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1. 如图，在扇形OAB中，$∠ AOB = 90°$. P为$\overset{\frown}{AB}$上一点，过点P作$PC ⊥ OA$，垂足为C，PC与AB交于点D. 若$PD = 2$，$CD = 1$，则该扇形的半径长为
5
.答案
1. 5
解析
【分析】
首先观察图形特征：扇形OAB中∠AOB=90°，可知△OAB为等腰直角三角形，因此∠OAB=45°。结合PC⊥OA的条件，可推出△ACD是等腰直角三角形，得到AC=CD=1。接下来设扇形半径为r，可得OC=r-1，PC=PD+CD=3，连接OP（OP为半径r），在Rt△OPC中利用勾股定理建立方程即可求解半径长度。
【解析】
解：
∵在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵PC⊥OA，即∠ACD=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=CD=1。
设该扇形的半径长为r，则OA=OP=r，
∴OC = OA - AC = r - 1，
又
∵PC = PD + CD = 2 + 1 = 3，
在Rt△OPC中，由勾股定理得：OP² = OC² + PC²，
代入得：$r^2=(r-1)^2+3^2$，
展开计算：$r^2=r^2-2r+1+9$，
整理得：$2r=10$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理；扇形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质得到线段长度关系，再结合勾股定理列方程求解，方程思想在几何计算中的应用是本题的核心思路。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：扇形OAB中∠AOB=90°，可知△OAB为等腰直角三角形，因此∠OAB=45°。结合PC⊥OA的条件，可推出△ACD是等腰直角三角形，得到AC=CD=1。接下来设扇形半径为r，可得OC=r-1，PC=PD+CD=3，连接OP（OP为半径r），在Rt△OPC中利用勾股定理建立方程即可求解半径长度。
【解析】
解：
∵在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵PC⊥OA，即∠ACD=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=CD=1。
设该扇形的半径长为r，则OA=OP=r，
∴OC = OA - AC = r - 1，
又
∵PC = PD + CD = 2 + 1 = 3，
在Rt△OPC中，由勾股定理得：OP² = OC² + PC²，
代入得：$r^2=(r-1)^2+3^2$，
展开计算：$r^2=r^2-2r+1+9$，
整理得：$2r=10$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理；扇形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质得到线段长度关系，再结合勾股定理列方程求解，方程思想在几何计算中的应用是本题的核心思路。
【难度系数】
0.7
如图，在$\odot O$中，$M$为弦$AB$上一点，且$AM=2BM=4$，连接$OM$，过$M$作$OM⊥ MN$交$\odot O$于点$N$，则$MN$的长为（）
A.2.5
B.3
C.$2\sqrt{2}$
D.$\frac{5\sqrt{2}}{3}$
解析 如图，过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，连接$AO$，$NO$.
因为$AM=2BM=4$，所以$BM=2$.
所以$AB=AM+BM=4+2=6$.
因为$OC⊥ AB$，
所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$.
所以$MC=BC-BM=3-2=1$.
设$OC=x$.
在$\mathrm{Rt}△ COM$中，根据勾股定理可得$OM^2=OC^2+MC^2=x^2+1$.
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理可得$AO^2=OC^2+AC^2=x^2+9$.
所以$NO^2=AO^2=x^2+9$.
因为$OM⊥ MN$，
所以$MN^2=NO^2-OM^2=x^2+9-(x^2+1)=8$.
所以$MN=2\sqrt{2}$（负值舍去）.
答案 C
A.2.5
B.3
C.$2\sqrt{2}$
D.$\frac{5\sqrt{2}}{3}$
解析 如图，过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，连接$AO$，$NO$.
因为$AM=2BM=4$，所以$BM=2$.
所以$AB=AM+BM=4+2=6$.
因为$OC⊥ AB$，
所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$.
所以$MC=BC-BM=3-2=1$.
设$OC=x$.
在$\mathrm{Rt}△ COM$中，根据勾股定理可得$OM^2=OC^2+MC^2=x^2+1$.
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理可得$AO^2=OC^2+AC^2=x^2+9$.
所以$NO^2=AO^2=x^2+9$.
因为$OM⊥ MN$，
所以$MN^2=NO^2-OM^2=x^2+9-(x^2+1)=8$.
所以$MN=2\sqrt{2}$（负值舍去）.
答案 C
答案
C
解析
【分析】
要求解MN的长度，观察题目条件，涉及圆内的弦和垂直关系，首先想到圆中处理弦问题的常用辅助线：过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦的一半长度。已知AM和BM的数量关系可先求出AB总长，再通过垂径定理得到AC、BC的长度，进而求出MC的长度。结合图中的多个直角三角形，可利用勾股定理分别表示出OM²和半径ON²，再在Rt△OMN中利用勾股定理建立MN与前两者的关系，计算时未知数会抵消，无需求出具体值即可得到MN的长度。
【解析】
解：过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，连接$AO$，$NO$.
∵$AM=2BM=4$，
∴$BM=2$，
∴$AB=AM+BM=4+2=6$.
∵$OC⊥ AB$，根据垂径定理，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，
∴$MC=BC-BM=3-2=1$.
设$OC=x$，
在$\mathrm{Rt}△ COM$中，由勾股定理得：$OM^2=OC^2+MC^2=x^2+1$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：$AO^2=OC^2+AC^2=x^2+9$，
∵$AO$和$NO$都是$\odot O$的半径，
∴$NO^2=AO^2=x^2+9$，
∵$OM⊥ MN$，
∴$△ OMN$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ OMN$中，由勾股定理得：$MN^2=NO^2-OM^2$，
代入得$MN^2=x^2+9-(x^2+1)=8$，
∴$MN=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负值）.
故选：C.
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常规题型，解题关键是掌握作弦心距的常用辅助线作法，通过构造直角三角形结合勾股定理建立线段间的数量关系，计算过程中未知数可直接抵消，降低了计算难度，考查了对圆的基本性质和勾股定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求解MN的长度，观察题目条件，涉及圆内的弦和垂直关系，首先想到圆中处理弦问题的常用辅助线：过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦的一半长度。已知AM和BM的数量关系可先求出AB总长，再通过垂径定理得到AC、BC的长度，进而求出MC的长度。结合图中的多个直角三角形，可利用勾股定理分别表示出OM²和半径ON²，再在Rt△OMN中利用勾股定理建立MN与前两者的关系，计算时未知数会抵消，无需求出具体值即可得到MN的长度。
【解析】
解：过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，连接$AO$，$NO$.
∵$AM=2BM=4$，
∴$BM=2$，
∴$AB=AM+BM=4+2=6$.
∵$OC⊥ AB$，根据垂径定理，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，
∴$MC=BC-BM=3-2=1$.
设$OC=x$，
在$\mathrm{Rt}△ COM$中，由勾股定理得：$OM^2=OC^2+MC^2=x^2+1$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：$AO^2=OC^2+AC^2=x^2+9$，
∵$AO$和$NO$都是$\odot O$的半径，
∴$NO^2=AO^2=x^2+9$，
∵$OM⊥ MN$，
∴$△ OMN$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ OMN$中，由勾股定理得：$MN^2=NO^2-OM^2$，
代入得$MN^2=x^2+9-(x^2+1)=8$，
∴$MN=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负值）.
故选：C.
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常规题型，解题关键是掌握作弦心距的常用辅助线作法，通过构造直角三角形结合勾股定理建立线段间的数量关系，计算过程中未知数可直接抵消，降低了计算难度，考查了对圆的基本性质和勾股定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
