12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 1 ) x + \frac { 1 } { 4 } k ^ { 2 } + 1 = 0 $，且方程两实根的积为 5，求 $ k $ 的值。

12. 设方程两实根分别为$x_{1},x_{2}$,
∵方程两实根的积为 5,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} b^{2}-4ac=(k+1)^{2}-4(\frac{1}{4}k^{2}+1)\geq0,\\ x_{1}x_{2}=\frac{1}{4}k^{2}+1=5\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} k\geq\frac{3}{2},\\ k=\pm4,\end{array}\right.$
∴当$k = 4$时,方程两实根的积为 5.

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( x - 3 ) ( x - 2 ) = p ( p + 1 ) $。
(1) 试证明：无论 $ p $ 取何值，此方程总有两个实数根；
(2) 若原方程的两根 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 满足 $ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } = 3 p ^ { 2 } + 1 $，求 $ p $ 的值。

13. (1) 原方程可变形为$x^{2}-5x+6-p^{2}-p = 0$.
$\because b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4(6-p^{2}-p)=25-24+4p^{2}+4p=$
$4p^{2}+4p+1=(2p+1)^{2}\geq0$,
∴无论$p$取何值,此方程总有两个实数根.
(2) ∵原方程的两根为$x_{1},x_{2}$,∴$x_{1}+x_{2}=5,x_{1}x_{2}=6-p^{2}-p$.
又∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=3p^{2}+1$,∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=3p^{2}+1$,
∴$5^{2}-3(6-p^{2}-p)=3p^{2}+1$,∴$25-18+3p^{2}+3p=3p^{2}+1$,
∴$3p=-6$,∴$p=-2$.

14. 已知方程 $ x ^ { 2 } - 2 a x + a = 4 $。
(1) 求证：方程必有两相异实根。
(2) $ a $ 取何值时，方程有两个正根？
(3) $ a $ 取何值时，两根异号，并且负根的绝对值较大？
(4) $ a $ 取何值时，方程有一根为零？

14. (1) ∵$b^{2}-4ac=(-2a)^{2}-4(a-4)=4a^{2}-4a+16=4(a-\frac{1}{2})^{2}+15＞0$,
∴方程必有两相异实根.
(2) 设$x_{1},x_{2}$是方程的两根,则$x_{1}+x_{2}=2a＞0,x_{1}x_{2}=a-4＞0$,∴$a＞4$.
即$a＞4$时,方程有两个正根.
(3) ∵$x_{1}x_{2}=a-4＜0$,且$x_{1}+x_{2}=2a＜0$,∴$a＜0$.
即$a＜0$时,两根异号,且负根的绝对值较大.
(4) ∵0 是方程的一根,∴$0^{2}-2a×0+a=4$,∴$a=4$.
即$a = 4$时,方程有一根为零.