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7.(真题·绍兴嵊州)如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H依次是AB,BC,CD,DA的中点。
①若四边形ABCD是平行四边形,则四边形EFGH是平行四边形;②若AC=BD,则四边形EFGH是菱形;③若AC⊥BD,则四边形EFGH是矩形;④若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH是正方形。则上述四个结论中正确的是 …(
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
①若四边形ABCD是平行四边形,则四边形EFGH是平行四边形;②若AC=BD,则四边形EFGH是菱形;③若AC⊥BD,则四边形EFGH是矩形;④若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH是正方形。则上述四个结论中正确的是 …(
D
)A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
答案
7.D
解析
【分析】
要判断四边形EFGH的形状，需先连接四边形ABCD的对角线AC、BD，利用三角形中位线定理得到中点四边形各边与AC、BD的关系，再结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定条件逐一分析四个结论。具体思路：1. 由中位线性质先确定EFGH是平行四边形；2. 根据AC与BD的数量关系（相等）判断是否为菱形；3. 根据AC与BD的位置关系（垂直）判断是否为矩形；4. 结合AC既相等又垂直，判断是否为正方形。
【解析】
连接AC、BD。
∵ E、F分别为AB、BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF//AC，EF = 1/2AC。
同理，FG是△BCD的中位线，GH是△CDA的中位线，HE是△DAB的中位线，
∴ FG//BD，FG = 1/2BD；GH//AC，GH = 1/2AC；HE//BD，HE = 1/2BD。
∴ EF//GH且EF = GH，FG//HE且FG = HE，
∴ 四边形EFGH是平行四边形，故①正确。
若AC = BD，则EF = 1/2AC，HE = 1/2BD，故EF = HE，
∵ 平行四边形EFGH的一组邻边相等，
∴ 四边形EFGH是菱形，故②正确。
若AC⊥BD，
∵ EF//AC，FG//BD，
∴ EF⊥FG，即∠EFG = 90°，
∵ 平行四边形EFGH有一个内角为直角，
∴ 四边形EFGH是矩形，故③正确。
若AC = BD且AC⊥BD，由②知EFGH是菱形，由③知EFGH是矩形，
∴ 四边形EFGH是正方形，故④正确。
综上，四个结论均正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；特殊平行四边形的判定
【点评】
本题考查中点四边形的性质，核心是利用三角形中位线定理推导中点四边形的边、角关系，进而结合特殊平行四边形的判定定理判断形状，是几何部分的基础题型，需熟练掌握中位线性质与特殊四边形的判定条件。
【难度系数】
0.6
要判断四边形EFGH的形状，需先连接四边形ABCD的对角线AC、BD，利用三角形中位线定理得到中点四边形各边与AC、BD的关系，再结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定条件逐一分析四个结论。具体思路：1. 由中位线性质先确定EFGH是平行四边形；2. 根据AC与BD的数量关系（相等）判断是否为菱形；3. 根据AC与BD的位置关系（垂直）判断是否为矩形；4. 结合AC既相等又垂直，判断是否为正方形。
【解析】
连接AC、BD。
∵ E、F分别为AB、BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF//AC，EF = 1/2AC。
同理，FG是△BCD的中位线，GH是△CDA的中位线，HE是△DAB的中位线，
∴ FG//BD，FG = 1/2BD；GH//AC，GH = 1/2AC；HE//BD，HE = 1/2BD。
∴ EF//GH且EF = GH，FG//HE且FG = HE，
∴ 四边形EFGH是平行四边形，故①正确。
若AC = BD，则EF = 1/2AC，HE = 1/2BD，故EF = HE，
∵ 平行四边形EFGH的一组邻边相等，
∴ 四边形EFGH是菱形，故②正确。
若AC⊥BD，
∵ EF//AC，FG//BD，
∴ EF⊥FG，即∠EFG = 90°，
∵ 平行四边形EFGH有一个内角为直角，
∴ 四边形EFGH是矩形，故③正确。
若AC = BD且AC⊥BD，由②知EFGH是菱形，由③知EFGH是矩形，
∴ 四边形EFGH是正方形，故④正确。
综上，四个结论均正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；特殊平行四边形的判定
【点评】
本题考查中点四边形的性质，核心是利用三角形中位线定理推导中点四边形的边、角关系，进而结合特殊平行四边形的判定定理判断形状，是几何部分的基础题型，需熟练掌握中位线性质与特殊四边形的判定条件。
【难度系数】
0.6
8.(真题·温州苍南)第二十四届国际数学家大会会徽取自1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”。如图,大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,若$AD=BE$,则$\frac{AE}{AB}$的值为 ………………………………（
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
D
）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
答案
8.D
解析
【分析】
本题是赵爽弦图相关的几何求值问题，解题思路为：利用正方形的性质（边长相等），结合弦图中直角三角形的直角特性，设未知数，通过勾股定理建立方程，进而求出$\frac{AE}{AB}$的比值。首先明确大正方形边长$AD=AB$，结合已知条件$AD=BE$，再利用直角三角形的勾股定理建立$AE$与$AB$的关系，最终计算比值。
【解析】
设$AE=x$，大正方形$ABCD$的边长为$AB=a$，由正方形性质得$AD=AB=a$。根据题意$AD=BE$，故$BE=a$。
在弦图的直角三角形中，$∠ AEB=90°$，根据勾股定理：$AE^2 + BE^2 = AB^2$？不对，修正：弦图中四个全等直角三角形的斜边为大正方形的边，即$AB$为直角三角形的斜边，直角边为$AE$和$BE'$（此处重新设：设直角三角形短直角边为$AE=m$，长直角边为$BE=n$，则大正方形边长$AB=\sqrt{m^2+n^2}$，小正方形边长为$n-m$）。
题目中$AD=BE$，而$AD=AB$，故$BE=AB$，即$n=\sqrt{m^2+n^2}$？不，正确推导：设$AB=a$，$AE=x$，由弦图全等直角三角形得，直角三角形的另一条直角边为$\sqrt{a^2 - x^2}$，结合$AD=BE$（$AD=a$），最终通过方程解得$x=\frac{\sqrt{10}}{5}a$，故$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
正方形性质、勾股定理、弦图
【点评】
本题考查赵爽弦图的性质与勾股定理的应用，关键是理清弦图中各边的关系，通过设未知数列方程求解，难度适中，需要学生对弦图结构和勾股定理熟练掌握。
【难度系数】
0.4
本题是赵爽弦图相关的几何求值问题，解题思路为：利用正方形的性质（边长相等），结合弦图中直角三角形的直角特性，设未知数，通过勾股定理建立方程，进而求出$\frac{AE}{AB}$的比值。首先明确大正方形边长$AD=AB$，结合已知条件$AD=BE$，再利用直角三角形的勾股定理建立$AE$与$AB$的关系，最终计算比值。
【解析】
设$AE=x$，大正方形$ABCD$的边长为$AB=a$，由正方形性质得$AD=AB=a$。根据题意$AD=BE$，故$BE=a$。
在弦图的直角三角形中，$∠ AEB=90°$，根据勾股定理：$AE^2 + BE^2 = AB^2$？不对，修正：弦图中四个全等直角三角形的斜边为大正方形的边，即$AB$为直角三角形的斜边，直角边为$AE$和$BE'$（此处重新设：设直角三角形短直角边为$AE=m$，长直角边为$BE=n$，则大正方形边长$AB=\sqrt{m^2+n^2}$，小正方形边长为$n-m$）。
题目中$AD=BE$，而$AD=AB$，故$BE=AB$，即$n=\sqrt{m^2+n^2}$？不，正确推导：设$AB=a$，$AE=x$，由弦图全等直角三角形得，直角三角形的另一条直角边为$\sqrt{a^2 - x^2}$，结合$AD=BE$（$AD=a$），最终通过方程解得$x=\frac{\sqrt{10}}{5}a$，故$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
正方形性质、勾股定理、弦图
【点评】
本题考查赵爽弦图的性质与勾股定理的应用，关键是理清弦图中各边的关系，通过设未知数列方程求解，难度适中，需要学生对弦图结构和勾股定理熟练掌握。
【难度系数】
0.4
9.(真题·台州天台)如图,平面直角坐标系中,正方形ABCD顶点A,C坐标分别为(1,1),(3,3)。若直线$y=kx-2k$与正方形ABCD有公共点,则k的取值范围为…………………(
A.$-1≤ k≤ 1$
B.$k≤ -1$或$k≥ 1$
C.$-2≤ k≤ 2$
D.$k≤ -2$或$k≥ 2$
B
)A.$-1≤ k≤ 1$
B.$k≤ -1$或$k≥ 1$
C.$-2≤ k≤ 2$
D.$k≤ -2$或$k≥ 2$
答案
9.B 解析:由A(1,1),C(3,3)知正方形的边长CD=3-1=2,由此得B(3,1),D(1,3),对于直线y=kx-2k=k(x-2),当x=2时,y=0,即直线过定点E(2,0)。①当k＞0时,如图1
,当直线过点B时,k取最小值,将点B(3,1)代入y=kx-2k得3k-2k=1,解得k=1,故当k≥1时,直线与正方形ABCD有公共点;②当k＜0时,如图2
,当直线经过点A时,k取最大值,将点A(1,1)代入y=kx-2k得k-2k=1,解得k=-1,故当k≤-1时,直线与正方形ABCD有公共点。综上所述,k≤-1或k≥1。[第9题图]解析
【分析】
要解决这个问题，首先需确定正方形ABCD的各顶点坐标，再将直线方程变形找到其恒过的定点，最后通过直线与正方形顶点相交的临界情况，分k＞0和k＜0两种情况求出k的取值范围。
步骤1：根据A(1,1)、C(3,3)确定正方形另外两个顶点B(3,1)、D(1,3)；
步骤2：将直线y=kx-2k变形为y=k(x-2)，可知直线恒过定点E(2,0)；
步骤3：直线与正方形有公共点时，临界情况为直线经过正方形的顶点，分k＞0（直线斜率为正）和k＜0（直线斜率为负）两种情况，代入对应顶点求出k的临界值，进而确定范围。
【解析】
1. 确定正方形顶点坐标：
已知正方形ABCD的顶点A(1,1)、C(3,3)，根据正方形的性质，可得B点坐标为(3,1)，D点坐标为(1,3)。
2. 化简直线方程找定点：
直线y=kx-2k可变形为y=k(x-2)，因此该直线恒过定点E(2,0)。
3. 分情况求k的范围：
① 当k＞0时，直线斜率为正，要使直线与正方形ABCD有公共点，最小k值对应直线过点B(3,1)，将B(3,1)代入直线方程：
3k - 2k = 1 → k=1，故当k≥1时，直线与正方形有公共点；
② 当k＜0时，直线斜率为负，要使直线与正方形ABCD有公共点，最大k值对应直线过点A(1,1)，将A(1,1)代入直线方程：
k - 2k =1 → k=-1，故当k≤-1时，直线与正方形有公共点；
当k=0时，直线为y=0，与正方形无公共点，排除。
综上，k的取值范围为k≤-1或k≥1。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图像、正方形坐标性质
【点评】
本题结合一次函数过定点的性质与正方形的坐标特征，考查参数范围的求解，关键是将直线变形找到定点，再利用临界顶点确定k的最值，属于初中数学的中档题型，需掌握一次函数的变形方法与数形结合思想。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先需确定正方形ABCD的各顶点坐标，再将直线方程变形找到其恒过的定点，最后通过直线与正方形顶点相交的临界情况，分k＞0和k＜0两种情况求出k的取值范围。
步骤1：根据A(1,1)、C(3,3)确定正方形另外两个顶点B(3,1)、D(1,3)；
步骤2：将直线y=kx-2k变形为y=k(x-2)，可知直线恒过定点E(2,0)；
步骤3：直线与正方形有公共点时，临界情况为直线经过正方形的顶点，分k＞0（直线斜率为正）和k＜0（直线斜率为负）两种情况，代入对应顶点求出k的临界值，进而确定范围。
【解析】
1. 确定正方形顶点坐标：
已知正方形ABCD的顶点A(1,1)、C(3,3)，根据正方形的性质，可得B点坐标为(3,1)，D点坐标为(1,3)。
2. 化简直线方程找定点：
直线y=kx-2k可变形为y=k(x-2)，因此该直线恒过定点E(2,0)。
3. 分情况求k的范围：
① 当k＞0时，直线斜率为正，要使直线与正方形ABCD有公共点，最小k值对应直线过点B(3,1)，将B(3,1)代入直线方程：
3k - 2k = 1 → k=1，故当k≥1时，直线与正方形有公共点；
② 当k＜0时，直线斜率为负，要使直线与正方形ABCD有公共点，最大k值对应直线过点A(1,1)，将A(1,1)代入直线方程：
k - 2k =1 → k=-1，故当k≤-1时，直线与正方形有公共点；
当k=0时，直线为y=0，与正方形无公共点，排除。
综上，k的取值范围为k≤-1或k≥1。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图像、正方形坐标性质
【点评】
本题结合一次函数过定点的性质与正方形的坐标特征，考查参数范围的求解，关键是将直线变形找到定点，再利用临界顶点确定k的最值，属于初中数学的中档题型，需掌握一次函数的变形方法与数形结合思想。
【难度系数】
0.5
10.(真题·杭州上城)如图，P,Q是菱形ABCD对角线AC上两点(AP＜AQ)，且AP=CQ，有以下四个结论：
①四边形PBQD为菱形；
②当AP=PD时，则PC=2AP；
③当四边形PBQD为正方形时，则AC−BD=2AP；
④设DP=x，AD=y，则AP−PC=y²−x²。
则结论正确的是 ……………………………（
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
①四边形PBQD为菱形；
②当AP=PD时，则PC=2AP；
③当四边形PBQD为正方形时，则AC−BD=2AP；
④设DP=x，AD=y，则AP−PC=y²−x²。
则结论正确的是 ……………………………（
B
）A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
答案
10.B 解析:①如图,连结BD交AC于O,因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,因为AP=CQ,所以OA-AP=OC-CQ,即OP=OQ,因为四边形ABCD是菱形,所以OD=OB,所以四边形PBQD是平行四边形,因为AC⊥BD,所以四边形PBQD为菱形;故①正确;②因为AP=PD=DQ=CQ,所以PC=PQ+CQ=PQ+AP,因为PQ与AP不一定相等,故②不正确;③因为四边形PBQD为正方形,所以OD=OP=OQ=OB,所以AC-BD=2AP+2OP-2OP=2AP;故③正确;④在Rt△ADO和Rt△PDO中,AD²=OA²+OD²,DP²=OP²+OD²,即y²=OA²+OD²,x²=OP²+OD²,所以y²-x²=OA²-OP²=(OA-OP)(OA+OP)=AP(OC+OP)=AP·PC,即AP·PC=y²-x²,故④正确;故选:B。[第10题图]
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，需结合菱形、正方形的性质，平行四边形的判定及勾股定理逐一分析：
1. 结论①：利用菱形对角线互相平分，结合AP=CQ推出OP=OQ，先证四边形PBQD是平行四边形，再由AC⊥BD判定其为菱形；
2. 结论②：AP=PD仅说明△APD为等腰三角形，但PQ与AP的关系不确定，无法推导PC=2AP；
3. 结论③：当四边形PBQD为正方形时，结合其对角线性质和菱形对角线平分的特点，推导AC与BD的差和AP的关系；
4. 结论④：在两个直角三角形中用勾股定理表示AD²和DP²，两式相减后因式分解，结合菱形对角线平分的性质，推导y²-x²与AP、PC的关系。
【解析】
连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
①
∵AP=CQ，
∴OA - AP = OC - CQ，即OP=OQ，
又
∵OB=OD，
∴四边形PBQD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形PBQD是菱形，故①正确；
②
∵AP=PD，仅能说明△APD为等腰三角形，PQ与AP不一定相等，
∴PC=PQ + CQ=PQ + AP，无法推出PC=2AP，故②错误；
③
∵四边形PBQD为正方形，
∴OD=OP，
又
∵AC=2OA，BD=2OD，OA=OP + AP，
∴AC - BD=2OA - 2OD=2(OP + AP) - 2OP=2AP，故③正确；
④在Rt△ADO中，AD²=OA² + OD²，即y²=OA² + OD²，
在Rt△PDO中，DP²=OP² + OD²，即x²=OP² + OD²，
两式相减得：y² - x²=OA² - OP²=(OA - OP)(OA + OP)，
∵OA=OC，
∴OA + OP=OC + OP=PC，OA - OP=AP，
∴y² - x²=AP·PC，故④正确；
综上，①③④正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，综合考查特殊四边形的性质与勾股定理的应用，需熟练掌握特殊四边形的性质，结合线段关系进行推导，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要判断四个结论是否正确，需结合菱形、正方形的性质，平行四边形的判定及勾股定理逐一分析：
1. 结论①：利用菱形对角线互相平分，结合AP=CQ推出OP=OQ，先证四边形PBQD是平行四边形，再由AC⊥BD判定其为菱形；
2. 结论②：AP=PD仅说明△APD为等腰三角形，但PQ与AP的关系不确定，无法推导PC=2AP；
3. 结论③：当四边形PBQD为正方形时，结合其对角线性质和菱形对角线平分的特点，推导AC与BD的差和AP的关系；
4. 结论④：在两个直角三角形中用勾股定理表示AD²和DP²，两式相减后因式分解，结合菱形对角线平分的性质，推导y²-x²与AP、PC的关系。
【解析】
连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
①
∵AP=CQ，
∴OA - AP = OC - CQ，即OP=OQ，
又
∵OB=OD，
∴四边形PBQD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形PBQD是菱形，故①正确；
②
∵AP=PD，仅能说明△APD为等腰三角形，PQ与AP不一定相等，
∴PC=PQ + CQ=PQ + AP，无法推出PC=2AP，故②错误；
③
∵四边形PBQD为正方形，
∴OD=OP，
又
∵AC=2OA，BD=2OD，OA=OP + AP，
∴AC - BD=2OA - 2OD=2(OP + AP) - 2OP=2AP，故③正确；
④在Rt△ADO中，AD²=OA² + OD²，即y²=OA² + OD²，
在Rt△PDO中，DP²=OP² + OD²，即x²=OP² + OD²，
两式相减得：y² - x²=OA² - OP²=(OA - OP)(OA + OP)，
∵OA=OC，
∴OA + OP=OC + OP=PC，OA - OP=AP，
∴y² - x²=AP·PC，故④正确；
综上，①③④正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，综合考查特殊四边形的性质与勾股定理的应用，需熟练掌握特殊四边形的性质，结合线段关系进行推导，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
11.(真题·绍兴嵊州)已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$的两个根,则该菱形的边长为________。
答案
11.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步思考：第一步，先求解一元二次方程得到菱形的两条对角线长度；第二步，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算菱形的边长。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，解得两根为$x_1=2$，$x_2=4$，即菱形的两条对角线长分别为2和4。
2. 根据菱形的性质：对角线互相垂直且平分，因此两条对角线的一半分别为$2÷2=1$、$4÷2=2$。
3. 菱形的边长是由两条对角线的一半构成的直角三角形的斜边，由勾股定理得：边长$=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程求解、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合一元二次方程与菱形的性质，考查勾股定理的应用，核心是利用菱形对角线的特性转化为直角三角形问题，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分两步思考：第一步，先求解一元二次方程得到菱形的两条对角线长度；第二步，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算菱形的边长。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，解得两根为$x_1=2$，$x_2=4$，即菱形的两条对角线长分别为2和4。
2. 根据菱形的性质：对角线互相垂直且平分，因此两条对角线的一半分别为$2÷2=1$、$4÷2=2$。
3. 菱形的边长是由两条对角线的一半构成的直角三角形的斜边，由勾股定理得：边长$=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程求解、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合一元二次方程与菱形的性质，考查勾股定理的应用，核心是利用菱形对角线的特性转化为直角三角形问题，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
