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1. (教材练习变式)【新情境】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,其中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（
A.①
B.②
C.③
D.均不可能
A
）A.①
B.②
C.③
D.均不可能
答案
1. A 解析:碎片①包含两条完整的弦,分别作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,从而可得到圆形镜子半径的长.
解析
【分析】要配到与原来一样大小的圆形镜子，核心是确定原圆的圆心和半径。根据圆的性质，任意两条不平行弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心，确定圆心后即可得到半径，进而确定圆。观察三块碎片：碎片①包含两条完整的弦，可通过作这两条弦的垂直平分线找到圆心；而碎片②、③的弦不完整，无法确定圆心，因此最有可能配到原大小镜子的是碎片①。
【解析】确定一个圆需要明确圆心和半径。对于碎片①，它包含两条完整的弦，依据“圆的任意两条弦的垂直平分线的交点为圆心”的性质，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，由此可得到原圆的半径，故能配出与原来一样大小的圆形镜子；碎片②、③中没有完整的两条不平行弦，无法确定圆心，不能配出原大小的圆形镜子。因此答案选A。
【答案】A
【知识点】确定圆的条件；弦的垂直平分线性质
【点评】本题结合生活实际情境，考查圆的确定相关知识，核心是利用弦的垂直平分线确定圆心，难度适中，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
【解析】确定一个圆需要明确圆心和半径。对于碎片①，它包含两条完整的弦，依据“圆的任意两条弦的垂直平分线的交点为圆心”的性质，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，由此可得到原圆的半径，故能配出与原来一样大小的圆形镜子；碎片②、③中没有完整的两条不平行弦，无法确定圆心，不能配出原大小的圆形镜子。因此答案选A。
【答案】A
【知识点】确定圆的条件；弦的垂直平分线性质
【点评】本题结合生活实际情境，考查圆的确定相关知识，核心是利用弦的垂直平分线确定圆心，难度适中，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
2. 下列说法正确的是
（
A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
（
B
）A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
答案
2. B
解析
【分析】本题考查圆的相关基本概念，需逐一分析每个选项，结合确定圆的条件、三角形外接圆、四边形外接圆及圆内接三角形的性质判断对错：首先明确“不在同一直线上的三点确定一个圆”，再逐一验证各选项是否符合相关定理。
【解析】逐一分析选项：
A选项：确定圆的条件是“不在同一直线上的三点确定一个圆”，若三点共线则无法确定圆，故A错误；
B选项：三角形的三个顶点不在同一直线上，根据确定圆的条件，三角形有且只有一个外接圆，故B正确；
C选项：只有对角互补的四边形才有外接圆，并非所有四边形都具备该性质，故C错误；
D选项：圆上任意三个不共线的点都可构成内接三角形，因此圆有无数个内接三角形，故D错误。
【答案】B
【知识点】确定圆的条件、三角形外接圆、圆内接四边形
【点评】本题属于圆的基础概念题，主要考查对圆相关基本性质的掌握，需准确区分易混淆的知识点，难度较低，是学生应熟练掌握的基础内容。
【难度系数】0.6
【解析】逐一分析选项：
A选项：确定圆的条件是“不在同一直线上的三点确定一个圆”，若三点共线则无法确定圆，故A错误；
B选项：三角形的三个顶点不在同一直线上，根据确定圆的条件，三角形有且只有一个外接圆，故B正确；
C选项：只有对角互补的四边形才有外接圆，并非所有四边形都具备该性质，故C错误；
D选项：圆上任意三个不共线的点都可构成内接三角形，因此圆有无数个内接三角形，故D错误。
【答案】B
【知识点】确定圆的条件、三角形外接圆、圆内接四边形
【点评】本题属于圆的基础概念题，主要考查对圆相关基本性质的掌握，需准确区分易混淆的知识点，难度较低，是学生应熟练掌握的基础内容。
【难度系数】0.6
3. 如图,点$A$、$B$、$C$、$D$均在直线$l$上,点$P$在直线$l$外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
D
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
3. D 解析:根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”可得,经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为6个.
解析
【分析】首先明确圆的确定规则：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。我们需要先找出题目中所有由三个点组成的组合，再判断每个组合的三个点是否共线，只有不共线的三点才能确定一个圆，统计这类组合的数量即可得到最多可画圆的个数。
【解析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”：
1. 直线$ l $上的$ A、B、C、D $四个点中，任意三个点都在同一直线$ l $上，无法确定圆，这类组合有$ △ ABC、△ ABD、△ ACD、△ BCD $，共4种，均不能确定圆；
2. 包含直线外点$ P $的三个点组合，分别是$ △ PAB、△ PAC、△ PAD、△ PBC、△ PBD、△ PCD $，共6种，每种组合中都有一个点$ P $不在直线$ l $上，因此这三个点不共线，每个组合都能确定一个圆。
综上，最多可画出圆的个数为6个。
【答案】D
【知识点】圆的确定、三点共线判断
【点评】本题核心是掌握“不共线三点确定一个圆”的规则，需准确区分共线与不共线的三点组合，通过列举所有可能的三点组合来计数，避免遗漏或错判。
【难度系数】0.5
【解析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”：
1. 直线$ l $上的$ A、B、C、D $四个点中，任意三个点都在同一直线$ l $上，无法确定圆，这类组合有$ △ ABC、△ ABD、△ ACD、△ BCD $，共4种，均不能确定圆；
2. 包含直线外点$ P $的三个点组合，分别是$ △ PAB、△ PAC、△ PAD、△ PBC、△ PBD、△ PCD $，共6种，每种组合中都有一个点$ P $不在直线$ l $上，因此这三个点不共线，每个组合都能确定一个圆。
综上，最多可画出圆的个数为6个。
【答案】D
【知识点】圆的确定、三点共线判断
【点评】本题核心是掌握“不共线三点确定一个圆”的规则，需准确区分共线与不共线的三点组合，通过列举所有可能的三点组合来计数，避免遗漏或错判。
【难度系数】0.5
4. 若直角三角形两直角边的长分别为6和8，则它的外接圆的半径为
5
.答案
4. 5 解析:
∵直角三角形两直角边的长分别为6和8,
∴斜边的长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$,
∴该直角三角形的外接圆的直径为10,
∴其外接圆的半径为5.
∵直角三角形两直角边的长分别为6和8,
∴斜边的长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$,
∴该直角三角形的外接圆的直径为10,
∴其外接圆的半径为5.
解析
【分析】首先明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径等于其斜边长度。解题时，先利用勾股定理计算该直角三角形的斜边长度，再根据“半径=直径÷2”的关系，即可求出外接圆半径。
【解析】根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。由于直角三角形外接圆的直径等于斜边，因此外接圆半径为斜边长度的一半，即$10 ÷ 2 = 5$。
【答案】5
【知识点】直角三角形外接圆性质、勾股定理
【点评】本题为基础题，考查直角三角形外接圆性质与勾股定理的结合应用，解题关键是牢记“直角三角形外接圆直径等于斜边”的性质，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。由于直角三角形外接圆的直径等于斜边，因此外接圆半径为斜边长度的一半，即$10 ÷ 2 = 5$。
【答案】5
【知识点】直角三角形外接圆性质、勾股定理
【点评】本题为基础题，考查直角三角形外接圆性质与勾股定理的结合应用，解题关键是牢记“直角三角形外接圆直径等于斜边”的性质，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$EF$是$AC$的垂直平分线且交$AD$于点$O$.若$OA=3$,则$△ ABC$外接圆的面积为
9π
.答案
5. 9π 解析:
∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴BD=CD,AD⊥BC.又
∵EF是AC的垂直平分线且交AD于点O,
∴O是△ABC外接圆的圆心.
∵OA=3,
∴△ABC外接圆的面积为$π r^2=π×3^2=9π$.
∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴BD=CD,AD⊥BC.又
∵EF是AC的垂直平分线且交AD于点O,
∴O是△ABC外接圆的圆心.
∵OA=3,
∴△ABC外接圆的面积为$π r^2=π×3^2=9π$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合等腰三角形的性质和三角形外接圆圆心的判定来推导：首先根据等腰三角形“三线合一”，AD是BC的垂直平分线；再结合EF是AC的垂直平分线，可知两垂直平分线的交点O是△ABC外接圆的圆心，OA为外接圆半径，进而计算面积。
【解析】
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，且BD=CD，即AD是BC的垂直平分线。
又
∵EF是AC的垂直平分线，且EF与AD交于点O，
根据三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，可知点O是△ABC外接圆的圆心，因此OA是外接圆的半径。
已知OA=3，所以外接圆半径r=3，
则△ABC外接圆的面积为πr²=π×3²=9π。
【答案】
9π
【知识点】
等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外接圆
【点评】
本题考查等腰三角形性质与三角形外心的应用，关键是确定外接圆圆心为两垂直平分线的交点，属于基础几何综合题，需掌握外心的定义。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合等腰三角形的性质和三角形外接圆圆心的判定来推导：首先根据等腰三角形“三线合一”，AD是BC的垂直平分线；再结合EF是AC的垂直平分线，可知两垂直平分线的交点O是△ABC外接圆的圆心，OA为外接圆半径，进而计算面积。
【解析】
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，且BD=CD，即AD是BC的垂直平分线。
又
∵EF是AC的垂直平分线，且EF与AD交于点O，
根据三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，可知点O是△ABC外接圆的圆心，因此OA是外接圆的半径。
已知OA=3，所以外接圆半径r=3，
则△ABC外接圆的面积为πr²=π×3²=9π。
【答案】
9π
【知识点】
等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外接圆
【点评】
本题考查等腰三角形性质与三角形外心的应用，关键是确定外接圆圆心为两垂直平分线的交点，属于基础几何综合题，需掌握外心的定义。
【难度系数】
0.5
6. 如图,在平面直角坐标系中,一条圆弧经过网格点A、B、C,其中点B的坐标为$(4,4)$,则该圆弧所在圆的圆心坐标为
(2,0)
.答案
6. (2,0) 解析:分别作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.如图所示,则圆心坐标为(2,0).
解析
【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，根据圆的性质：圆心到圆上任意一点的距离相等，因此圆心是两条弦的垂直平分线的交点。我们先确定A、B、C三点的坐标，再分别作弦AB、BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心。
【解析】
1. 确定各点坐标：根据网格和点B(4,4)，可得A(0,4)，C(6,2)。
2. 求弦AB的垂直平分线：AB是水平线段，中点为(2,4)，AB平行于x轴，其垂直平分线为垂直于x轴的直线，即$x=2$。
3. 求弦BC的垂直平分线：BC的中点为$(\frac{4+6}{2},\frac{4+2}{2})=(5,3)$，BC的斜率为$\frac{2-4}{6-4}=-1$，则垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为$y-3=1×(x-5)$，即$y=x-2$。
4. 求交点：将$x=2$代入$y=x-2$，得$y=0$，故两条垂直平分线的交点为$(2,0)$，即圆心坐标。
【答案】
(2,0)
【知识点】
圆的圆心确定、垂直平分线性质
【点评】
本题利用圆的基本性质，通过作弦的垂直平分线找圆心，结合坐标计算即可求解，属于基础几何题，需掌握垂直平分线的求法。
【难度系数】
0.5
要确定圆弧所在圆的圆心，根据圆的性质：圆心到圆上任意一点的距离相等，因此圆心是两条弦的垂直平分线的交点。我们先确定A、B、C三点的坐标，再分别作弦AB、BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心。
【解析】
1. 确定各点坐标：根据网格和点B(4,4)，可得A(0,4)，C(6,2)。
2. 求弦AB的垂直平分线：AB是水平线段，中点为(2,4)，AB平行于x轴，其垂直平分线为垂直于x轴的直线，即$x=2$。
3. 求弦BC的垂直平分线：BC的中点为$(\frac{4+6}{2},\frac{4+2}{2})=(5,3)$，BC的斜率为$\frac{2-4}{6-4}=-1$，则垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为$y-3=1×(x-5)$，即$y=x-2$。
4. 求交点：将$x=2$代入$y=x-2$，得$y=0$，故两条垂直平分线的交点为$(2,0)$，即圆心坐标。
【答案】
(2,0)
【知识点】
圆的圆心确定、垂直平分线性质
【点评】
本题利用圆的基本性质，通过作弦的垂直平分线找圆心，结合坐标计算即可求解，属于基础几何题，需掌握垂直平分线的求法。
【难度系数】
0.5
7. 将图中的不完整的圆片复原,已知弧上三点A、B、C.
(1)画出该圆片的圆心.
(2)若$△ ABC$是等腰三角形,底边$BC=16\ \mathrm{cm}$,腰$AB=10\ \mathrm{cm}$,求圆片的半径.
(1)画出该圆片的圆心.
(2)若$△ ABC$是等腰三角形,底边$BC=16\ \mathrm{cm}$,腰$AB=10\ \mathrm{cm}$,求圆片的半径.
答案
7. (1)如图1,分别作弦AB和AC的垂直平分线,两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心.
(2)如图2,连接AO、OB、BC,其中BC与OA相交于点D.
∵△ABC是等腰三角形,BC为底边,
∴AB=AC,AD⊥BC.又
∵BC=16 cm,
∴$BD=\frac{1}{2}BC=$8 cm.
∵AB=10 cm,
∴AD=6 cm.设圆片的半径为R cm,在Rt△BOD中,OD=(R-6)cm,
∴$R^2=8^2+(R-6)^2$,解得$R=\frac{25}{3}$,
∴圆片的半径为$\frac{25}{3}$cm.
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用圆的性质：圆的圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点，据此确定圆心；其次，求半径时结合等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，运用勾股定理列方程求解。
【解析】
(1) 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆，圆的圆心在任意两条弦的垂直平分线上”，分别作弦AB和AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O就是该圆片的圆心，如图1所示。
(2) 连接AO、OB，AO与BC交于点D。
因为△ABC是等腰三角形，BC为底边，所以AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，AO垂直平分BC，因此$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ABD中，AB=10 cm，BD=8 cm，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 -8^2}=6\ \mathrm{cm}$。
设圆片的半径为$R\ \mathrm{cm}$，则OB=OA=R cm，OD=OA - AD=(R -6) cm。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OB^2=BD^2 + OD^2$，代入得：
$R^2=8^2 + (R -6)^2$
展开化简得：$0=100 -12R$，解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1)如图1,分别作弦AB和AC的垂直平分线,两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心.
(2)圆片的半径为$\frac{25}{3}$cm.
【知识点】
圆的确定、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合圆的基本性质与几何定理，解题核心是利用弦的垂直平分线找圆心，再通过等腰三角形三线合一构造直角三角形，用勾股定理建立方程求解，考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先利用圆的性质：圆的圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点，据此确定圆心；其次，求半径时结合等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，运用勾股定理列方程求解。
【解析】
(1) 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆，圆的圆心在任意两条弦的垂直平分线上”，分别作弦AB和AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O就是该圆片的圆心，如图1所示。
(2) 连接AO、OB，AO与BC交于点D。
因为△ABC是等腰三角形，BC为底边，所以AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，AO垂直平分BC，因此$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ABD中，AB=10 cm，BD=8 cm，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 -8^2}=6\ \mathrm{cm}$。
设圆片的半径为$R\ \mathrm{cm}$，则OB=OA=R cm，OD=OA - AD=(R -6) cm。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OB^2=BD^2 + OD^2$，代入得：
$R^2=8^2 + (R -6)^2$
展开化简得：$0=100 -12R$，解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1)如图1,分别作弦AB和AC的垂直平分线,两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心.
(2)圆片的半径为$\frac{25}{3}$cm.
【知识点】
圆的确定、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合圆的基本性质与几何定理，解题核心是利用弦的垂直平分线找圆心，再通过等腰三角形三线合一构造直角三角形，用勾股定理建立方程求解，考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
