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1. 已知线段 $a,b,c$，且 $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$。
(1) 求 $\frac{a+b}{b}$ 的值；
(2) 如果线段 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=27$，求 $a-b+c$ 的值。
(1) 求 $\frac{a+b}{b}$ 的值；
(2) 如果线段 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=27$，求 $a-b+c$ 的值。
答案
(1) $\because \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}, \therefore$ 设 $a=2t,b=3t,c=4t$.
$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{5t}{3t}=\frac{5}{3}$.
(2) $\because a+b+c=9t=27$,
$\therefore t=3. \therefore a-b+c=3t=9$.
$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{5t}{3t}=\frac{5}{3}$.
(2) $\because a+b+c=9t=27$,
$\therefore t=3. \therefore a-b+c=3t=9$.
解析
【分析】
遇到多个量成等比的问题时，通常采用设参数的方法简化计算。我们可以设这个相等的比值为t，将a、b、c都用含t的代数式表示。对于第一问，把用t表示的a、b代入待求分式，约去参数t即可得到结果；对于第二问，先将a、b、c代入a+b+c=27的等式，解出t的值，再代入a-b+c的表达式计算即可得到答案。
【解析】
(1) 已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$，设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=t$（$t≠0$），则$a=2t$，$b=3t$，$c=4t$。
将$a=2t$，$b=3t$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{a+b}{b}=\frac{2t+3t}{3t}=\frac{5t}{3t}=\frac{5}{3}$。
(2) 将$a=2t$，$b=3t$，$c=4t$代入$a+b+c=27$得：
$2t+3t+4t=27$，
合并同类项得$9t=27$，
解得$t=3$。
再将$a=2t$，$b=3t$，$c=4t$代入$a-b+c$得：
$a-b+c=2t-3t+4t=3t$，
把$t=3$代入得$3t=3×3=9$。
【答案】
(1) $\frac{5}{3}$；(2) $9$
【知识点】
比例的性质，代数式求值，一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例相关的基础计算题，重点考查等比设参的解题方法，通过引入同一个参数表示多个成比例的未知量，能有效简化计算过程，是解决同类比例求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
遇到多个量成等比的问题时，通常采用设参数的方法简化计算。我们可以设这个相等的比值为t，将a、b、c都用含t的代数式表示。对于第一问，把用t表示的a、b代入待求分式，约去参数t即可得到结果；对于第二问，先将a、b、c代入a+b+c=27的等式，解出t的值，再代入a-b+c的表达式计算即可得到答案。
【解析】
(1) 已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$，设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=t$（$t≠0$），则$a=2t$，$b=3t$，$c=4t$。
将$a=2t$，$b=3t$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{a+b}{b}=\frac{2t+3t}{3t}=\frac{5t}{3t}=\frac{5}{3}$。
(2) 将$a=2t$，$b=3t$，$c=4t$代入$a+b+c=27$得：
$2t+3t+4t=27$，
合并同类项得$9t=27$，
解得$t=3$。
再将$a=2t$，$b=3t$，$c=4t$代入$a-b+c$得：
$a-b+c=2t-3t+4t=3t$，
把$t=3$代入得$3t=3×3=9$。
【答案】
(1) $\frac{5}{3}$；(2) $9$
【知识点】
比例的性质，代数式求值，一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例相关的基础计算题，重点考查等比设参的解题方法，通过引入同一个参数表示多个成比例的未知量，能有效简化计算过程，是解决同类比例求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
2. 在一张比例尺为$1:10\,000$的地图上，一个多边形地区的周长为$70\ \mathrm{cm}$，面积为$330\ \mathrm{cm}^2$，这个地区的实际周长是多少？实际面积是多少？
答案
设这个地区的实际周长是 $x$ cm,实际面积为 $y$ cm².
根据题意,得$\frac{70}{x}=\frac{1}{10\ 000}$,
解得 $x=700\ 000$.
$\frac{330}{y}=(\frac{1}{10\ 000})^2$,
解得 $y=3.3×10^{10}$.
$700\ 000\ \mathrm{cm}=7\ \mathrm{km},3.3×10^{10}\ \mathrm{cm}^2=3.3\ \mathrm{km}^2$.
故这个地区的实际周长是 $7\ \mathrm{km}$,实际面积是 $3.3\ \mathrm{km}^2$.
根据题意,得$\frac{70}{x}=\frac{1}{10\ 000}$,
解得 $x=700\ 000$.
$\frac{330}{y}=(\frac{1}{10\ 000})^2$,
解得 $y=3.3×10^{10}$.
$700\ 000\ \mathrm{cm}=7\ \mathrm{km},3.3×10^{10}\ \mathrm{cm}^2=3.3\ \mathrm{km}^2$.
故这个地区的实际周长是 $7\ \mathrm{km}$,实际面积是 $3.3\ \mathrm{km}^2$.
解析
【分析】
本题可结合相似多边形的性质与比例尺的定义求解。首先明确地图上的多边形和实际地区的多边形是相似图形，题目给出的比例尺就是二者的相似比；根据相似多边形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此列比例式先求出以厘米为单位的实际周长、面积，再换算为符合实际场景的单位即可得到结果。
【解析】
解：设这个地区的实际周长是 $x$ cm，实际面积为 $y$ cm²。
根据相似多边形周长比等于相似比（即比例尺），可得：
$\frac{70}{x}=\frac{1}{10\,000}$
解得 $x=70×10\,000=700\,000$
单位换算：$700\,000\ \mathrm{cm}=7\ \mathrm{km}$
根据相似多边形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{330}{y}=(\frac{1}{10\,000})^2$
解得 $y=330×(10\,000)^2=3.3×10^{10}$
单位换算：$3.3×10^{10}\ \mathrm{cm}^2=3.3\ \mathrm{km}^2$
【答案】
这个地区的实际周长是$\boxed{7\ \mathrm{km}}$，实际面积是$\boxed{3.3\ \mathrm{km}^2}$。
【知识点】
比例尺的应用；相似多边形的性质；单位换算
【点评】
本题属于基础应用类题目，易错点有两处：一是误将面积比等同于相似比，忽略面积比是相似比的平方；二是长度单位和面积单位的换算规则混淆，导致单位换算错误，解题时需注意规避这两类问题。
【难度系数】
0.7
本题可结合相似多边形的性质与比例尺的定义求解。首先明确地图上的多边形和实际地区的多边形是相似图形，题目给出的比例尺就是二者的相似比；根据相似多边形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此列比例式先求出以厘米为单位的实际周长、面积，再换算为符合实际场景的单位即可得到结果。
【解析】
解：设这个地区的实际周长是 $x$ cm，实际面积为 $y$ cm²。
根据相似多边形周长比等于相似比（即比例尺），可得：
$\frac{70}{x}=\frac{1}{10\,000}$
解得 $x=70×10\,000=700\,000$
单位换算：$700\,000\ \mathrm{cm}=7\ \mathrm{km}$
根据相似多边形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{330}{y}=(\frac{1}{10\,000})^2$
解得 $y=330×(10\,000)^2=3.3×10^{10}$
单位换算：$3.3×10^{10}\ \mathrm{cm}^2=3.3\ \mathrm{km}^2$
【答案】
这个地区的实际周长是$\boxed{7\ \mathrm{km}}$，实际面积是$\boxed{3.3\ \mathrm{km}^2}$。
【知识点】
比例尺的应用；相似多边形的性质；单位换算
【点评】
本题属于基础应用类题目，易错点有两处：一是误将面积比等同于相似比，忽略面积比是相似比的平方；二是长度单位和面积单位的换算规则混淆，导致单位换算错误，解题时需注意规避这两类问题。
【难度系数】
0.7
3. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，$BC=AC+2$，求线段 AC 的长.
答案
设 $AC=x$,则 $BC=x+2,AB=2x+2$.
$\because$ 点 $C$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点,$AC＜BC$,
$\therefore BC^2=AC· AB$,
$\therefore (x+2)^2=x(2x+2)$,
化简,得 $x^2-2x-4=0$,
解得 $x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5}$.
$\because x＞0,\therefore AC=1+\sqrt{5}$.
$\because$ 点 $C$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点,$AC＜BC$,
$\therefore BC^2=AC· AB$,
$\therefore (x+2)^2=x(2x+2)$,
化简,得 $x^2-2x-4=0$,
解得 $x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5}$.
$\because x＞0,\therefore AC=1+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先由BC=AC+2可判断BC是线段AB被黄金分割后的较长线段，AC是较短线段。我们可以采用设未知数的方法，将AC的长度设为x，用含x的代数式表示出BC和AB的总长度，再结合黄金分割的核心性质“较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积”列出一元二次方程，最后求解方程，结合线段长度为正的实际要求舍去负根，即可得到AC的长度。
【解析】
解：设 $ AC=x $，则 $ BC=x+2 $，线段 $ AB=AC+BC=x+(x+2)=2x+2 $。
∵ 点C是线段AB的黄金分割点，且 $ AC＜BC $，即BC为较长分割线段，
∴ 根据黄金分割的性质可得：$ BC^2=AC·AB $，
代入对应长度得：$ (x+2)^2=x(2x+2) $，
展开整理：$ x^2+4x+4=2x^2+2x $，
移项化简得：$ x^2-2x-4=0 $，
用求根公式解得：$ x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-4)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5} $，
∵ 线段长度为正数，即 $ x＞0 $，$ 1-\sqrt{5}＜0 $不符合实际，舍去，
∴ $ x=1+\sqrt{5} $。
【答案】
$ 1+\sqrt{5} $
【知识点】
黄金分割的定义；一元二次方程的求解；线段和差计算
【点评】
本题重点考察黄金分割性质的应用，解题关键是先根据线段大小关系确定较长分割线段，避免因混淆线段关系列错方程，求解后要注意结合线段的实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件出发：首先由BC=AC+2可判断BC是线段AB被黄金分割后的较长线段，AC是较短线段。我们可以采用设未知数的方法，将AC的长度设为x，用含x的代数式表示出BC和AB的总长度，再结合黄金分割的核心性质“较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积”列出一元二次方程，最后求解方程，结合线段长度为正的实际要求舍去负根，即可得到AC的长度。
【解析】
解：设 $ AC=x $，则 $ BC=x+2 $，线段 $ AB=AC+BC=x+(x+2)=2x+2 $。
∵ 点C是线段AB的黄金分割点，且 $ AC＜BC $，即BC为较长分割线段，
∴ 根据黄金分割的性质可得：$ BC^2=AC·AB $，
代入对应长度得：$ (x+2)^2=x(2x+2) $，
展开整理：$ x^2+4x+4=2x^2+2x $，
移项化简得：$ x^2-2x-4=0 $，
用求根公式解得：$ x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-4)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5} $，
∵ 线段长度为正数，即 $ x＞0 $，$ 1-\sqrt{5}＜0 $不符合实际，舍去，
∴ $ x=1+\sqrt{5} $。
【答案】
$ 1+\sqrt{5} $
【知识点】
黄金分割的定义；一元二次方程的求解；线段和差计算
【点评】
本题重点考察黄金分割性质的应用，解题关键是先根据线段大小关系确定较长分割线段，避免因混淆线段关系列错方程，求解后要注意结合线段的实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在平行四边形ABCD中,$DE⊥AB$于点E,$BF⊥AD$于点F.
(1)AB,BC,BF,DE这四条线段能否成比例?若不能,请说明理由;若能,请写出比例式.
(2)若$AB=10,DE=2.5,BF=5$,求BC的长.
(1)AB,BC,BF,DE这四条线段能否成比例?若不能,请说明理由;若能,请写出比例式.
(2)若$AB=10,DE=2.5,BF=5$,求BC的长.
答案
(1)能,$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{BF}$.理由如下:
$\because$ 在平行四边形 $ABCD$ 中,$DE⊥ AB,BF⊥ AD$,
$\therefore S_{□ ABCD}=AB· DE=AD· BF$,
$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{AB}{BF}$,即$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{BF}$.
(2)由(1),得 $AB· DE=AD· BF$,
$\therefore 10×2.5=5AD$,解得 $AD=5$,
$\therefore BC=5$.
$\because$ 在平行四边形 $ABCD$ 中,$DE⊥ AB,BF⊥ AD$,
$\therefore S_{□ ABCD}=AB· DE=AD· BF$,
$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{AB}{BF}$,即$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{BF}$.
(2)由(1),得 $AB· DE=AD· BF$,
$\therefore 10×2.5=5AD$,解得 $AD=5$,
$\therefore BC=5$.
解析
【分析】
（1）要判断AB、BC、BF、DE是否成比例，可从平行四边形的面积计算切入：平行四边形的面积可表示为“底×对应高”，分别以AB、AD为底时，对应的高分别是DE、BF，因此可得到关于四条线段的等积式，再结合平行四边形对边相等（BC=AD），将等积式变形为比例式即可判断。（2）将已知线段长度代入（1）得到的等积式，即可求出AD的长度，再利用平行四边形对边相等得到BC的长。
【解析】
(1) 这四条线段能成比例，比例式为$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{BF}$，理由如下：
∵ 在平行四边形$ABCD$中，$DE⊥AB$，$BF⊥AD$，
∴ $S_{□ ABCD}=AB· DE=AD· BF$，
根据比例的基本性质可变形为$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{BF}$，
又
∵ 平行四边形对边相等，即$BC=AD$，
∴ $\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{BF}$。
(2) 由(1)得$AB· DE=AD· BF$，代入已知数值：
$10×2.5=5AD$，
解得$AD=5$，
∵ 平行四边形中$BC=AD$，
∴ $BC=5$。
【答案】
(1) 能，比例式为$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{BF}$；
(2) $BC=5$
【知识点】
平行四边形的性质；比例的基本性质；等积法计算
【点评】
本题借助平行四边形面积的两种表示方法建立等积关系，是求解比例线段和线段长度的典型题型，解题的核心是掌握平行四边形面积公式和对边相等的性质，其中等积法是几何中求解线段问题的常用技巧，需灵活运用。
【难度系数】
0.8
（1）要判断AB、BC、BF、DE是否成比例，可从平行四边形的面积计算切入：平行四边形的面积可表示为“底×对应高”，分别以AB、AD为底时，对应的高分别是DE、BF，因此可得到关于四条线段的等积式，再结合平行四边形对边相等（BC=AD），将等积式变形为比例式即可判断。（2）将已知线段长度代入（1）得到的等积式，即可求出AD的长度，再利用平行四边形对边相等得到BC的长。
【解析】
(1) 这四条线段能成比例，比例式为$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{BF}$，理由如下：
∵ 在平行四边形$ABCD$中，$DE⊥AB$，$BF⊥AD$，
∴ $S_{□ ABCD}=AB· DE=AD· BF$，
根据比例的基本性质可变形为$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{BF}$，
又
∵ 平行四边形对边相等，即$BC=AD$，
∴ $\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{BF}$。
(2) 由(1)得$AB· DE=AD· BF$，代入已知数值：
$10×2.5=5AD$，
解得$AD=5$，
∵ 平行四边形中$BC=AD$，
∴ $BC=5$。
【答案】
(1) 能，比例式为$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{BF}$；
(2) $BC=5$
【知识点】
平行四边形的性质；比例的基本性质；等积法计算
【点评】
本题借助平行四边形面积的两种表示方法建立等积关系，是求解比例线段和线段长度的典型题型，解题的核心是掌握平行四边形面积公式和对边相等的性质，其中等积法是几何中求解线段问题的常用技巧，需灵活运用。
【难度系数】
0.8
