登录
【学以致用3】甲、乙两车分别从相距360 km的A,B两地出发,甲车速度为70 km/h,乙车速度为50 km/h.
(1)两车同时出发,相向而行,经过多长时间两车相遇?
(2)两车同时出发,同向而行(乙车在前,甲车在后),经过多长时间两车相遇?
(3)两车同时出发,同向而行(乙车在前,甲车在后),多长时间后两车相距60 km?
(1)两车同时出发,相向而行,经过多长时间两车相遇?
(2)两车同时出发,同向而行(乙车在前,甲车在后),经过多长时间两车相遇?
(3)两车同时出发,同向而行(乙车在前,甲车在后),多长时间后两车相距60 km?
答案
[思路导引] 由题意可得等量关系:(1)甲车行驶路程+乙车行驶路程=360;
(2)甲车行驶路程-乙车行驶路程=360;
(3)甲车行驶路程-乙车行驶路程=360±60.
解:(1)设经过x h两车相遇.
由题意,得(70+50)x=360,解得x=3.
答:两车同时出发,相向而行,经过3 h两车相遇.
(2)设经过y h两车相遇.
由题意,得70y-50y=360,解得y=18.
答:两车同时出发,同向而行(乙车在前,甲车在后),经过18 h两车相遇.
(3)设z h后两车相距60 km.
①相遇前:70z-50z=360-60,解得z=15;
②相遇后:70z-50z=360+60,解得z=21.
答:两车同时出发,同向而行(乙车在前,甲车在后),15 h或21 h后两车相距60 km.
(2)甲车行驶路程-乙车行驶路程=360;
(3)甲车行驶路程-乙车行驶路程=360±60.
解:(1)设经过x h两车相遇.
由题意,得(70+50)x=360,解得x=3.
答:两车同时出发,相向而行,经过3 h两车相遇.
(2)设经过y h两车相遇.
由题意,得70y-50y=360,解得y=18.
答:两车同时出发,同向而行(乙车在前,甲车在后),经过18 h两车相遇.
(3)设z h后两车相距60 km.
①相遇前:70z-50z=360-60,解得z=15;
②相遇后:70z-50z=360+60,解得z=21.
答:两车同时出发,同向而行(乙车在前,甲车在后),15 h或21 h后两车相距60 km.
解析
【分析】
这是行程类一元一次方程应用的典型题型，解题核心是结合行驶场景找准等量关系：①相向而行相遇时，两车行驶的路程之和等于A、B两地总距离，可通过“速度和×时间=总路程”列方程；②同向而行（乙在前甲在后）相遇属于追及问题，相遇时甲车比乙车多行驶了初始的360km距离，可通过“速度差×时间=路程差”列方程；③同向而行相距60km时需分类讨论：一是还未追上乙车时相距60km，此时甲比乙多走的路程为总距离减60km；二是追上乙车后超出60km，此时甲比乙多走的路程为总距离加60km，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 设经过x h两车相遇。
由题意得：
$(70+50)x=360$
$120x=360$
解得$x=3$
答：两车同时出发，相向而行，经过3 h两车相遇。
(2) 设经过y h两车相遇。
由题意得：
$70y-50y=360$
$20y=360$
解得$y=18$
答：两车同时出发，同向而行（乙车在前，甲车在后），经过18 h两车相遇。
(3) 设z h后两车相距60 km，分两种情况讨论：
① 相遇前相距60km：
$70z-50z=360-60$
$20z=300$
解得$z=15$
② 相遇后相距60km：
$70z-50z=360+60$
$20z=420$
解得$z=21$
答：两车同时出发，同向而行（乙车在前，甲车在后），15 h或21 h后两车相距60 km。
【答案】
(1) 3 h；(2) 18 h；(3) 15 h或21 h
【知识点】
行程问题，一元一次方程应用，相遇追及问题
【点评】
本题重点考查不同行驶场景下等量关系的提取能力，第三问需要注意分类讨论两种相距60km的情况，避免漏解，对逻辑严谨性有一定要求，是行程问题的经典考法。
【难度系数】
0.65
这是行程类一元一次方程应用的典型题型，解题核心是结合行驶场景找准等量关系：①相向而行相遇时，两车行驶的路程之和等于A、B两地总距离，可通过“速度和×时间=总路程”列方程；②同向而行（乙在前甲在后）相遇属于追及问题，相遇时甲车比乙车多行驶了初始的360km距离，可通过“速度差×时间=路程差”列方程；③同向而行相距60km时需分类讨论：一是还未追上乙车时相距60km，此时甲比乙多走的路程为总距离减60km；二是追上乙车后超出60km，此时甲比乙多走的路程为总距离加60km，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 设经过x h两车相遇。
由题意得：
$(70+50)x=360$
$120x=360$
解得$x=3$
答：两车同时出发，相向而行，经过3 h两车相遇。
(2) 设经过y h两车相遇。
由题意得：
$70y-50y=360$
$20y=360$
解得$y=18$
答：两车同时出发，同向而行（乙车在前，甲车在后），经过18 h两车相遇。
(3) 设z h后两车相距60 km，分两种情况讨论：
① 相遇前相距60km：
$70z-50z=360-60$
$20z=300$
解得$z=15$
② 相遇后相距60km：
$70z-50z=360+60$
$20z=420$
解得$z=21$
答：两车同时出发，同向而行（乙车在前，甲车在后），15 h或21 h后两车相距60 km。
【答案】
(1) 3 h；(2) 18 h；(3) 15 h或21 h
【知识点】
行程问题，一元一次方程应用，相遇追及问题
【点评】
本题重点考查不同行驶场景下等量关系的提取能力，第三问需要注意分类讨论两种相距60km的情况，避免漏解，对逻辑严谨性有一定要求，是行程问题的经典考法。
【难度系数】
0.65
【典例1】一件商品随季节变化进行降价出售，如果按现价降价10％，仍可获利180元；如果按现价降价20％，就要亏损180元.这件商品的进价是多少元？
[思路导引] 由题意可得等量关系:进价＝现价降价10％－180元＝现价降价20％＋180元.
[答案] 解:设这件商品的现价是x元.
由题意,得$(1-10\%)x-180=(1-20\%)x+180$,
解得$x=3600$.
$3600×(1-10\%)-180=3060$(元).
答:这件商品的进价是3060元.
[思路导引] 由题意可得等量关系:进价＝现价降价10％－180元＝现价降价20％＋180元.
[答案] 解:设这件商品的现价是x元.
由题意,得$(1-10\%)x-180=(1-20\%)x+180$,
解得$x=3600$.
$3600×(1-10\%)-180=3060$(元).
答:这件商品的进价是3060元.
答案
解：设这件商品的现价是x元。
由题意，得$(1-10\%)x-180=(1-20\%)x+180$，
解得$x=3600$。
$3600×(1-10\%)-180=3060$(元)。
答：这件商品的进价是3060元。
由题意，得$(1-10\%)x-180=(1-20\%)x+180$，
解得$x=3600$。
$3600×(1-10\%)-180=3060$(元)。
答：这件商品的进价是3060元。
解析
【分析】
解题的核心是抓住商品进价固定不变这一关键条件。我们可以先设商品现价为未知数x，两次降价均以现价为基础：降价10%后销售可获利180元，说明进价=现价的90%减去获利的180元；降价20%后销售会亏损180元，说明进价=现价的80%加上亏损的180元。两个式子均表示进价，因此可列等式先求出现价，再代入任意一个进价表达式就能算出最终进价。
【解析】
解：设这件商品的现价是x元。
根据进价不变的等量关系列方程：
$(1-10\%)x - 180 = (1-20\%)x + 180$
整理得：$0.9x - 180 = 0.8x + 180$
移项计算：$0.9x - 0.8x = 180 + 180$
$0.1x = 360$
解得：$x = 3600$
将$x=3600$代入进价表达式计算：
$3600×(1-10\%) - 180 = 3240 - 180 = 3060$（元）
答：这件商品的进价是3060元。
【答案】
3060元
【知识点】
折扣问题、一元一次方程应用、利润计算
【点评】
本题是折扣与利润结合的典型实际应用题，核心突破点是找到不变量“进价”，以此为等量关系列方程求解，能有效锻炼学生提取题干等量关系、用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题的核心是抓住商品进价固定不变这一关键条件。我们可以先设商品现价为未知数x，两次降价均以现价为基础：降价10%后销售可获利180元，说明进价=现价的90%减去获利的180元；降价20%后销售会亏损180元，说明进价=现价的80%加上亏损的180元。两个式子均表示进价，因此可列等式先求出现价，再代入任意一个进价表达式就能算出最终进价。
【解析】
解：设这件商品的现价是x元。
根据进价不变的等量关系列方程：
$(1-10\%)x - 180 = (1-20\%)x + 180$
整理得：$0.9x - 180 = 0.8x + 180$
移项计算：$0.9x - 0.8x = 180 + 180$
$0.1x = 360$
解得：$x = 3600$
将$x=3600$代入进价表达式计算：
$3600×(1-10\%) - 180 = 3240 - 180 = 3060$（元）
答：这件商品的进价是3060元。
【答案】
3060元
【知识点】
折扣问题、一元一次方程应用、利润计算
【点评】
本题是折扣与利润结合的典型实际应用题，核心突破点是找到不变量“进价”，以此为等量关系列方程求解，能有效锻炼学生提取题干等量关系、用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
