1. (2025·南通期中)如图，$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$为$AC$上一点，$E$是$AB$上一点，且$∠ BDE=90°$，$DB=DE=AE$，若$BC=5$，则$AD$的长是$\underline{\hspace{5em}}$.

1. 10 解析:如图,过点E作EF⊥AD,垂足为F,
∴∠EFD=90°,
∴∠FED + ∠EDF = 90°.
∵ ∠BDE = 90°,
∴ ∠BDC + ∠EDF= 180°-∠BDE = 90°,
∴ ∠BDC = ∠FED. 在△BDC 和△DEF 中,$\begin{cases} ∠BDC=∠DEF, \\ ∠C=∠EFD, \\ BD=DE, \end{cases}$
∴ △BDC ≌ △DEF ( AAS ),
∴ BC=DF = 5. 在 Rt△AEF 和 Rt△DEF 中,$\begin{cases} AE=DE, \\ EF=EF, \end{cases}$
∴ Rt△AEF≌Rt△DEF ( HL ),
∴ AF = DF = 5,
∴ AD = AF + DF=10.

2. 如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$是线段$CA$延长线上一点,且$AD=AB$.点$F$是线段$AB$上一点,连接$DF$,以$DF$为斜边作等腰$\mathrm{Rt}△ DFE$.连接$EA$,且$EA⊥ AB$.
(1)若$∠ AEF=20°$,$∠ ADE=50°$,则$∠ ABC=\_\_\_\_\_\_°$.
(2)过点$D$作$DG⊥ AE$,垂足为$G$.
①填空:$△ DEG≌△\_\_\_\_\_\_$;
②求证:$AE=AF+BC$.
(3)如图②,若点$F$是线段$BA$延长线上一点,其他条件不变,请写出线段$AE$,$AF$,$BC$之间的数量关系,并简要说明理由.

2. (1)60 解析:
∵ ∠AEF=20°,∠DEF=90°,
∴ ∠DEA=70°.
∵ ∠ADE=50°,
∴ ∠DAE=60°.
∵ ∠EAB=90°,
∴ ∠BAC=30°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ABC=60°.
(2)①EFA 解析:
∵ DG⊥AE,
∴ ∠DEG+∠EDG=90°.
∵ ∠DEF=90°,
∴ ∠DEG+∠AEF=90°,
∴ ∠EDG=∠FEA.在△DEG 和△EFA 中,$\begin{cases} ∠DGE=∠EAF, \\ ∠EDG=∠FEA, \\ DE=EF, \end{cases}$
∴ △DEG≌△EFA(AAS).
②
∵ ∠GDA+∠GAD=90°,∠GAD+∠BAC=90°,
∴ ∠GDA=∠BAC.
∵ AD = AB,∠DGA = ∠C = 90°,
∴ △GDA ≌ △CAB(AAS),
∴ BC=AG.
∵ △DEG≌△EFA,
∴ EG=AF,
∴ AE=AG+GE=AF+BC.
(3)BC=AE+AF,理由如下:如图,过点D作DG⊥AE,交AE的延长线于点G,则∠DGE=90°.
∵ AE⊥AB,
∴ ∠EAF = ∠DGE = 90°.
∵ △DEF 是以 DF 为斜边的等腰直角三角形,
∴ ∠DEF=90°,DE = EF,
∴ ∠GDE + ∠GED = ∠GED + ∠AEF = 90°,
∴ ∠GDE=∠AEF,
∴ △GDE ≌ △AEF ( AAS ),
∴ GE= AF.
∵ ∠DGE=∠EAF=90°,
∴ DG//AB,
∴ ∠GDA=∠CAB,在△GDA和 △CAB 中,$\begin{cases} ∠DGA=∠C, \\ ∠GDA=∠CAB, \\ AD=BA, \end{cases}$
∴ △GDA≌△CAB ( AAS ),
∴ BC=AG,
∴ BC=EG+AE=AE+AF.