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1. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + 2 $ 经过点 $ A(-1,-1) $ 和 $ B(3,-1) $。
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。
答案
1. (1)$y=-x^2+2x+2$.
(2)$\because y=-x^2+2x+2=-(x-1)^2+3,a=-1＜0,$
$\therefore$抛物线开口向下,对称轴是直线$x=1$,顶点坐标为$(1,3)$,最大值为3.
(2)$\because y=-x^2+2x+2=-(x-1)^2+3,a=-1＜0,$
$\therefore$抛物线开口向下,对称轴是直线$x=1$,顶点坐标为$(1,3)$,最大值为3.
解析
【分析】
(1) 求抛物线的表达式时，已知解析式中仅有a、b两个未知系数，且抛物线经过A、B两个已知点，将两点坐标分别代入解析式，就能得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可确定抛物线的表达式。
(2) 得到抛物线的一般式后，可通过配方法转化为顶点式，或直接用二次函数性质公式求解：根据a的正负判断开口方向，用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求对称轴，代入对称轴对应的x值求出顶点纵坐标，得到顶点坐标，再结合开口方向判断最值情况。
【解析】
(1) 将点$A(-1,-1)$和$B(3,-1)$代入$y = ax^2 + bx + 2$，可得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 - b + 2 = -1 \\a×3^2 + 3b + 2 = -1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = -3 ① \\3a + b = -1 ②\end{cases}$
①+②得$4a=-4$，解得$a=-1$，将$a=-1$代入①得$-1 -b = -3$，解得$b=2$
因此抛物线的表达式为$y = -x^2 + 2x + 2$。
(2) 对解析式配方得：
$y=-x^2+2x+2=-(x^2-2x)+2=-(x^2-2x+1-1)+2=-(x-1)^2+3$
$\because a=-1＜0$
$\therefore$抛物线开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$；由于开口向下，顶点是抛物线的最高点，因此函数有最大值，最大值为3。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+2$；
(2)开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$，最大值为3。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；配方法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查待定系数法求函数解析式以及二次函数核心性质的应用，熟练掌握配方法和二次函数的相关公式是解题的关键，属于二次函数模块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线的表达式时，已知解析式中仅有a、b两个未知系数，且抛物线经过A、B两个已知点，将两点坐标分别代入解析式，就能得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可确定抛物线的表达式。
(2) 得到抛物线的一般式后，可通过配方法转化为顶点式，或直接用二次函数性质公式求解：根据a的正负判断开口方向，用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求对称轴，代入对称轴对应的x值求出顶点纵坐标，得到顶点坐标，再结合开口方向判断最值情况。
【解析】
(1) 将点$A(-1,-1)$和$B(3,-1)$代入$y = ax^2 + bx + 2$，可得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 - b + 2 = -1 \\a×3^2 + 3b + 2 = -1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = -3 ① \\3a + b = -1 ②\end{cases}$
①+②得$4a=-4$，解得$a=-1$，将$a=-1$代入①得$-1 -b = -3$，解得$b=2$
因此抛物线的表达式为$y = -x^2 + 2x + 2$。
(2) 对解析式配方得：
$y=-x^2+2x+2=-(x^2-2x)+2=-(x^2-2x+1-1)+2=-(x-1)^2+3$
$\because a=-1＜0$
$\therefore$抛物线开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$；由于开口向下，顶点是抛物线的最高点，因此函数有最大值，最大值为3。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+2$；
(2)开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$，最大值为3。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；配方法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查待定系数法求函数解析式以及二次函数核心性质的应用，熟练掌握配方法和二次函数的相关公式是解题的关键，属于二次函数模块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
2. (宁波中考)如图,已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A(1,-2)$和$B(0,-5)$.
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标;
(2)当$y≤ -2$时,请根据图象直接写出$x$的取值范围.
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标;
(2)当$y≤ -2$时,请根据图象直接写出$x$的取值范围.
答案
2. (1)把$A(1,-2)$和$B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}1+b+c=-2,\\c=-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=-5.\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$.
$\because y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6,$
$\therefore$顶点坐标为$(-1,-6)$.
(2)
$\because$点$A(1,-2)$关于对称轴直线$x=-1$的对称点为$C(-3,-2),$
$\therefore$当$y≤ -2$时,$x$的取值范围是$-3≤ x≤1$.
解析
【分析】
(1) 二次函数$y=x^2+bx+c$中有两个待定系数$b、c$，已知图象过$A(1,-2)$、$B(0,-5)$两个点，将两点坐标代入解析式即可得到关于$b、c$的二元一次方程组，解方程组求出系数即可得到函数表达式；再将一般式通过配方法转化为顶点式，就能直接读出顶点坐标。
(2) 该抛物线开口向上，$y≤-2$对应的区域是直线$y=-2$与抛物线两个交点之间的部分。已知其中一个交点为$A(1,-2)$，结合抛物线的对称性，先确定抛物线的对称轴，求出点$A$关于对称轴的对称点坐标，两个交点的横坐标就是$x$取值范围的端点，即可得到对应$x$的取值范围。
【解析】
(1) 把$A(1,-2)$和$B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1+b+c=-2\\c=-5\end{cases}$
将$c=-5$代入第一个方程，解得$b=2$。
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$。
对表达式配方得：
$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$
$\therefore$ 图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
(2) 由顶点式可知抛物线对称轴为直线$x=-1$，点$A(1,-2)$关于对称轴的对称点为$C(-3,-2)$。
因为抛物线开口向上，所以当$y≤-2$时，$x$的取值在$C$、$A$两点横坐标之间。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-5}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-6)}$；
(2)
$x$的取值范围是$\boldsymbol{-3≤x≤1}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、配方法求顶点坐标、二次函数对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既考查了代数式运算的基础能力，也考查了数形结合思想的应用，解题时要注意抛物线开口方向对不等式对应区间的影响，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 二次函数$y=x^2+bx+c$中有两个待定系数$b、c$，已知图象过$A(1,-2)$、$B(0,-5)$两个点，将两点坐标代入解析式即可得到关于$b、c$的二元一次方程组，解方程组求出系数即可得到函数表达式；再将一般式通过配方法转化为顶点式，就能直接读出顶点坐标。
(2) 该抛物线开口向上，$y≤-2$对应的区域是直线$y=-2$与抛物线两个交点之间的部分。已知其中一个交点为$A(1,-2)$，结合抛物线的对称性，先确定抛物线的对称轴，求出点$A$关于对称轴的对称点坐标，两个交点的横坐标就是$x$取值范围的端点，即可得到对应$x$的取值范围。
【解析】
(1) 把$A(1,-2)$和$B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1+b+c=-2\\c=-5\end{cases}$
将$c=-5$代入第一个方程，解得$b=2$。
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$。
对表达式配方得：
$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$
$\therefore$ 图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
(2) 由顶点式可知抛物线对称轴为直线$x=-1$，点$A(1,-2)$关于对称轴的对称点为$C(-3,-2)$。
因为抛物线开口向上，所以当$y≤-2$时，$x$的取值在$C$、$A$两点横坐标之间。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-5}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-6)}$；
(2)
$x$的取值范围是$\boldsymbol{-3≤x≤1}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、配方法求顶点坐标、二次函数对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既考查了代数式运算的基础能力，也考查了数形结合思想的应用，解题时要注意抛物线开口方向对不等式对应区间的影响，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图，抛物线 $y=\dfrac{1}{2}x^2 - x + a$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，其顶点在直线 $y=-2x$ 上.求：
(1)$a$ 的值；
(2)$A,B$ 两点的坐标.
(1)$a$ 的值；
(2)$A,B$ 两点的坐标.
答案
3. (1)$\because$抛物线 $y=\dfrac{1}{2}x^2 - x + a$ 的顶点的横坐标为$x=-\dfrac{-1}{2×\dfrac{1}{2}}=1.$
又其顶点在直线$y=-2x$上，
$\therefore$抛物线的顶点的纵坐标为$y=-2.$
将顶点坐标$(1,-2)$代入$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x + a$，
得$-2=\dfrac{1}{2}×1^2 -1 +a$,解得$a=-\dfrac{3}{2}.$
(2)$\because a=-\dfrac{3}{2},$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x -\dfrac{3}{2}.$
令$\dfrac{1}{2}x^2 - x -\dfrac{3}{2}=0$,解得$x_1=-1,x_2=3,$
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$,点$B$的坐标为$(3,0).$
又其顶点在直线$y=-2x$上，
$\therefore$抛物线的顶点的纵坐标为$y=-2.$
将顶点坐标$(1,-2)$代入$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x + a$，
得$-2=\dfrac{1}{2}×1^2 -1 +a$,解得$a=-\dfrac{3}{2}.$
(2)$\because a=-\dfrac{3}{2},$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x -\dfrac{3}{2}.$
令$\dfrac{1}{2}x^2 - x -\dfrac{3}{2}=0$,解得$x_1=-1,x_2=3,$
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$,点$B$的坐标为$(3,0).$
解析
【分析】
(1)要求a的值，先利用二次函数对称轴公式求出抛物线顶点的横坐标，再结合顶点在直线$y=-2x$上，求出顶点的纵坐标，最后将顶点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值；
(2)将求得的a代入抛物线解析式，得到完整的函数表达式，抛物线与x轴交点的纵坐标为0，令y=0解一元二次方程，所得的两个根即为A、B两点的横坐标，结合点A在点B左侧即可确定两点坐标。
【解析】
(1)对于抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x + a$，其顶点横坐标为对称轴对应的x值，由对称轴公式可得：
$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2×\dfrac{1}{2}}=1$
∵抛物线顶点在直线$y=-2x$上，将$x=1$代入直线解析式得顶点纵坐标：
$y=-2×1=-2$
即抛物线顶点坐标为$(1,-2)$，将其代入抛物线解析式：
$-2=\dfrac{1}{2}×1^2 -1 +a$
解得：$a=-\dfrac{3}{2}$
(2)把$a=-\dfrac{3}{2}$代入抛物线解析式，得完整表达式：
$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x -\dfrac{3}{2}$
抛物线与x轴交点处y=0，令y=0，得方程：
$\dfrac{1}{2}x^2 - x -\dfrac{3}{2}=0$
方程两边同乘2消去分母得：$x^2-2x-3=0$
因式分解得：$(x+1)(x-3)=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=3$
由图可知点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，因此A点坐标为$(-1,0)$，B点坐标为$(3,0)$。
【答案】
(1)$a=-\dfrac{3}{2}$；(2)$A(-1,0)$，$B(3,0)$
【知识点】
二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题核心是先利用顶点在直线上的条件求出未知参数a，再通过解一元二次方程得到抛物线与x轴的交点坐标，解题过程中要注意结合图象判断点的位置。
【难度系数】
0.8
(1)要求a的值，先利用二次函数对称轴公式求出抛物线顶点的横坐标，再结合顶点在直线$y=-2x$上，求出顶点的纵坐标，最后将顶点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值；
(2)将求得的a代入抛物线解析式，得到完整的函数表达式，抛物线与x轴交点的纵坐标为0，令y=0解一元二次方程，所得的两个根即为A、B两点的横坐标，结合点A在点B左侧即可确定两点坐标。
【解析】
(1)对于抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x + a$，其顶点横坐标为对称轴对应的x值，由对称轴公式可得：
$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2×\dfrac{1}{2}}=1$
∵抛物线顶点在直线$y=-2x$上，将$x=1$代入直线解析式得顶点纵坐标：
$y=-2×1=-2$
即抛物线顶点坐标为$(1,-2)$，将其代入抛物线解析式：
$-2=\dfrac{1}{2}×1^2 -1 +a$
解得：$a=-\dfrac{3}{2}$
(2)把$a=-\dfrac{3}{2}$代入抛物线解析式，得完整表达式：
$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x -\dfrac{3}{2}$
抛物线与x轴交点处y=0，令y=0，得方程：
$\dfrac{1}{2}x^2 - x -\dfrac{3}{2}=0$
方程两边同乘2消去分母得：$x^2-2x-3=0$
因式分解得：$(x+1)(x-3)=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=3$
由图可知点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，因此A点坐标为$(-1,0)$，B点坐标为$(3,0)$。
【答案】
(1)$a=-\dfrac{3}{2}$；(2)$A(-1,0)$，$B(3,0)$
【知识点】
二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题核心是先利用顶点在直线上的条件求出未知参数a，再通过解一元二次方程得到抛物线与x轴的交点坐标，解题过程中要注意结合图象判断点的位置。
【难度系数】
0.8
