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8.(2024·金华金东、婺城)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P从点B出发,沿BC—CD向点D运动,作△ACD关于直线AP对称的△AC'D'(点C,D的对称点分别为点C',D')。
(1)如图2,当点C'在AB的延长线上时,连结CC',求CC'的长；
(2)如图3,当点P与点C重合时,连结DD',CD',分别交AB于点F,E。
①求证:∠D'FE=∠ED'F。
②求EF的长。
(3)当直线C'D'经过点B时,求CP的长。
(1)如图2,当点C'在AB的延长线上时,连结CC',求CC'的长；
(2)如图3,当点P与点C重合时,连结DD',CD',分别交AB于点F,E。
①求证:∠D'FE=∠ED'F。
②求EF的长。
(3)当直线C'D'经过点B时,求CP的长。
答案
8.(1)解:因为对称,所以AC'=AC。又因为四边形ABCD为矩形,AB=4,BC=3,所以AC=5,所以AC'=5,所以BC'=AC'-AB=1,所以$CC'=\sqrt{BC^2+BC'^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
(2)①证明:因为矩形ABCD,所以AB//CD,所以∠D'FE=∠D'DC。因为CD'=CD,所以∠D'DC=∠CD'D,所以∠D'FE=∠CD'D,即∠D'FE=∠ED'F。
②解:由∠D'FE=∠ED'F,得EF=ED'。因为AD'=AD=BC,∠AD'E=∠CBE=90°,∠AED'=∠CEB,所以△AD'E≌△CBE,所以ED'=EB,AE=CE,设BE=x,则CE=AE=4-x,由$BE^2+BC^2=CE^2$,得$x^2+3^2=(4-x)^2$,解得$x=\frac{7}{8}$,所以$EF=ED'=EB=\frac{7}{8}$。
(3)解:当点P在CD上时,如图1,点B在C'D'的延长线上,由线段AD与线段AD'关于AP对称,得△APD'≌△APD,所以∠1=∠2。因为∠1=∠3,所以∠2=∠3,所以BP=AB=4,所以$CP=\sqrt{BP^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。当点P在BC上时,如图2,点B在C'D'上,连结C'P。由题意,AD'=AD=3,C'D'=CD=4,∠D'=∠D=90°,易知∠BC'P=∠BCD=90°。设CP=x,则PC'=x,BP=3-x,因为$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$,所以BC'=C'D'-BD'=4-√7,由$BC'^2+PC'^2=BP^2$得$(4-\sqrt{7})^2+x^2=(3-x)^2$,解得$x=\frac{4\sqrt{7}-7}{3}$,所以$CP=\frac{4\sqrt{7}-7}{3}$。综上所述,CP的长为$\sqrt{7}$或$\frac{4\sqrt{7}-7}{3}$。
[第8题图 图6]
(2)①证明:因为矩形ABCD,所以AB//CD,所以∠D'FE=∠D'DC。因为CD'=CD,所以∠D'DC=∠CD'D,所以∠D'FE=∠CD'D,即∠D'FE=∠ED'F。
②解:由∠D'FE=∠ED'F,得EF=ED'。因为AD'=AD=BC,∠AD'E=∠CBE=90°,∠AED'=∠CEB,所以△AD'E≌△CBE,所以ED'=EB,AE=CE,设BE=x,则CE=AE=4-x,由$BE^2+BC^2=CE^2$,得$x^2+3^2=(4-x)^2$,解得$x=\frac{7}{8}$,所以$EF=ED'=EB=\frac{7}{8}$。
(3)解:当点P在CD上时,如图1,点B在C'D'的延长线上,由线段AD与线段AD'关于AP对称,得△APD'≌△APD,所以∠1=∠2。因为∠1=∠3,所以∠2=∠3,所以BP=AB=4,所以$CP=\sqrt{BP^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。当点P在BC上时,如图2,点B在C'D'上,连结C'P。由题意,AD'=AD=3,C'D'=CD=4,∠D'=∠D=90°,易知∠BC'P=∠BCD=90°。设CP=x,则PC'=x,BP=3-x,因为$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$,所以BC'=C'D'-BD'=4-√7,由$BC'^2+PC'^2=BP^2$得$(4-\sqrt{7})^2+x^2=(3-x)^2$,解得$x=\frac{4\sqrt{7}-7}{3}$,所以$CP=\frac{4\sqrt{7}-7}{3}$。综上所述,CP的长为$\sqrt{7}$或$\frac{4\sqrt{7}-7}{3}$。
[第8题图 图6]
解析
【分析】
本题是矩形与轴对称结合的几何综合题，需利用矩形的性质、轴对称的性质（对应边相等、对应角相等），结合勾股定理、全等三角形的判定与性质解题。解题思路：(1) 利用轴对称得AC'=AC，结合矩形边长求AC，再在Rt△BCC'中用勾股定理计算CC'；(2) ① 由矩形对边平行得内错角相等，结合轴对称得等腰三角形，推导角相等；② 利用角相等得边相等，通过全等三角形转化边，设未知数列勾股定理方程求解；(3) 分P在BC上和CD上两种情况，结合轴对称性质、勾股定理列方程计算CP的长。
【解析】
(1) 因为△ACD与△AC'D'关于直线AP对称，所以AC'=AC。
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5，故AC'=5。
因为点C'在AB的延长线上，所以BC'=AC'-AB=5-4=1。
在Rt△BCC'中，BC=3，BC'=1，由勾股定理得CC'=√(BC²+BC'²)=√(3²+1²)=√10。
(2) ① 证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，故∠D'FE=∠DD'C（内错角相等）。
又因为△ACD与△AC'D'关于直线AP对称，所以CD'=CD，即△CDD'是等腰三角形，所以∠DD'C=∠CD'D，因此∠D'FE=∠ED'F。
② 解：由∠D'FE=∠ED'F，得EF=ED'。
因为AD'=AD=BC=3，∠AD'E=∠CBE=90°，∠AED'=∠CEB，所以△AD'E≌△CBE（AAS），故ED'=EB，AE=CE。
设BE=x，则CE=AE=AB - BE=4 - x，在Rt△CBE中，由勾股定理得BE² + BC² = CE²，即x² + 3²=(4 - x)²，
展开化简得8x=7，解得x=7/8，所以EF=ED'=EB=7/8。
(3) 分两种情况：
① 当点P在CD上时：
由轴对称性质，AD'=AD=3，C'D'=CD=4，∠AD'C'=∠D=90°。
因为AB//CD，所以∠1=∠3，又由对称得∠1=∠2，故∠2=∠3，所以BP=AB=4。
在Rt△BCP中，BC=3，BP=4，由勾股定理得CP=√(BP² - BC²)=√(4² -3²)=√7。
② 当点P在BC上时：
连结C'P，由轴对称得PC'=PC，AC'=AC=5，AD'=AD=3，C'D'=CD=4，∠D'=90°。
在Rt△ABD'中，BD'=√(AB² - AD'²)=√(4² -3²)=√7，故BC'=C'D' - BD'=4 -√7。
设CP=x，则PC'=x，BP=BC - CP=3 -x。
在Rt△BC'P中，由勾股定理得BC'² + PC'² = BP²，即(4 -√7)² +x²=(3 -x)²，
展开化简得6x=8√7 -14，解得x=(4√7 -7)/3。
综上，CP的长为√7或(4√7 -7)/3。
【答案】
(1) √10；(2) ① 证明见解析；② 7/8；(3) √7或(4√7 -7)/3
【知识点】
矩形性质、轴对称性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、轴对称、勾股定理、全等三角形等知识，需分情况讨论（第三问），对几何综合分析能力要求较高，解题时要利用对称性质转化边和角，结合方程思想求解。
【难度系数】
0.4
本题是矩形与轴对称结合的几何综合题，需利用矩形的性质、轴对称的性质（对应边相等、对应角相等），结合勾股定理、全等三角形的判定与性质解题。解题思路：(1) 利用轴对称得AC'=AC，结合矩形边长求AC，再在Rt△BCC'中用勾股定理计算CC'；(2) ① 由矩形对边平行得内错角相等，结合轴对称得等腰三角形，推导角相等；② 利用角相等得边相等，通过全等三角形转化边，设未知数列勾股定理方程求解；(3) 分P在BC上和CD上两种情况，结合轴对称性质、勾股定理列方程计算CP的长。
【解析】
(1) 因为△ACD与△AC'D'关于直线AP对称，所以AC'=AC。
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5，故AC'=5。
因为点C'在AB的延长线上，所以BC'=AC'-AB=5-4=1。
在Rt△BCC'中，BC=3，BC'=1，由勾股定理得CC'=√(BC²+BC'²)=√(3²+1²)=√10。
(2) ① 证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，故∠D'FE=∠DD'C（内错角相等）。
又因为△ACD与△AC'D'关于直线AP对称，所以CD'=CD，即△CDD'是等腰三角形，所以∠DD'C=∠CD'D，因此∠D'FE=∠ED'F。
② 解：由∠D'FE=∠ED'F，得EF=ED'。
因为AD'=AD=BC=3，∠AD'E=∠CBE=90°，∠AED'=∠CEB，所以△AD'E≌△CBE（AAS），故ED'=EB，AE=CE。
设BE=x，则CE=AE=AB - BE=4 - x，在Rt△CBE中，由勾股定理得BE² + BC² = CE²，即x² + 3²=(4 - x)²，
展开化简得8x=7，解得x=7/8，所以EF=ED'=EB=7/8。
(3) 分两种情况：
① 当点P在CD上时：
由轴对称性质，AD'=AD=3，C'D'=CD=4，∠AD'C'=∠D=90°。
因为AB//CD，所以∠1=∠3，又由对称得∠1=∠2，故∠2=∠3，所以BP=AB=4。
在Rt△BCP中，BC=3，BP=4，由勾股定理得CP=√(BP² - BC²)=√(4² -3²)=√7。
② 当点P在BC上时：
连结C'P，由轴对称得PC'=PC，AC'=AC=5，AD'=AD=3，C'D'=CD=4，∠D'=90°。
在Rt△ABD'中，BD'=√(AB² - AD'²)=√(4² -3²)=√7，故BC'=C'D' - BD'=4 -√7。
设CP=x，则PC'=x，BP=BC - CP=3 -x。
在Rt△BC'P中，由勾股定理得BC'² + PC'² = BP²，即(4 -√7)² +x²=(3 -x)²，
展开化简得6x=8√7 -14，解得x=(4√7 -7)/3。
综上，CP的长为√7或(4√7 -7)/3。
【答案】
(1) √10；(2) ① 证明见解析；② 7/8；(3) √7或(4√7 -7)/3
【知识点】
矩形性质、轴对称性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、轴对称、勾股定理、全等三角形等知识，需分情况讨论（第三问），对几何综合分析能力要求较高，解题时要利用对称性质转化边和角，结合方程思想求解。
【难度系数】
0.4
