1. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$AB = 10$，$M$ 是半圆 $AB$ 的一个三等分点，$N$ 是半圆 $AB$ 的一个六等分点，$P$ 是直径 $AB$ 上一动点，连接 $MP$，$NP$，则 $MP+NP$ 的最小值为。

1. $5\sqrt{2}$ 解析:如图,作点 N 关于直线 AB 的对称点 N',则由圆的对称性可知点 N' 在$\odot O$ 上.连接 MN',则当 P 为 MN' 与 AB 的交点时,MP+NP 取最小值,且最小值即为 MN' 的长.连接 NN',OM,ON,ON'. 因为 M 是半圆 AB 的一个三等分点,N 是半圆 AB 的一个六等分点,所以$∠ MOB=\frac{1}{3} × 180°=60°$,$∠ BON'=∠ BON=\frac{1}{6} × 180°=30°$,所以 $∠ MON'=∠ MOB+∠ BON'=90°$. 因为 $AB=10$,所以 $OM=ON'=\frac{1}{2}AB=5$,所以 $MN'=\sqrt{OM^2+ON'^2}=5\sqrt{2}$. 故 $MP+NP$ 的最小值为 $5\sqrt{2}$.

2. 如图,已知$\odot O$的面积为$3π$,$AB$为直径,$\overset{\frown}{AC}$的度数为$80^{\circ }$,$\overset{\frown}{BD}$的度数为$20^{\circ }$,$P$为直径$AB$上一动点,则$PC+PD$的最小值为.

2. 3 解析:如图,作点 C 关于直线 AB 的对称点 C',则由圆的对称性可知点 C' 在$\odot O$ 上.连接 C'D,则当 P 为 C'D 与 AB 的交点时,PC+PD 取最小值,且最小值即为 C'D 的长.连接 CC',OC,OC',OD,过点 O 作 $OE⊥ C'D$ 于点 E,则 $C'E=\frac{1}{2}C'D$. 设$\odot O$ 的半径为 R,则 $π R^2=3π$,解得 $R=\sqrt{3}$(负值舍去). 因为 $\overset{\frown}{AC}$ 的度数为 $80°$,$\overset{\frown}{BD}$ 的度数为 $20°$,所以 $∠ AOC=80°$,$∠ BOD=20°$,所以 $∠ AOC'=∠ AOC=80°$,所以 $∠ BOC'=180°-∠ AOC'=100°$,所以 $∠ C'OD=∠ BOC'+∠ BOD=120°$. 因为 $OC'=OD$,所以 $∠ OC'D=∠ ODC'=\frac{1}{2}(180°-∠ C'OD)=30°$,所以 $OE=\frac{1}{2}OC'=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以 $C'E=\sqrt{OC'^2-OE^2}=\frac{3}{2}$,所以 $C'D=2C'E=3$. 故 $PC+PD$ 的最小值为 3.

3. 新素养 几何直观 如图，$\odot O$ 的半径为 1，P 是 $\odot O$ 外的定点，Q 是 $\odot O$ 上的动点，PQ 的中点为 M，连接 OP，OM。若 $OP=2$，则 OM 长的最小值为。

3. $\frac{1}{2}$ 解析:如图,设 OP 与$\odot O$ 交于点 N,连接 MN,OQ. 因为$\odot O$ 的半径为 1,所以 $ON=OQ=1$. 因为 $OP=2$,所以 $ON=\frac{1}{2}OP$,所以 N 为 OP 的中点. 因为 M 为 PQ 的中点,所以 MN 为$△ POQ$ 的中位线,所以 $MN=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}$,所以点 M 在以点 N 为圆心,$\frac{1}{2}$ 为半径的圆上运动. 观察图形可知,当点 M 在线段 ON 上时,OM 的长取最小值,且最小值为 $ON-MN=\frac{1}{2}$.

4. (2025·江苏淮安二模) 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$D$ 是 $AC$ 的中点，$M$ 是 $BD$ 的中点，将线段 $AD$ 绕点 $A$ 任意旋转(旋转过程中始终保持 $M$ 是 $BD$ 的中点). 若 $AC=4$，$BC=3$，则在旋转过程中，$CM$ 长的取值范围为.

4. $1.5≤ CM≤ 3.5$ 解析:设 AB 的中点为 O,连接 OC,OM. 因为 $∠ ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,所以 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$,所以 $OC=\frac{1}{2}AB=2.5$. 因为 D 是 AC 的中点,所以 $AD=\frac{1}{2}AC=2$. 因为 M 是 BD 的中点,所以 OM 是$△ ABD$ 的中位线,所以 $OM=\frac{1}{2}AD=1$,所以点 M 在以点 O 为圆心,1 为半径的圆上运动,所以当点 M 在线段 OC 上时,CM 的长取最小值,且最小值为 $OC-OM=1.5$;当点 M 在线段 CO 的延长线上时,CM 的长取最大值,且最大值为 $OC+OM=3.5$. 故 CM 长的取值范围为 $1.5≤ CM≤ 3.5$.

5. 如图，$△ ABC$ 是边长为 2 的等边三角形，$D$ 是边 $BC$ 上的动点，
$BE⊥ AD$ 于点 $E$，则 $CE$ 长的最小值为.

5. $\sqrt{3}-1$ 解析:如图,设 AB 的中点为 O,连接 OC. 因为 $BE⊥ AD$,所以 $∠ AEB=90°$,所以点 E 在以 AB 为直径的$\odot O$ 上运动. 易知当 E 为线段 OC 与$\odot O$ 的交点时,CE 的长取最小值,且最小值为 $OC-OE$. 因为 $△ ABC$ 是边长为 2 的等边三角形,所以 $AB=AC=BC=2$. 因为 O 是 AB 的中点,所以 $OE=OB=\frac{1}{2}AB=1$,$OC⊥ AB$,所以 $∠ BOC=90°$,所以 $OC=\sqrt{BC^2-OB^2}=\sqrt{3}$,所以 CE 长的最小值为 $\sqrt{3}-1$.

6. 如图，$∠ XOY=45°$，一把直角三角板$ABC$的两个顶点$A,B$分别在$OX,OY$上运动. 若$AB=10$，则点$O$到顶点$A$的距离的最大值为，点$O$到直线$AB$的距离的最大值为.

6. $10\sqrt{2}\quad 5\sqrt{2}+5$ 解析:如图,过 A,B,O 三点作$\odot M$,连接 MO,MA,MB. 因为 $∠ XOY=45°$,所以 $∠ AMB=2∠ XOY=90°$. 设 $MA=MB=MO=x$,则 $AB=\sqrt{MA^2+MB^2}=\sqrt{2}x$. 又 $AB=10$,所以 $\sqrt{2}x=10$,解得 $x=5\sqrt{2}$,所以 $MO=5\sqrt{2}$. 因为 OA 为$\odot M$ 的弦,所以当 OA 为$\odot M$ 的直径时,OA 的长取最大值,即点 O 到顶点 A 的距离的最大值为 $2MO=10\sqrt{2}$. 易知当 $MO⊥ AB$ 时,点 O 到直线 AB 的距离最大. 过点 M 作 $MN⊥ AB$,垂足为 N,则 $AN=BN$,所以 $MN=\frac{1}{2}AB=5$,所以点 O 到直线 AB 的距离的最大值为 $MO+MN=5\sqrt{2}+5$.

7. (2026·江苏连云港期末)已知在
$△ ABC$中，$AB=3,AC=\sqrt{3}$，则
当$∠ ABC$最大时，$BC$的长是.

7. $\sqrt{6}$ 解析:如图,以点 A 为圆心,AC 为半径作$\odot A$,则当 BC 为$\odot A$ 的切线,即$∠ C=90°$时,$∠ ABC$ 最大. 因为 $AB=3$,$AC=\sqrt{3}$,所以 $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6}$. 故当$∠ ABC$ 最大时,BC 的长是$\sqrt{6}$.

8. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$∠ A=$$30^{ \circ }$,斜边$AB=2\sqrt{3}$,动点$P$在边$AB$上,动点$Q$在边$AC$上,且$∠ CPQ=90^{ \circ }$,求$CQ$长的最小值.

8. 如图,以 CQ 为直径作$\odot O$,当$\odot O$ 与边 AB 相切于点 P 时,CQ 最短,连接 OP,则 $OP⊥ AB$,所以 $∠ OPA=90°$. 因为 $∠ A=30°$,所以 $∠ AOP=90°-∠ A=60°$. 因为 $OP=OQ$,所以$△ OPQ$ 是等边三角形,所以 $QP=OQ$,$∠ OPQ=60°$,所以 $∠ QPA=∠ OPA-∠ OPQ=30°$,所以 $∠ QPA=∠ A$,所以 $QA=QP$,所以 $QA=OQ=OC$,所以 $CQ=\frac{2}{3}AC$. 因为 $∠ ACB=90°$,$AB=2\sqrt{3}$,所以 $BC=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$,所以 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=3$,所以 $CQ=2$. 故 CQ 长的最小值为 2.