16. 数轴是一个非常重要的数学工具,通过它把数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.请利用数轴回答下列问题:
(1)如果点A表示数−2,将点A向右移动5个单位长度到达点B,那么点B表示的数是,A,B两点间的距离是;
(2)如果点A表示数5,将点A先向左移动4个单位长度,再向右移动7个单位长度到达点B,那么点B表示的数是,A,B两点间的距离是;
(3)一般地,如果点A表示的数为a,将点A先向左移动b个单位长度,再向右移动c个单位长度到达点B,那么点B表示的数是.

(1)3 5 (2)8 3 (3)$a-b+c$

【分析】
解题核心是掌握数轴上点的平移规则和两点距离的计算方法：1. 点平移规律：数轴上点向右移动n个单位，对应表示的数加n；向左移动n个单位，对应表示的数减n，可总结为“左减右加”。2. 数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值。按照该规律依次计算三个小问即可：
(1) 直接用点A的数加上向右移动的长度得到点B的数，再用两数差的绝对值算距离；
(2) 按移动顺序先后做减法、加法运算得到点B的数，再计算距离；
(3) 把具体数值替换为字母，沿用平移规律列代数式即可。
【解析】
(1) 点A表示数-2，向右移动5个单位，根据“右加”规则，点B表示的数为：$-2+5=3$；
A、B两点间的距离为：$|3-(-2)|=5$。
(2) 点A表示数5，先向左移动4个单位得：$5-4=1$，再向右移动7个单位，点B表示的数为：$1+7=8$；
A、B两点间的距离为：$|8-5|=3$。
(3) 点A表示数为a，向左移动b个单位得：$a-b$，再向右移动c个单位，因此点B表示的数为：$a-b+c$。
【答案】
(1)3；5 (2)8；3 (3)$a-b+c$
【知识点】
数轴点的平移规律；数轴两点距离计算；列代数式
【点评】
本题是数形结合思想的基础应用，侧重考察数轴基础规则的掌握，只要牢记平移“左减右加”的规律和两点距离的计算方法，就能快速准确解题，属于数轴板块的基础常规题型。
【难度系数】
0.85

17. 小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
$3-2=1$
$8+7-6-5=4$
$15+14+13-12-11-10=9$
$24+23+22+21-20-19-18-17=16$
……
根据以上规律可知第100行左起第一个数是多少？

10200

【分析】
要解决这道题，我们需要先观察每行左起第一个数的变化规律。首先将前几行的左起第一个数与对应的行数对应起来，分析这些数和行数的数量关系，归纳出通用的表达式，最后把行数n=100代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
设行数为$n$（$n$为正整数），观察前4行左起第一个数：
第1行（$n=1$）：左起第一个数是$3=(1+1)^2-1$
第2行（$n=2$）：左起第一个数是$8=(2+1)^2-1$
第3行（$n=3$）：左起第一个数是$15=(3+1)^2-1$
第4行（$n=4$）：左起第一个数是$24=(4+1)^2-1$
由此可归纳出第$n$行左起第一个数的规律为：$(n+1)^2-1$。
当$n=100$时，代入得：
$(100+1)^2-1=101^2-1=10201-1=10200$
【答案】
10200
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察已知式子的特征，建立对应位置数字和行数的联系，通过归纳推理得到通项公式再代入求值，考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7

18. 定义:如果两个一元一次方程的解的和为1,我们就称这两个方程互为“唯美方程”.例如:方程$2x -6=0$和$x+2=0$互为“唯美方程”.
(1)若关于$x$的方程$x+m=0$与方程$7(x-1)+3=x+8$互为“唯美方程”,求$m$的值;
(2)若关于$x$的方程$2x+6=n$与某个关于$x$的一元一次方程$M$互为“唯美方程”,且一元一次方程$M$的解是正整数,求正整数$n$的值;
(3)若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$和方程$\frac{1}{2025}x+1=0$互为“唯美方程”,求关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y+1)=2y+k-1$的解.

解:(1)解方程$x+m=0$,得$x=-m$,解方程$7(x-1)+3=x+8$,得$x=2$. 因为方程$x+m=0$与方程$7(x-1)+3=x+8$互为“唯美方程”,所以$-m+2=1$,解得$m=1$;
(2)解方程$2x+6=n$,得$x=\frac{n}{2}-3$. 因为两个一元一次方程互为“唯美方程”,所以关于$x$的一元一次方程$M$的解为$x=1-(\frac{n}{2}-3)=4-\frac{n}{2}$. 因为一元一次方程$M$的解是正整数,$n$也是正整数,所以$4-\frac{n}{2}$是正整数,所以$\frac{n}{2}=1$或$\frac{n}{2}=2$或$\frac{n}{2}=3$,即$n=2$或$n=4$或$n=6$,所以正整数$n$的值为2或4或6;
(3)解方程$\frac{1}{2025}x+1=0$,得$x=-2025$,所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$的解是$x=1-(-2025)=2026$. 将$\frac{1}{2025}(y+1)=2y+k-1$整理,得$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k$,所以$y+1=2026$,解得$y=2025$.

【分析】
本题首先需准确理解“唯美方程”的定义：若两个一元一次方程的解之和为1，则两方程互为“唯美方程”。
(1) 先分别求出两个一元一次方程的解，再根据两解之和为1列等式，即可求出m的值；
(2) 先求出方程$2x+6=n$的解，再根据“唯美方程”的定义表示出方程M的解，结合M的解是正整数、n是正整数的条件，即可求出符合要求的n值；
(3) 先求出方程$\frac{1}{2025}x+1=0$的解，再根据“唯美方程”的定义求出另一个含k的方程的解，最后观察待求解的关于y的方程的结构，将$y+1$看作整体，即可直接得到y的值，无需计算参数k，简化计算过程。
【解析】
(1) 解方程$x+m=0$，得$x=-m$；
解方程$7(x-1)+3=x+8$，去括号得$7x-7+3=x+8$，移项合并同类项得$6x=12$，解得$x=2$。
根据“唯美方程”的定义，两个方程的解之和为1，可得：$-m+2=1$，解得$m=1$。
(2) 解方程$2x+6=n$，移项得$2x=n-6$，解得$x=\frac{n}{2}-3$。
根据“唯美方程”的定义，方程M的解为：$1-(\frac{n}{2}-3)=4-\frac{n}{2}$。
因为方程M的解是正整数，且n为正整数，所以$4-\frac{n}{2}＞0$且$\frac{n}{2}$为正整数，因此$\frac{n}{2}$可取1、2、3，对应$n=2、4、6$。
(3) 解方程$\frac{1}{2025}x+1=0$，移项得$\frac{1}{2025}x=-1$，解得$x=-2025$。
根据“唯美方程”的定义，方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$的解为$1-(-2025)=2026$。
将关于y的方程$\frac{1}{2025}(y+1)=2y+k-1$整理：两边同时加3，得$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k$。
观察该式与方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$结构完全相同，因此可得$y+1=2026$，解得$y=2025$。
【答案】
(1)$m=1$；(2)正整数$n$的值为2或4或6；(3)$y=2025$
【知识点】
一元一次方程解法，新定义运算，整体代入思想
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解“唯美方程”的定义，结合一元一次方程的解法逐步推导，第三小问运用整体代换思想可规避参数k的求解，大幅简化计算，考查对知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65