24.(12分)如图,将两块直角三角尺作如下摆放,∠EGF=∠MPN=90°,∠GFE=∠PNM=30°,直线AB过点E,MN在直线CD上,EG平分∠AEF。
(1)求∠BEF的度数。(3分)
(2)试判断AB与CD的位置关系,并说明理由。(4分)
(3)将三角形EGF绕点E逆时针旋转,速度为每秒4°,同时三角形MPN绕点N逆时针旋转,速度为每秒10°,记旋转时间为t,当三角形PMN旋转一周时,整个运动停止。当EF与三角形MPN的任意一边平行时,求出所有满足条件的t的值。(5分)

(1)因为$∠EGF=90°,∠GFE=30°$,所以在三角形GEF中,$∠GEF=180°-∠EGF-∠GFE=180°-90°-30°=60°$。又因为EG平分$∠AEF$,所以$∠AEG=∠GEF=60°$,所以$∠BEF=180°-∠AEG-∠GEF=180°-60°-60°=60°$。
(2)$AB// CD$。理由如下:如图,延长EF,与直线CD交于点H。因为$∠GFE=30°$,所以$∠HFN=∠GFE=30°$。又因为$∠PNM=30°$,所以$∠EHN=180°-∠HFN-∠PNM=180°-30°-30°=120°$。又因为$∠AEH=∠AEG+∠GEF=60°+60°=120°$,所以$∠EHN=∠AEH$,所以$AB// CD$。
(3)由题意,得$t$的最大值为$360°÷10°=36$(秒)。①若$EF// PN$,则第一次满足$EF// PN$所需的时间为$150°÷(10°-4°)=25$(秒)(可看作追及问题来解决),此后每$180°÷(10°-4°)=30$(秒),有$EF// PN$,由于$t$最大值为36秒,故$t=25$秒;②若$EF// CN$,则同理,可知此时$t=120°÷(10°-4°)=20$(秒)。③若$EF// PM$,则延长MP,与EF交于点Q,则此时$∠PQF=180°-∠MPF-∠PFE=180°-90°-30°=60°$。同理,可知此时$t=60°÷(10°-4°)=10$(秒)。综上,$t$的值为25秒或20秒或10秒。