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5. (2026·福建福州月考)为确保道路交通安全，高速公路均设有限速规定，机动车最低车速不得低于 60 km/h，最高车速不得高于120 km/h.某科技小组基于此设计了一个车速报警装置，其简化电路如图甲所示.当系统检测到车辆行驶在高速公路上时闭合开关，电源电压保持不变，定值电阻$R$的阻值为$20\ \Omega$；可变电阻$R_v$的阻值随车速变化的关系图像如图乙所示.当电流表或电压表示数超过设定值时，会触发报警.
(1) 当车速为 60 km/h 时，电压表的示数为8 V，求通过$R_v$的电流.
(2) 为满足高速公路限速要求，求电流表和电压表的报警设定值.
(3) 保持报警设定值不变，若车速高于 110 km/h时就开始报警，提出改进方案，并通过计算说明.
(1) 当车速为 60 km/h 时，电压表的示数为8 V，求通过$R_v$的电流.
(2) 为满足高速公路限速要求，求电流表和电压表的报警设定值.
(3) 保持报警设定值不变，若车速高于 110 km/h时就开始报警，提出改进方案，并通过计算说明.
答案
(1) 0.2 A
(2) 低速报警时电压表报警设定值为8 V;高速报警时电流表报警设定值为0.4 A
(3) 将定值电阻$R$更换为阻值为$15\ \Omega$的定值电阻,计算过程见解析
解析:(1) 由图甲可知,$R$与$R_v$串联,电压表测$R_v$两端的电压,电流表测电路中的电流.当车速为60 km/h时,由图乙可知此时$R_v=40\ \Omega$,由欧姆定律可知通过$R_v$的电流$I_v=\frac{U_v}{R_v}=\frac{8\ \mathrm{V}}{40\ \Omega}=0.2\ \mathrm{A}$.
(2) 当车速为60 km/h时,$I=I_v=0.2\ \mathrm{A}$,$R=20\ \Omega$,电阻$R$两端的电压$U_R=I_vR=0.2\ \mathrm{A}×20\ \Omega=4\ \mathrm{V}$,则电源电压$U=U_R+U_v=4\ \mathrm{V}+8\ \mathrm{V}=12\ \mathrm{V}$.由图乙知,当速度减小时,$R_v$增大,由串联分压可知$R_v$两端电压增大,即电压表的示数增大,所以,当车速低于最低限速60 km/h时,电压表的示数会超过车速为60 km/h时的电压值8 V,此时应报警,则低速报警时电压表报警的设定值$U_{\mathrm{报警}}=8\ \mathrm{V}$;由图乙可知,当速度增大时,$R_v$减小,电路总电阻减小,电路中的电流增大,即电流表示数增大,所以,当车速高于最高限速120 km/h时,电流表的示数会超过车速为120 km/h时的电流值,此时应报警,当车速$v=120\ \mathrm{km/h}$时,由图乙可知$R_{v2}=10\ \Omega$,此时电路中的电流$I_2=\frac{U}{R+R_{v2}}=\frac{12\ \mathrm{V}}{20\ \Omega+10\ \Omega}=0.4\ \mathrm{A}$,即电流表报警的设定值为$I_{\mathrm{报警}}=0.4\ \mathrm{A}$.由此可知,低速报警时,电压表报警的设定值为8 V,高速报警时,电流表报警的设定值为0.4 A.
(3) 若车速高于110 km/h就开始报警,说明在车速还未达到120 km/h时,电流就达到了报警设定值,即当前定值电阻$R$阻值偏大,可减小定值电阻$R$的阻值.设图乙中$R_v$与$v$的关系式为$R_v=kv+b$,则有$40\ \Omega=k×60\ \mathrm{km/h}+b$ ①、$10\ \Omega=k×120\ \mathrm{km/h}+b$ ②,联立①②解得$R_v=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h})× v+70\ \Omega$,设车速为110 km/h时刚好报警,由图乙可知此时$R_v=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h})×110\ \mathrm{km/h}+70\ \Omega=15\ \Omega$.保持报警设定值不变,若车速高于110 km/h时就开始报警,则由(2)可知电路中电流要达到0.4 A,此时电路的总电阻应为$R_{\mathrm{总}}=\frac{U}{I_2}=\frac{12\ \mathrm{V}}{0.4\ \mathrm{A}}=30\ \Omega$,根据串联电路的电阻规律可知,此时电路中定值电阻的阻值应为$R'=R_{\mathrm{总}}-R_v=30\ \Omega-15\ \Omega=15\ \Omega$,则应将定值电阻$R$更换为阻值为15 Ω的定值电阻.
(2) 低速报警时电压表报警设定值为8 V;高速报警时电流表报警设定值为0.4 A
(3) 将定值电阻$R$更换为阻值为$15\ \Omega$的定值电阻,计算过程见解析
解析:(1) 由图甲可知,$R$与$R_v$串联,电压表测$R_v$两端的电压,电流表测电路中的电流.当车速为60 km/h时,由图乙可知此时$R_v=40\ \Omega$,由欧姆定律可知通过$R_v$的电流$I_v=\frac{U_v}{R_v}=\frac{8\ \mathrm{V}}{40\ \Omega}=0.2\ \mathrm{A}$.
(2) 当车速为60 km/h时,$I=I_v=0.2\ \mathrm{A}$,$R=20\ \Omega$,电阻$R$两端的电压$U_R=I_vR=0.2\ \mathrm{A}×20\ \Omega=4\ \mathrm{V}$,则电源电压$U=U_R+U_v=4\ \mathrm{V}+8\ \mathrm{V}=12\ \mathrm{V}$.由图乙知,当速度减小时,$R_v$增大,由串联分压可知$R_v$两端电压增大,即电压表的示数增大,所以,当车速低于最低限速60 km/h时,电压表的示数会超过车速为60 km/h时的电压值8 V,此时应报警,则低速报警时电压表报警的设定值$U_{\mathrm{报警}}=8\ \mathrm{V}$;由图乙可知,当速度增大时,$R_v$减小,电路总电阻减小,电路中的电流增大,即电流表示数增大,所以,当车速高于最高限速120 km/h时,电流表的示数会超过车速为120 km/h时的电流值,此时应报警,当车速$v=120\ \mathrm{km/h}$时,由图乙可知$R_{v2}=10\ \Omega$,此时电路中的电流$I_2=\frac{U}{R+R_{v2}}=\frac{12\ \mathrm{V}}{20\ \Omega+10\ \Omega}=0.4\ \mathrm{A}$,即电流表报警的设定值为$I_{\mathrm{报警}}=0.4\ \mathrm{A}$.由此可知,低速报警时,电压表报警的设定值为8 V,高速报警时,电流表报警的设定值为0.4 A.
(3) 若车速高于110 km/h就开始报警,说明在车速还未达到120 km/h时,电流就达到了报警设定值,即当前定值电阻$R$阻值偏大,可减小定值电阻$R$的阻值.设图乙中$R_v$与$v$的关系式为$R_v=kv+b$,则有$40\ \Omega=k×60\ \mathrm{km/h}+b$ ①、$10\ \Omega=k×120\ \mathrm{km/h}+b$ ②,联立①②解得$R_v=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h})× v+70\ \Omega$,设车速为110 km/h时刚好报警,由图乙可知此时$R_v=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h})×110\ \mathrm{km/h}+70\ \Omega=15\ \Omega$.保持报警设定值不变,若车速高于110 km/h时就开始报警,则由(2)可知电路中电流要达到0.4 A,此时电路的总电阻应为$R_{\mathrm{总}}=\frac{U}{I_2}=\frac{12\ \mathrm{V}}{0.4\ \mathrm{A}}=30\ \Omega$,根据串联电路的电阻规律可知,此时电路中定值电阻的阻值应为$R'=R_{\mathrm{总}}-R_v=30\ \Omega-15\ \Omega=15\ \Omega$,则应将定值电阻$R$更换为阻值为15 Ω的定值电阻.
解析
【分析】
首先明确电路连接方式：图甲中定值电阻R与可变电阻Rv串联，电流表测电路总电流，电压表测Rv两端电压。
第(1)问：先从图乙的Rv-v图像中，找到车速60km/h对应的Rv阻值为40Ω，已知此时Rv两端电压为8V，直接根据欧姆定律I=U/R即可求出通过Rv的电流。
第(2)问：利用第(1)问得到的电路电流，先计算定值电阻R两端的电压，结合串联电路电压规律求出电源总电压。再结合图像分析电阻随车速的变化规律：车速低于最低限速60km/h时，Rv阻值大于40Ω，串联分压下Rv两端电压会大于8V，因此设置电压表超过8V触发低速报警；车速高于最高限速120km/h时，Rv阻值小于10Ω，电路总电阻变小，电流会大于120km/h对应的电路电流，因此计算120km/h时的电路电流，作为电流表的高速报警设定值。
第(3)问：首先根据图乙的两个已知点推导出Rv和车速v的线性关系式，算出110km/h对应的Rv阻值。保持原有报警电流0.4A不变，电源电压不变，根据欧姆定律算出此时电路需要的总电阻，减去110km/h对应的Rv阻值，即可得到需要替换的新定值电阻的阻值，完成方案设计。
【解析】
(1) 由图甲可知，R与Rv串联，电压表测Rv两端电压，电流表测电路电流。
当车速为60 km/h时，从图乙可得此时$R_v=40\ \Omega$，根据欧姆定律，通过Rv的电流：
$I_v=\frac{U_v}{R_v}=\frac{8\ \mathrm{V}}{40\ \Omega}=0.2\ \mathrm{A}$
(2) 串联电路电流处处相等，此时电路电流$I=I_v=0.2\ \mathrm{A}$，定值电阻R两端的电压：
$U_R=IR=0.2\ \mathrm{A} × 20\ \Omega=4\ \mathrm{V}$
根据串联电路电压规律，电源总电压：
$U=U_R+U_v=4\ \mathrm{V}+8\ \mathrm{V}=12\ \mathrm{V}$
由图乙可知，车速越小，Rv的阻值越大，根据串联分压规律，Rv两端电压越大，因此当车速低于最低限速60 km/h时，电压表示数会大于8 V，触发低速报警，因此电压表的报警设定值为8 V；
车速越大，Rv的阻值越小，电路总电阻越小，电路电流越大，当车速为120 km/h时，从图乙得$R_v=10\ \Omega$，此时电路电流：
$I_2=\frac{U}{R+R_v}=\frac{12\ \mathrm{V}}{20\ \Omega+10\ \Omega}=0.4\ \mathrm{A}$
当车速高于最高限速120 km/h时，电路电流会大于0.4 A，触发高速报警，因此电流表的报警设定值为0.4 A。
(3) 设Rv与v的线性关系式为$R_v=kv+b$，将$v_1=60\ \mathrm{km/h}$、$R_{v1}=40\ \Omega$，$v_2=120\ \mathrm{km/h}$、$R_{v2}=10\ \Omega$代入得：
$\begin{cases}40\ \Omega = k × 60\ \mathrm{km/h} + b \\10\ \Omega = k × 120\ \mathrm{km/h} + b \end{cases}$
解得$k=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h})$，$b=70\ \Omega$，即$R_v=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h}) · v +70\ \Omega$。
当$v=110\ \mathrm{km/h}$时，代入得此时$R_v=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h}) × 110\ \mathrm{km/h} +70\ \Omega=15\ \Omega$。
保持报警设定值不变，要在车速110 km/h时电流刚好达到报警值0.4 A，此时电路总电阻：
$R_{\mathrm{总}}=\frac{U}{I_{\mathrm{报警}}}=\frac{12\ \mathrm{V}}{0.4\ \mathrm{A}}=30\ \Omega$
根据串联电阻规律，新的定值电阻阻值：
$R'=R_{\mathrm{总}}-R_v=30\ \Omega -15\ \Omega=15\ \Omega$
因此改进方案为：将原定值电阻R替换为阻值为15 Ω的定值电阻。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.2\ \mathrm{A}}$
(2) 低速报警时电压表设定值为$\boldsymbol{8\ \mathrm{V}}$，高速报警时电流表设定值为$\boldsymbol{0.4\ \mathrm{A}}$
(3) 将定值电阻R更换为阻值为15 Ω的定值电阻，计算过程如上。
【知识点】
串联电路电压规律，欧姆定律应用，动态电路分析
【点评】
本题是结合生活实际的车速报警装置综合题，融合了图像信息提取、串联电路规律、欧姆定律的应用，需要学生结合限速要求逻辑分析报警触发的条件，第三问还需要推导电阻与车速的函数关系，对综合分析能力有一定考察，易错点是混淆高低速对应的电表示数变化趋势。
【难度系数】
0.4
首先明确电路连接方式：图甲中定值电阻R与可变电阻Rv串联，电流表测电路总电流，电压表测Rv两端电压。
第(1)问：先从图乙的Rv-v图像中，找到车速60km/h对应的Rv阻值为40Ω，已知此时Rv两端电压为8V，直接根据欧姆定律I=U/R即可求出通过Rv的电流。
第(2)问：利用第(1)问得到的电路电流，先计算定值电阻R两端的电压，结合串联电路电压规律求出电源总电压。再结合图像分析电阻随车速的变化规律：车速低于最低限速60km/h时，Rv阻值大于40Ω，串联分压下Rv两端电压会大于8V，因此设置电压表超过8V触发低速报警；车速高于最高限速120km/h时，Rv阻值小于10Ω，电路总电阻变小，电流会大于120km/h对应的电路电流，因此计算120km/h时的电路电流，作为电流表的高速报警设定值。
第(3)问：首先根据图乙的两个已知点推导出Rv和车速v的线性关系式，算出110km/h对应的Rv阻值。保持原有报警电流0.4A不变，电源电压不变，根据欧姆定律算出此时电路需要的总电阻，减去110km/h对应的Rv阻值，即可得到需要替换的新定值电阻的阻值，完成方案设计。
【解析】
(1) 由图甲可知，R与Rv串联，电压表测Rv两端电压，电流表测电路电流。
当车速为60 km/h时，从图乙可得此时$R_v=40\ \Omega$，根据欧姆定律，通过Rv的电流：
$I_v=\frac{U_v}{R_v}=\frac{8\ \mathrm{V}}{40\ \Omega}=0.2\ \mathrm{A}$
(2) 串联电路电流处处相等，此时电路电流$I=I_v=0.2\ \mathrm{A}$，定值电阻R两端的电压：
$U_R=IR=0.2\ \mathrm{A} × 20\ \Omega=4\ \mathrm{V}$
根据串联电路电压规律，电源总电压：
$U=U_R+U_v=4\ \mathrm{V}+8\ \mathrm{V}=12\ \mathrm{V}$
由图乙可知，车速越小，Rv的阻值越大，根据串联分压规律，Rv两端电压越大，因此当车速低于最低限速60 km/h时，电压表示数会大于8 V，触发低速报警，因此电压表的报警设定值为8 V；
车速越大，Rv的阻值越小，电路总电阻越小，电路电流越大，当车速为120 km/h时，从图乙得$R_v=10\ \Omega$，此时电路电流：
$I_2=\frac{U}{R+R_v}=\frac{12\ \mathrm{V}}{20\ \Omega+10\ \Omega}=0.4\ \mathrm{A}$
当车速高于最高限速120 km/h时，电路电流会大于0.4 A，触发高速报警，因此电流表的报警设定值为0.4 A。
(3) 设Rv与v的线性关系式为$R_v=kv+b$，将$v_1=60\ \mathrm{km/h}$、$R_{v1}=40\ \Omega$，$v_2=120\ \mathrm{km/h}$、$R_{v2}=10\ \Omega$代入得：
$\begin{cases}40\ \Omega = k × 60\ \mathrm{km/h} + b \\10\ \Omega = k × 120\ \mathrm{km/h} + b \end{cases}$
解得$k=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h})$，$b=70\ \Omega$，即$R_v=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h}) · v +70\ \Omega$。
当$v=110\ \mathrm{km/h}$时，代入得此时$R_v=-0.5\ \Omega/(\mathrm{km/h}) × 110\ \mathrm{km/h} +70\ \Omega=15\ \Omega$。
保持报警设定值不变，要在车速110 km/h时电流刚好达到报警值0.4 A，此时电路总电阻：
$R_{\mathrm{总}}=\frac{U}{I_{\mathrm{报警}}}=\frac{12\ \mathrm{V}}{0.4\ \mathrm{A}}=30\ \Omega$
根据串联电阻规律，新的定值电阻阻值：
$R'=R_{\mathrm{总}}-R_v=30\ \Omega -15\ \Omega=15\ \Omega$
因此改进方案为：将原定值电阻R替换为阻值为15 Ω的定值电阻。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.2\ \mathrm{A}}$
(2) 低速报警时电压表设定值为$\boldsymbol{8\ \mathrm{V}}$，高速报警时电流表设定值为$\boldsymbol{0.4\ \mathrm{A}}$
(3) 将定值电阻R更换为阻值为15 Ω的定值电阻，计算过程如上。
【知识点】
串联电路电压规律，欧姆定律应用，动态电路分析
【点评】
本题是结合生活实际的车速报警装置综合题，融合了图像信息提取、串联电路规律、欧姆定律的应用，需要学生结合限速要求逻辑分析报警触发的条件，第三问还需要推导电阻与车速的函数关系，对综合分析能力有一定考察，易错点是混淆高低速对应的电表示数变化趋势。
【难度系数】
0.4
