1. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC=2∠ C$, $BD$ 为$△ ABC$ 的角平分线, $BC=5, AB=3$, 求 $AD$的长.

如图,在 BC 上截取 BE=AB,则 CE=BC-BE=5-3=2.
∵BD 为∠ABC 的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD 和△EBD 中,
$\begin{cases} AB=EB, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴AD=DE,∠BED=∠A.
∵∠BAC=2∠C,∠BED=∠C+∠CDE,
∴∠C=∠CDE,
∴CE=DE=2,
∴AD=DE=2.

变式1.1 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 E,E 为 BD 的中点,$∠ BAC=2∠ ACD$,$AE=1,AC=3.5$,求 AB 的长.

如图,过点 D 作 DF//AB 交 AC 于点 F.
∴∠BAC=∠DFE.
∵E 为 BD 的中点,
∴BE=DE.
在△ABE 与△FDE 中,
$\begin{cases} ∠BAE=∠DFE, \\ ∠AEB=∠FED, \\ BE=DE, \end{cases}$
∴△ABE≌△FDE(AAS),
∴AE=FE=1,AB=FD.
∵∠BAC=2∠ACD,∠BAC=∠DFE=∠FDC+∠ACD,
∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC,
∴AB=FC.
∵FC=AC-AF=3.5-2=1.5,
∴AB=1.5.

变式 1.2 如图,点 $D$ 在 $△ A B C$ 的内部, $A D, B D$, $C D$ 分别平分 $∠ B A C, ∠ A B C, ∠ A C B$, 且 $A B+$ $B D=A C$. 求证: $∠ A B C=2 ∠ A C B$.

如图,在 AC 上截取 AE,使 AE=AB,连接 DE.
∵AD,BD,CD 分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,
∴∠DAB=∠DAE,∠DBA=∠DBC,∠DCA=∠DCB.
∵AB+BD=AC,AE=AB,AE+CE=AC,
∴DB=CE.
在△ADB 和△ADE 中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠DAB=∠DAE, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ADB≌△ADE(SAS),
∴BD=DE,∠ABD=∠AED,
∴DE=CE,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠AED=2∠ECD,
∴∠ABD=2∠ECD,
∴∠ABC=2∠ACB.

变式 1.3 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=2∠ ACB$,点$D$在边$BC$上,$AB+BD=AC$,求证$AD$平分$∠ BAC$.

如图,延长 AB 至点 G,使 BG=BD,连接 DG,
则∠BDG=∠AGD,
∴∠ABC=∠BDG+∠AGD=2∠AGD.
∵∠ABC=2∠ACB,
∴∠AGD=∠ACB.
∵AB+BD=AC,BG=BD,AB+BG=AG,
∴AG=AC,
∴∠AGC=∠ACG,
∴∠DGC=∠DCG,
∴DG=DC.
在△ADG 和△ADC 中,
$\begin{cases} AG=AC, \\ DG=DC, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ADG≌△ADC(SSS),
∴∠DAG=∠DAC,
即 AD 平分∠BAC.

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=AC$,
$AD$是高,$E$是$AB$上一点,连接$DE$,过点$D$作$DF ⊥ DE$,交$AC$于点$F$,连接$EF$,交$AD$于点$G$.
(1)若$AB=6,AE=2$,求线段$AF$的长;
(2)求证:$∠ AGF=∠ AED$.

(1)
∵在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AD 是高,
∴BD=CD=AD=$\frac{1}{2}$BC,∠B=∠C=45°,∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°.
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE 和△CDF 中,
$\begin{cases} ∠ADE=∠CDF, \\ AD=CD, \\ ∠EAD=∠C, \end{cases}$
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF=2.
∵AC=AB=6,
∴AF=AC-CF=6-2=4.
(2)由(1),得△ADE≌△CDF,
∴DE=DF.
∵∠EDF=90°,
∴△DEF 是等腰直角三角形,
∴∠DEF=∠DFE=45°.
∵∠AGF=∠DAE+∠AEG=45°+∠AEG,∠AED=∠DEF+∠AEG=45°+∠AEG,
∴∠AGF=∠AED.