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1. 🏵️|项目式学习【感知】如图①,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角,已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求证:△ABE≌△CAF.
【应用】如图②,在△ABC中,AB=AC,AB＞BC. 点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为21,求△ACF与△BDE的面积之和.
【应用】如图②,在△ABC中,AB=AC,AB＞BC. 点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为21,求△ACF与△BDE的面积之和.
答案
【感知】
∵ ∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠1=∠BAC,
∴ ∠ABE=∠CAF.同理可得∠BAE=∠ACF.在△ABE 和△CAF 中,$\begin{cases} ∠ABE=∠CAF, \\ AB=CA, \\ ∠BAE=∠ACF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CAF(ASA).
【应用】过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H.
∵ CD = 2BD,
∴ BC = 3BD.
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC×AH$,$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD×AH$,
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×21=7$.由【感知】易得,△ABE≌△CAF,
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ CAF}$,
∴ $S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}=7$,即△ACF 与△BDE 的面积之和等于7.
∵ ∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠1=∠BAC,
∴ ∠ABE=∠CAF.同理可得∠BAE=∠ACF.在△ABE 和△CAF 中,$\begin{cases} ∠ABE=∠CAF, \\ AB=CA, \\ ∠BAE=∠ACF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CAF(ASA).
【应用】过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H.
∵ CD = 2BD,
∴ BC = 3BD.
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC×AH$,$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD×AH$,
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×21=7$.由【感知】易得,△ABE≌△CAF,
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ CAF}$,
∴ $S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}=7$,即△ACF 与△BDE 的面积之和等于7.
2. |分类讨论思想 已知,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D,A,E三点都在直线$m$上,$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC$.
(1)如图①,若$AB ⊥ AC$,则$BD$与$AE$的数量关系为
(2)如图②,当$AB$不垂直于$AC$时,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)如图③,若只保持$∠ BDA=∠ AEC$,$BD=EF=7\ \mathrm{cm}$,$DE=10\ \mathrm{cm}$,点$A$在线段$DE$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$D$向点$E$运动,同时,点$C$在线段$EF$上以$x\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$E$向点$F$运动,它们运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.是否存在$x$,使得$△ ABD$与$△ EAC$全等?若存在,求出相应的$t$与$x$的值;若不存在,请说明理由.
(1)如图①,若$AB ⊥ AC$,则$BD$与$AE$的数量关系为
BD = AE
,${BD, CE}$与$DE$的数量关系为BD + CE = DE
.(2)如图②,当$AB$不垂直于$AC$时,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)如图③,若只保持$∠ BDA=∠ AEC$,$BD=EF=7\ \mathrm{cm}$,$DE=10\ \mathrm{cm}$,点$A$在线段$DE$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$D$向点$E$运动,同时,点$C$在线段$EF$上以$x\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$E$向点$F$运动,它们运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.是否存在$x$,使得$△ ABD$与$△ EAC$全等?若存在,求出相应的$t$与$x$的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) $BD = AE$ $BD + CE = DE$ 解析:
∵ ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC,∠BAD+∠CAE+∠BAC = ∠BAD+∠ABD+∠BDA = 180°,
∴ ∠CAE = ∠ABD.
∵ ∠BDA = ∠AEC,AB = CA,
∴ △ABD≌△CAE(AAS),
∴ BD = AE,AD = CE.
∵ AE+AD = DE,
∴ BD+CE = DE.
(2)成立,BD = AE,BD+CE = DE,理由如下:
同(1)得 △ABD ≌ △CAE (AAS),
∴ BD = AE, CE = AD.
∵ AE+AD = DE,
∴ BD+CE = DE.
(3)存在.当△DAB ≌ △ECA 时,AD = CE,BD = AE = 7 cm.
∵ AD+AE = DE = 10 cm,
∴ CE = AD = DE-AE = 3 cm,
∴ $t=\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}$,
∴ $x=3÷\frac{3}{2}=2$;当△DAB ≌ △EAC 时,$AD = AE = \frac{1}{2}DE = 5$ cm,$DB = EC = 7$ cm,
∴ $t=\frac{AD}{2}=\frac{5}{2}$,$x=7÷\frac{5}{2}=\frac{14}{5}$.综上所述,存在$x$,使得△ABD与△EAC全等,$t=\frac{3}{2}$,$x=2$ 或 $t=\frac{5}{2}$,$x=\frac{14}{5}$.
∵ ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC,∠BAD+∠CAE+∠BAC = ∠BAD+∠ABD+∠BDA = 180°,
∴ ∠CAE = ∠ABD.
∵ ∠BDA = ∠AEC,AB = CA,
∴ △ABD≌△CAE(AAS),
∴ BD = AE,AD = CE.
∵ AE+AD = DE,
∴ BD+CE = DE.
(2)成立,BD = AE,BD+CE = DE,理由如下:
同(1)得 △ABD ≌ △CAE (AAS),
∴ BD = AE, CE = AD.
∵ AE+AD = DE,
∴ BD+CE = DE.
(3)存在.当△DAB ≌ △ECA 时,AD = CE,BD = AE = 7 cm.
∵ AD+AE = DE = 10 cm,
∴ CE = AD = DE-AE = 3 cm,
∴ $t=\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}$,
∴ $x=3÷\frac{3}{2}=2$;当△DAB ≌ △EAC 时,$AD = AE = \frac{1}{2}DE = 5$ cm,$DB = EC = 7$ cm,
∴ $t=\frac{AD}{2}=\frac{5}{2}$,$x=7÷\frac{5}{2}=\frac{14}{5}$.综上所述,存在$x$,使得△ABD与△EAC全等,$t=\frac{3}{2}$,$x=2$ 或 $t=\frac{5}{2}$,$x=\frac{14}{5}$.
