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2. 如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点D. 若$AB=8$，$OC=5$，则OD的长是（
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
A
）A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
答案
2. A
解析
【分析】
解决本题首先观察题干条件：半径OC垂直弦AB，首先联想到垂径定理，可得到AB被平分，从而求出AD的长度；再结合圆的半径相等，得到OA的长度，最后在直角三角形ODA中利用勾股定理即可求出OD的长。
【解析】
连接OA，
∵ OC是⊙O的半径，且OC⊥AB，
根据垂径定理可得：$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，
又
∵ ⊙O的半径$OC=5$，
∴ $OA=OC=5$，
在$Rt△ ODA$中，$∠ ODA=90°$，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9}=3$，
即OD的长是3。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常见基础题型，核心是将垂径定理与勾股定理结合使用，这类题型的固定思路是：弦的一半、弦心距、半径构成直角三角形，已知其中两个量即可求出第三个量。
【难度系数】
0.8
解决本题首先观察题干条件：半径OC垂直弦AB，首先联想到垂径定理，可得到AB被平分，从而求出AD的长度；再结合圆的半径相等，得到OA的长度，最后在直角三角形ODA中利用勾股定理即可求出OD的长。
【解析】
连接OA，
∵ OC是⊙O的半径，且OC⊥AB，
根据垂径定理可得：$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，
又
∵ ⊙O的半径$OC=5$，
∴ $OA=OC=5$，
在$Rt△ ODA$中，$∠ ODA=90°$，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9}=3$，
即OD的长是3。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常见基础题型，核心是将垂径定理与勾股定理结合使用，这类题型的固定思路是：弦的一半、弦心距、半径构成直角三角形，已知其中两个量即可求出第三个量。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB，CD是$\odot O$的两条平行弦，且$AB=4$，$CD=6$，AB，CD之间的距离为5，则$\odot O$的直径是
$2\sqrt{13}$
。答案
3. $2\sqrt{13}$
解析
【分析】
遇到圆中平行弦求半径的问题，优先考虑垂径定理：过圆心作弦的垂线可平分弦，进而构造出由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。首先判断两条平行弦的位置：若两弦在圆心同侧，弦心距的差为两弦距离，计算可知不符合题意，因此两弦在圆心异侧，弦心距的和等于两弦的距离，据此列方程求解半径，再得到直径即可。
【解析】
过圆心$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$EO$交$CD$于点$F$。
$\because AB// CD$，$\therefore OF⊥ CD$。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$。
设$\odot O$的半径为$r$，则在$Rt△ AOE$中，$OE=\sqrt{r^2 - AE^2}=\sqrt{r^2 - 4}$；
在$Rt△ COF$中，$OF=\sqrt{r^2 - CF^2}=\sqrt{r^2 - 9}$。
$\because AB$和$CD$在圆心异侧（若在同侧，弦心距之差远小于5，不符合题意），$\therefore OE + OF = 5$，即：
$\sqrt{r^2 - 4} + \sqrt{r^2 - 9} = 5$
令$x=\sqrt{r^2 - 4}$，$y=\sqrt{r^2 - 9}$，则$\begin{cases}x + y = 5\\x^2 - y^2 = 5\end{cases}$
由$x^2 - y^2=(x-y)(x+y)=5$，代入$x+y=5$得$x-y=1$。
联立$\begin{cases}x + y = 5\\x - y = 1\end{cases}$，解得$x=3$，$y=2$。
$\therefore \sqrt{r^2 - 4}=3$，平方得$r^2 - 4 = 9$，$r^2=13$，$r=\sqrt{13}$（半径为正，舍去负根）。
$\therefore \odot O$的直径为$2r=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，平行弦性质
【点评】
本题考查圆中平行弦相关计算，解题关键是作弦的垂线构造直角三角形，注意要先判断两弦相对圆心的位置，避免漏判情况导致错误，解题过程中可通过换元法简化根式方程的计算。
【难度系数】
0.65
遇到圆中平行弦求半径的问题，优先考虑垂径定理：过圆心作弦的垂线可平分弦，进而构造出由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。首先判断两条平行弦的位置：若两弦在圆心同侧，弦心距的差为两弦距离，计算可知不符合题意，因此两弦在圆心异侧，弦心距的和等于两弦的距离，据此列方程求解半径，再得到直径即可。
【解析】
过圆心$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$EO$交$CD$于点$F$。
$\because AB// CD$，$\therefore OF⊥ CD$。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$。
设$\odot O$的半径为$r$，则在$Rt△ AOE$中，$OE=\sqrt{r^2 - AE^2}=\sqrt{r^2 - 4}$；
在$Rt△ COF$中，$OF=\sqrt{r^2 - CF^2}=\sqrt{r^2 - 9}$。
$\because AB$和$CD$在圆心异侧（若在同侧，弦心距之差远小于5，不符合题意），$\therefore OE + OF = 5$，即：
$\sqrt{r^2 - 4} + \sqrt{r^2 - 9} = 5$
令$x=\sqrt{r^2 - 4}$，$y=\sqrt{r^2 - 9}$，则$\begin{cases}x + y = 5\\x^2 - y^2 = 5\end{cases}$
由$x^2 - y^2=(x-y)(x+y)=5$，代入$x+y=5$得$x-y=1$。
联立$\begin{cases}x + y = 5\\x - y = 1\end{cases}$，解得$x=3$，$y=2$。
$\therefore \sqrt{r^2 - 4}=3$，平方得$r^2 - 4 = 9$，$r^2=13$，$r=\sqrt{13}$（半径为正，舍去负根）。
$\therefore \odot O$的直径为$2r=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，平行弦性质
【点评】
本题考查圆中平行弦相关计算，解题关键是作弦的垂线构造直角三角形，注意要先判断两弦相对圆心的位置，避免漏判情况导致错误，解题过程中可通过换元法简化根式方程的计算。
【难度系数】
0.65
如图，BC是$\odot O$的直径，点A是$\odot O$外一点，连接AC交$\odot O$于点E，连接AB并延长交$\odot O$于点D。若$∠ A=35°$，则$∠ DOE$的度数是（）
A. $110°$
B. $120°$
C. $120.5°$
D. $115°$
解析 如图，连接BE，DC.
因为BC是$\odot O$的直径，
所以$∠ BEC=90°$.
因为$∠ A=35°$，
所以$∠ ABE=90° - ∠ A=55°$.
所以$∠ DBE=180° - ∠ ABE=125°$.
因为四边形EBDC是圆内接四边形，
所以$∠ ECD + ∠ DBE=180°$.
所以$∠ ECD=180° - 125°=55°$.
所以$∠ DOE=2∠ ECD=110°$.
答案 A
A. $110°$
B. $120°$
C. $120.5°$
D. $115°$
解析 如图，连接BE，DC.
因为BC是$\odot O$的直径，
所以$∠ BEC=90°$.
因为$∠ A=35°$，
所以$∠ ABE=90° - ∠ A=55°$.
所以$∠ DBE=180° - ∠ ABE=125°$.
因为四边形EBDC是圆内接四边形，
所以$∠ ECD + ∠ DBE=180°$.
所以$∠ ECD=180° - 125°=55°$.
所以$∠ DOE=2∠ ECD=110°$.
答案 A
答案
解：
连接BE，DC。
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BEC=90°$。
∵ $∠ A=35°$，
∴ $∠ ABE=90°-∠ A=55°$，
∴ $∠ DBE=180°-∠ ABE=125°$。
∵ 四边形EBDC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ECD + ∠ DBE=180°$，
∴ $∠ ECD=180°-125°=55°$。
由圆周角定理可得$∠ DOE=2∠ ECD=110°$。
故选：A。
连接BE，DC。
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BEC=90°$。
∵ $∠ A=35°$，
∴ $∠ ABE=90°-∠ A=55°$，
∴ $∠ DBE=180°-∠ ABE=125°$。
∵ 四边形EBDC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ECD + ∠ DBE=180°$，
∴ $∠ ECD=180°-125°=55°$。
由圆周角定理可得$∠ DOE=2∠ ECD=110°$。
故选：A。
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：①看到BC是$\odot O$的直径，优先联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此连接BE构造直角三角形，结合已知的$∠A=35°$可求出$∠ABE$的度数；②通过邻补角的关系计算出$∠DBE$的度数；③利用圆内接四边形对角互补的性质，求出和$∠DOE$同弧对应的圆周角$∠ECD$的度数；④最后根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，即可求出$∠DOE$的度数。
【解析】
连接BE，DC。
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BEC=90°$，则$∠AEB=180°-∠BEC=90°$。
∵ $∠ A=35°$，
∴ 在$Rt△ AEB$中，$∠ ABE=90°-∠ A=55°$，
∴ $∠ DBE=180°-∠ ABE=125°$。
∵ 四边形EBDC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ECD + ∠ DBE=180°$，
∴ $∠ ECD=180°-125°=55°$。
由圆周角定理可得：同弧DE所对的圆心角$∠ DOE$是圆周角$∠ECD$的2倍，即$∠ DOE=2∠ ECD=2×55°=110°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质综合基础题，解题核心是合理添加辅助线构造直角三角形，再结合圆的相关性质逐步推导角度，是圆中角度计算类的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路逐步推导：①看到BC是$\odot O$的直径，优先联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此连接BE构造直角三角形，结合已知的$∠A=35°$可求出$∠ABE$的度数；②通过邻补角的关系计算出$∠DBE$的度数；③利用圆内接四边形对角互补的性质，求出和$∠DOE$同弧对应的圆周角$∠ECD$的度数；④最后根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，即可求出$∠DOE$的度数。
【解析】
连接BE，DC。
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BEC=90°$，则$∠AEB=180°-∠BEC=90°$。
∵ $∠ A=35°$，
∴ 在$Rt△ AEB$中，$∠ ABE=90°-∠ A=55°$，
∴ $∠ DBE=180°-∠ ABE=125°$。
∵ 四边形EBDC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ECD + ∠ DBE=180°$，
∴ $∠ ECD=180°-125°=55°$。
由圆周角定理可得：同弧DE所对的圆心角$∠ DOE$是圆周角$∠ECD$的2倍，即$∠ DOE=2∠ ECD=2×55°=110°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质综合基础题，解题核心是合理添加辅助线构造直角三角形，再结合圆的相关性质逐步推导角度，是圆中角度计算类的典型考题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ CDB=24°$，则$∠ ACD$的度数为
66°
。答案
4. 66°
解析
【分析】
解题思路：首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，同圆中等弧所对应的弧的度数相等，直径对应的半圆弧度数为180°。第一步先根据已知的∠CDB求出它所对的弧BC的度数；第二步结合$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$得到弧BD的度数；第三步结合AB是直径求出弧AD的度数；最后根据∠ACD是弧AD所对的圆周角，计算得到∠ACD的度数即可。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
1.
∵∠CDB是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，且∠CDB=24°
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数=2×24°=48°
2.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
∴$\overset{\frown}{BD}$的度数=48°
3.
∵AB为$\odot O$的直径，半圆对应的弧度数为180°
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数=180°-$\overset{\frown}{BD}$的度数=180°-48°=132°
4. 又
∵∠ACD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$×$\overset{\frown}{AD}$的度数=$\frac{1}{2}$×132°=66°
【答案】
66°
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质，直径的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，核心是掌握圆周角和对应弧的度数转换关系，结合等弧、直径的条件快速推导对应弧的度数即可求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，同圆中等弧所对应的弧的度数相等，直径对应的半圆弧度数为180°。第一步先根据已知的∠CDB求出它所对的弧BC的度数；第二步结合$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$得到弧BD的度数；第三步结合AB是直径求出弧AD的度数；最后根据∠ACD是弧AD所对的圆周角，计算得到∠ACD的度数即可。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
1.
∵∠CDB是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，且∠CDB=24°
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数=2×24°=48°
2.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
∴$\overset{\frown}{BD}$的度数=48°
3.
∵AB为$\odot O$的直径，半圆对应的弧度数为180°
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数=180°-$\overset{\frown}{BD}$的度数=180°-48°=132°
4. 又
∵∠ACD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$×$\overset{\frown}{AD}$的度数=$\frac{1}{2}$×132°=66°
【答案】
66°
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质，直径的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，核心是掌握圆周角和对应弧的度数转换关系，结合等弧、直径的条件快速推导对应弧的度数即可求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D，E在$\odot O$上.若$∠ C=100°$，则$∠ E$的度数为
10°
.答案
5. 10°
解析
【分析】
解题时可结合圆的相关性质逐步推导：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知∠C的度数求出∠BAD的度数；第二步，添加辅助线连接BD，根据直径所对的圆周角为直角，得到△ABD是直角三角形，进而求出∠ABD的度数；第三步，依据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠E与∠ABD相等，求出∠E的度数。
【解析】
连接BD，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠C = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵ ∠C=100°，
∴ ∠BAD=180°-100°=80°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠BAD=90°-80°=10°，
∵ ∠E和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠E=∠ABD=10°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
10°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径所对圆周角的特征
【点评】
本题属于圆的基础性质综合应用题，解题关键是合理添加辅助线将已知角和待求角通过圆周角的性质关联起来，掌握圆的基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可结合圆的相关性质逐步推导：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知∠C的度数求出∠BAD的度数；第二步，添加辅助线连接BD，根据直径所对的圆周角为直角，得到△ABD是直角三角形，进而求出∠ABD的度数；第三步，依据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠E与∠ABD相等，求出∠E的度数。
【解析】
连接BD，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠C = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵ ∠C=100°，
∴ ∠BAD=180°-100°=80°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠BAD=90°-80°=10°，
∵ ∠E和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠E=∠ABD=10°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
10°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径所对圆周角的特征
【点评】
本题属于圆的基础性质综合应用题，解题关键是合理添加辅助线将已知角和待求角通过圆周角的性质关联起来，掌握圆的基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
