并非相等，该命题为假命题；
C选项：矩形的对角线相等且互相平分，并非互相垂直，该命题为假命题；
D选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，该命题为假命题。
综上，真命题为A。
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质与判定
【点评】本题考查特殊四边形的基本性质与判定，属于基础题，需准确区分各特殊四边形的特征，避免混淆性质与判定条件。
【难度系数】0.8
2.(真题·宁波镇海)已知矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,则下列结论不一定正确的是 ……………………（
A.$AC=BD$
B.$OA=OB$
C.$AC⊥ BD$
D.$∠ ABC=∠ BAD$
C
）A.$AC=BD$
B.$OA=OB$
C.$AC⊥ BD$
D.$∠ ABC=∠ BAD$
答案
2.C
解析
【分析】本题考查矩形的性质，解题时需回忆矩形的核心性质，逐一分析每个选项，判断其正确性，找出不一定正确的结论。矩形的性质包括：对角线相等且互相平分，四个内角均为直角；需注意区分矩形与菱形、正方形的性质差异，避免混淆。
【解析】根据矩形的性质逐一分析选项：
选项A：矩形的对角线相等，因此AC=BD，该结论正确；
选项B：矩形对角线互相平分，故OA=½AC，OB=½BD，结合AC=BD，可得OA=OB，该结论正确；
选项C：对角线互相垂直是菱形（或正方形）的性质，一般矩形的对角线不一定垂直，因此该结论不一定正确；
选项D：矩形的四个内角均为直角，故∠ABC=∠BAD=90°，该结论正确。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【点评】本题属于矩形性质的基础考查题，核心是掌握矩形的基本性质，明确矩形与特殊平行四边形（菱形、正方形）的性质区别，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.6
【解析】根据矩形的性质逐一分析选项：
选项A：矩形的对角线相等，因此AC=BD，该结论正确；
选项B：矩形对角线互相平分，故OA=½AC，OB=½BD，结合AC=BD，可得OA=OB，该结论正确；
选项C：对角线互相垂直是菱形（或正方形）的性质，一般矩形的对角线不一定垂直，因此该结论不一定正确；
选项D：矩形的四个内角均为直角，故∠ABC=∠BAD=90°，该结论正确。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【点评】本题属于矩形性质的基础考查题，核心是掌握矩形的基本性质，明确矩形与特殊平行四边形（菱形、正方形）的性质区别，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.6
3.(真题·宁波镇海)在菱形$ABCD$中,$∠ A=60°$,点$E,F$分别在边$AB,BC$上,连结$DE,DF$,则添加下列条件后,不能判定$AE=BF$的是…………………………………………………（
A.$BE=CF$
B.$DE=DF$
C.$∠ EDF=60°$
D.$∠ DEB=∠ DFC$
B
）A.$BE=CF$
B.$DE=DF$
C.$∠ EDF=60°$
D.$∠ DEB=∠ DFC$
答案
3.B
解析
【分析】本题需结合菱形性质（四边相等、对角相等），由∠A=60°可推出△ABD、△BCD为等边三角形，进而得到AD=BD、∠A=∠DBF=60°，通过全等三角形判定逐一分析选项，判断能否得到AE=BF。
【解析】在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠A=∠C=60°，故△ABD、△BCD均为等边三角形，得AD=BD，∠A=∠ABD=∠DBC=∠C=60°。
选项A：
∵AB=BC，BE=CF，
∴AB-BE=BC-CF，即AE=BF，可判定；
选项B：DE=DF时，在△ADE与△BDF中，AD=BD，DE=DF，∠A=∠DBF=60°，为SSA，无法判定△ADE≌△BDF，故不能确定AE=BF；
选项C：
∵∠ADB=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，又AD=BD，∠A=∠DBF=60°，
∴△ADE≌△BDF（ASA），得AE=BF，可判定；
选项D：在△DEB与△DFC中，∠DBE=∠C=60°，∠DEB=∠DFC，DB=DC，
∴△DEB≌△DFC（AAS），得BE=CF，又AB=BC，故AB-BE=BC-CF，即AE=BF，可判定。
【答案】B
【知识点】菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定
【点评】本题结合菱形与等边三角形的性质，通过全等三角形判定线段相等，需注意SSA不能判定三角形全等，是解题易错点。
【难度系数】0.5
【解析】在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠A=∠C=60°，故△ABD、△BCD均为等边三角形，得AD=BD，∠A=∠ABD=∠DBC=∠C=60°。
选项A：
∵AB=BC，BE=CF，
∴AB-BE=BC-CF，即AE=BF，可判定；
选项B：DE=DF时，在△ADE与△BDF中，AD=BD，DE=DF，∠A=∠DBF=60°，为SSA，无法判定△ADE≌△BDF，故不能确定AE=BF；
选项C：
∵∠ADB=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，又AD=BD，∠A=∠DBF=60°，
∴△ADE≌△BDF（ASA），得AE=BF，可判定；
选项D：在△DEB与△DFC中，∠DBE=∠C=60°，∠DEB=∠DFC，DB=DC，
∴△DEB≌△DFC（AAS），得BE=CF，又AB=BC，故AB-BE=BC-CF，即AE=BF，可判定。
【答案】B
【知识点】菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定
【点评】本题结合菱形与等边三角形的性质，通过全等三角形判定线段相等，需注意SSA不能判定三角形全等，是解题易错点。
【难度系数】0.5
4.(真题·台州临海)如图,在菱形ABCD中,点E为对角线AC上一点,且$CD=CE$,若$∠ABC=100°$,则$∠CDE=$………(
A.$75°$
B.$70°$
C.$65°$
D.$60°$
甲:作对角线BD的垂直平分线交AD,BC于点E,F
乙:分别作$∠ABD$,$∠BDC$的平分线交AD,BC于点E,F
B
)A.$75°$
B.$70°$
C.$65°$
D.$60°$
甲:作对角线BD的垂直平分线交AD,BC于点E,F
乙:分别作$∠ABD$,$∠BDC$的平分线交AD,BC于点E,F
答案
4.B
解析
【分析】本题需要利用菱形的性质和等腰三角形的性质求解。首先根据菱形邻角互补求出∠BCD的度数，再结合菱形对角线平分一组对角得到等腰△CDE的顶角，最后利用等腰三角形内角和计算∠CDE。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC与∠BCD互补，且AC平分∠BCD，CD=BC。
已知∠ABC=100°，则∠BCD=180°-100°=80°，
∴∠DCE=∠BCD÷2=80°÷2=40°。
又
∵CD=CE，
∴△CDE是等腰三角形，∠CDE=∠CED。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠CDE=(180°-∠DCE)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
【答案】B
【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质
【点评】本题结合菱形和等腰三角形的性质进行角度计算，核心是利用菱形对角线平分内角的特点确定等腰三角形的顶角，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC与∠BCD互补，且AC平分∠BCD，CD=BC。
已知∠ABC=100°，则∠BCD=180°-100°=80°，
∴∠DCE=∠BCD÷2=80°÷2=40°。
又
∵CD=CE，
∴△CDE是等腰三角形，∠CDE=∠CED。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠CDE=(180°-∠DCE)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
【答案】B
【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质
【点评】本题结合菱形和等腰三角形的性质进行角度计算，核心是利用菱形对角线平分内角的特点确定等腰三角形的顶角，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】0.5
5.(真题·绍兴越城)如图1,在矩形ABCD中,要在边AD,BC上找点E,F,使四边形EBFD为菱形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是 ………………………………………………（
A.甲、乙都是
B.只有甲才是
C.只有乙才是
D.甲、乙都不是
B
）A.甲、乙都是
B.只有甲才是
C.只有乙才是
D.甲、乙都不是
答案
5.B
解析
【分析】要判断四边形EBFD是否为菱形，需结合矩形的性质和菱形的判定定理分析两种方案。菱形的判定可通过“四条边相等的四边形是菱形”或“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，因此需分析方案中能否得到四边形EBFD的边相等或平行且邻边相等。
【解析】设矩形ABCD中，AD//BC，AD=BC，∠A=∠ABC=90°，BD为对角线。
方案甲：作BD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，设BD中点为O。
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，FB=FD，且OB=OD，∠BOF=∠DOE=90°。
又
∵AD//BC，
∴∠OBF=∠ODE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），得FB=ED。
∴EB=ED=FB=FD，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可知四边形EBFD为菱形，故甲方案正确。
方案乙：假设乙方案为取点使得AE=CF（或其他不满足邻边相等的条件），则AD-AE=BC-CF，即ED=BF，又ED//BF，故四边形EBFD是平行四边形，但无法得到EB=ED，因此平行四边形EBFD不一定是菱形，故乙方案错误。
综上，只有甲方案正确，答案选B。
【答案】B
【知识点】矩形的性质、菱形的判定、垂直平分线的性质
【点评】本题结合矩形与菱形的性质考查方案判断，核心是掌握菱形的判定定理，需通过边的关系推导，区分不同方案的条件是否满足菱形要求，属于中等难度的几何判定题。
【难度系数】0.5
【解析】设矩形ABCD中，AD//BC，AD=BC，∠A=∠ABC=90°，BD为对角线。
方案甲：作BD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，设BD中点为O。
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，FB=FD，且OB=OD，∠BOF=∠DOE=90°。
又
∵AD//BC，
∴∠OBF=∠ODE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），得FB=ED。
∴EB=ED=FB=FD，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可知四边形EBFD为菱形，故甲方案正确。
方案乙：假设乙方案为取点使得AE=CF（或其他不满足邻边相等的条件），则AD-AE=BC-CF，即ED=BF，又ED//BF，故四边形EBFD是平行四边形，但无法得到EB=ED，因此平行四边形EBFD不一定是菱形，故乙方案错误。
综上，只有甲方案正确，答案选B。
【答案】B
【知识点】矩形的性质、菱形的判定、垂直平分线的性质
【点评】本题结合矩形与菱形的性质考查方案判断，核心是掌握菱形的判定定理，需通过边的关系推导，区分不同方案的条件是否满足菱形要求，属于中等难度的几何判定题。
【难度系数】0.5
6.(真题·杭州拱墅)已知菱形ABCD的面积为8,它的一条对角线长为$2\sqrt{2}$,则菱形ABCD的边长为 ………………(
A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{10}$
D.4
C
)A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{10}$
D.4
答案
6.C
解析
【分析】要解决这道题，首先回忆菱形的面积公式，利用已知的面积和一条对角线长度求出另一条对角线；再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，将两条对角线的一半与边长构成直角三角形，用勾股定理计算边长即可。
【解析】设菱形的另一条对角线长为$d$，根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}d_1d_2$，代入已知$S=8$，$d_1=2\sqrt{2}$，得：
$8=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×d$，解得$d=4\sqrt{2}$。
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以两条对角线的一半分别为$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
根据勾股定理，菱形的边长$a=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2}=\sqrt{2 + 8}=\sqrt{10}$，故选C。
【答案】C
【知识点】菱形的面积公式、菱形的性质、勾股定理
【点评】本题考查菱形的基本性质及相关计算，核心是利用菱形对角线的性质结合勾股定理求边长，属于基础题型，只要掌握相关公式即可顺利解答。
【难度系数】0.7
【解析】设菱形的另一条对角线长为$d$，根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}d_1d_2$，代入已知$S=8$，$d_1=2\sqrt{2}$，得：
$8=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×d$，解得$d=4\sqrt{2}$。
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以两条对角线的一半分别为$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
根据勾股定理，菱形的边长$a=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2}=\sqrt{2 + 8}=\sqrt{10}$，故选C。
【答案】C
【知识点】菱形的面积公式、菱形的性质、勾股定理
【点评】本题考查菱形的基本性质及相关计算，核心是利用菱形对角线的性质结合勾股定理求边长，属于基础题型，只要掌握相关公式即可顺利解答。
【难度系数】0.7
