1. 如图，$AB$ 是$\odot O$ 的切线，$B$ 为切点，$OA$ 与$\odot O$ 交于点$C$，以点$A$为圆心，$OC$ 的长为半径画$\overset{\frown}{EF}$，分别交 $AB$，$AC$ 于点$E$，$F$。若 $OC=2$，$AB=4$，则阴影部分的面积为。

1. $4-π$ 解析:连接$OB$. 因为 $AB$ 是$\odot O$ 的切线,所以$OB ⊥ AB$,所以$∠ OBA = 90°$,所以$∠ A + ∠ BOC = 90°$. 由题意,得 $AE=AF=OB=OC=2$,所以 $S_{\mathrm{扇形}AEF} + S_{\mathrm{扇形}OBC} = \dfrac{90π × 2^2}{360} = π$. 因为 $AB = 4$,所以 $S_{△ AOB} = \dfrac{1}{2}AB · OB = 4$,所以 $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ AOB} - (S_{\mathrm{扇形}AEF} + S_{\mathrm{扇形}OBC}) = 4-π$. 故阴影部分的面积为 $4-π$.

2. 如图，三个小正方形的边长都为1，则阴影部分面积的和为。

2. $\dfrac{3π}{8}$ 解析:由题意,得阴影部分可拼成一个圆心角为$135°$,半径为1的扇形,所以阴影部分面积的和为 $\dfrac{135π × 1^2}{360} = \dfrac{3π}{8}$.

3. 新素养 几何直观 如图，以边长为2 的等边三角形 ABC 的顶点 A 为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与边 BC 相切，分别交 AB，AC 于点 D，E，则阴影部分的面积为（）

A.$\sqrt{3}-\dfrac{π}{4}$
B.$2\sqrt{3}-π$
C.$\dfrac{(6-π)\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}-\dfrac{π}{2}$

3. D 解析:设切点为 $F$,连接 $AF$,则 $AF ⊥ BC$,所以 $∠ AFB = 90°$. 因为 $△ ABC$ 是边长为 2 的等边三角形,所以 $∠ BAC = 60°, AB = AC = BC = 2, BF = CF = \dfrac{1}{2}BC = 1$,所以 $AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{3}$,所以 $S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}BC · AF = \sqrt{3}, S_{\mathrm{扇形}ADE} = \dfrac{60π × (\sqrt{3})^2}{360} = \dfrac{π}{2}$,所以 $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABC} - S_{\mathrm{扇形}ADE} = \sqrt{3} - \dfrac{π}{2}$. 故阴影部分的面积为 $\sqrt{3} - \dfrac{π}{2}$.

4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径作$\odot O$,分别交$AC$,$BC$于点$D$,$E$,过点$E$作$\odot O$的切线,交$AB$的延长线于点$F$.当$OA=$$EF=2\sqrt{2}$时,阴影部分的面积为.

4. $4-π$ 解析:连接 $OE$. 因为 $EF$ 与 $\odot O$ 相切,所以 $OE ⊥ EF$,所以 $∠ OEF = 90°$. 因为 $OE = OA = EF = 2\sqrt{2}$,所以 $S_{△ OEF} = \dfrac{1}{2}OE · EF = 4, ∠ EOF = ∠ EFO = \dfrac{1}{2}(180° - ∠ OEF) = 45°$,所以 $S_{\mathrm{扇形}OBE} = \dfrac{45π × (2\sqrt{2})^2}{360} = π$,所以 $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ OEF} - S_{\mathrm{扇形}OBE} = 4-π$. 故阴影部分的面积为 $4-π$.

5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2\sqrt{3}$，以点$C$为圆心，
$CB$ 为半径画弧，与边 $AB$ 交于点 $D$，连接$CD$. 若将$\overset{\frown}{BD}$绕点 $D$ 旋转$180°$后，点 $B$ 与点$A$ 恰好重合，则阴影部分的面积为.

5. $2\sqrt{3}-\dfrac{2π}{3}$ 解析:由旋转的性质,得 $AD = BD$. 因为 $∠ ACB = 90°$,所以 $CD = BD = \dfrac{1}{2}AB$. 因为 $CB = CD$,所以 $CB = CD = BD$,所以 $△ BCD$ 为等边三角形,所以 $∠ BCD = 60°$. 设 $CB = CD = x$,则 $AB = 2x$,所以 $AC = \sqrt{AB^2 - CB^2} = \sqrt{3}x$. 又 $AC = 2\sqrt{3}$,所以 $\sqrt{3}x = 2\sqrt{3}$,解得 $x = 2$,所以 $CB = 2$,所以 $S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}CB · AC = 2\sqrt{3}$, $S_{\mathrm{扇形}CBD} = \dfrac{60π × 2^2}{360} = \dfrac{2π}{3}$,所以 $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABC} - S_{\mathrm{扇形}CBD} = 2\sqrt{3}-\dfrac{2π}{3}$. 故阴影部分的面积为 $2\sqrt{3}-\dfrac{2π}{3}$.

6. (2026·江苏镇江期中)如图,C,D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点,$\overset{\frown}{CD}$的长为$\dfrac{π}{3}$,则阴影部分的面积为（）

A.$\dfrac{π}{6}$
B.$\dfrac{3π}{16}$
C.$\dfrac{π}{24}$
D.$\dfrac{π}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

6. A 解析:连接 $OC,OD,CD$. 因为 $C,D$ 是以 $AB$ 为直径的半圆的三等分点,所以 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$,所以 $∠ AOC = ∠ COD = ∠ BOD = \dfrac{1}{3} × 180° = 60°$. 因为 $OC = OD$,所以 $△ OCD$ 是等边三角形,所以 $∠ OCD = 60°$,所以 $∠ OCD = ∠ AOC$,所以 $CD // AB$,所以 $S_{△ OCD} = S_{△ ACD}$. 设半圆的半径为 $r$. 因为 $\overset{\frown}{CD}$ 的长为 $\dfrac{π}{3}$,所以 $\dfrac{60π r}{180} = \dfrac{π}{3}$,解得 $r = 1$,所以 $S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OCD} = \dfrac{60π × 1^2}{360} = \dfrac{π}{6}$. 故阴影部分的面积为 $\dfrac{π}{6}$.

7. 新素养 推理能力 如图,扇形$OAB$与扇形$OCD$的圆心角均是$90°$,连接$AC,BD$.
(1) 求证:$AC=BD$;
(2) 若阴影部分的面积是$\dfrac{7π}{4}$,$OC=3$,求$OA$的长.

7. (1) 因为$∠ COD = ∠ AOB = 90°$,所以$∠ AOC + ∠ AOD = ∠ BOD + ∠ AOD$,所以$∠ AOC = ∠ BOD$. 在$△ AOC$和$△ BOD$中,
$\begin{cases} AO=BO, \\ ∠ AOC=∠ BOD, \\ CO=DO, \end{cases}$
所以$△ AOC ≌ △ BOD$,所以$AC=BD$.
(2) 如图,以点$O$为圆心,$OC$为半径画弧,分别交$OA,OB$于点$F,E$. 因为$∠ COF = ∠ EOD$,所以$S_{\mathrm{扇形}OCF} = S_{\mathrm{扇形}OED}$. 因为$△ AOC ≌ △ BOD$,所以$S_{△ AOC} = S_{△ BOD}$,所以$S_{△ AOC} - S_{\mathrm{扇形}OCF} = S_{△ BOD} - S_{\mathrm{扇形}OED}$,即$S=S'$,所以$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OAB} - S_{\mathrm{扇形}OEF}$. 设$OA=r$,则$S_{\mathrm{扇形}OAB} = \dfrac{90π r^2}{360} = \dfrac{π r^2}{4}$. 因为$OC=3$,所以$S_{\mathrm{扇形}OEF} = \dfrac{90π × 3^2}{360} = \dfrac{9π}{4}$. 又$S_{\mathrm{阴影}} = \dfrac{7π}{4}$,所以$\dfrac{π r^2}{4} - \dfrac{9π}{4} = \dfrac{7π}{4}$,解得$r=4$(负值舍去).故$OA$的长为4.