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1.(教材 P10 习题 T7 变式)如图，AD，BE分别是△ABC的边 BC，AC 上的高，AD＝3，BC＝5，AC＝4，则 BE 的长为 （
A. $\frac{15}{4}$ B. 3 C. 2 D. $\frac{3}{2}$
【变式题】本质不变，背景改变:锐角三角形→直角三角形、钝角三角形
(1)如图①，已知 AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是 C，D.若 AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点 C 到 AB 的距离是
(2)如图②，在△ABC 中，AE，CD 是△ABC 的两条高.
①请画出 AE，CD；
②已知 AB＝4，CD＝2，BC＝3，则△ABC 的面积为
A
）A. $\frac{15}{4}$ B. 3 C. 2 D. $\frac{3}{2}$
【变式题】本质不变，背景改变:锐角三角形→直角三角形、钝角三角形
(1)如图①，已知 AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是 C，D.若 AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点 C 到 AB 的距离是
4.8
.(2)如图②，在△ABC 中，AE，CD 是△ABC 的两条高.
①请画出 AE，CD；
②已知 AB＝4，CD＝2，BC＝3，则△ABC 的面积为
4
，AE 的长为$\frac{8}{3}$
.答案
1. A
【变式题】(1)4.8 (2)解:①AE,CD如图所示.②4 $\frac{8}{3}$
解析
【分析】
解答本题的核心是运用等面积法：同一个三角形的面积可以用不同的底和其对应的高计算，结果相等。
1. 原题：已知BC边上的高AD、AC边上的高BE，分别以BC、AC为底表示△ABC的面积，建立等式即可求解BE的长度。
2. 变式题(1)：点C到AB的距离就是AB边上的高CD，分别以AC、BC为直角边和以AB为底、CD为高表示△ABC的面积，建立等式求解CD。
3. 变式题(2)：①根据三角形高的定义，从顶点向对边所在直线作垂线段即可画出高；②先以AB为底、CD为高计算△ABC的面积，再以BC为底、AE为高，结合面积相等求解AE的长度。
【解析】
原题解答
∵AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的高，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BE$，
将AD=3，BC=5，AC=4代入得：
$\frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{1}{2} × 4 × BE$，
化简得$15=4BE$，解得$BE=\frac{15}{4}$，故选A。
变式题解答
(1) 点C到AB的距离为CD的长度，
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD$，
将AC=6，BC=8，AB=10代入得：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × CD$，
化简得$24=5CD$，解得$CD=4.8$。
(2) ①根据三角形高的定义：过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE即为BC边上的高；过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即为AB边上的高。
② 计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$；
再由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AE$，代入$S_{△ ABC}=4$，BC=3得：
$4 = \frac{1}{2} × 3 × AE$，解得$AE=\frac{8}{3}$。
【答案】
1. A
【变式题】(1)4.8 (2)解:①AE,CD如图所示.②4 $\frac{8}{3}$
【知识点】
三角形的高，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题围绕三角形高的性质展开，重点考查等面积法的应用，通过同一三角形面积与不同底高组合的等量关系求解线段长度，是几何中求垂线段长度的基础方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解答本题的核心是运用等面积法：同一个三角形的面积可以用不同的底和其对应的高计算，结果相等。
1. 原题：已知BC边上的高AD、AC边上的高BE，分别以BC、AC为底表示△ABC的面积，建立等式即可求解BE的长度。
2. 变式题(1)：点C到AB的距离就是AB边上的高CD，分别以AC、BC为直角边和以AB为底、CD为高表示△ABC的面积，建立等式求解CD。
3. 变式题(2)：①根据三角形高的定义，从顶点向对边所在直线作垂线段即可画出高；②先以AB为底、CD为高计算△ABC的面积，再以BC为底、AE为高，结合面积相等求解AE的长度。
【解析】
原题解答
∵AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的高，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BE$，
将AD=3，BC=5，AC=4代入得：
$\frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{1}{2} × 4 × BE$，
化简得$15=4BE$，解得$BE=\frac{15}{4}$，故选A。
变式题解答
(1) 点C到AB的距离为CD的长度，
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD$，
将AC=6，BC=8，AB=10代入得：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × CD$，
化简得$24=5CD$，解得$CD=4.8$。
(2) ①根据三角形高的定义：过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE即为BC边上的高；过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即为AB边上的高。
② 计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$；
再由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AE$，代入$S_{△ ABC}=4$，BC=3得：
$4 = \frac{1}{2} × 3 × AE$，解得$AE=\frac{8}{3}$。
【答案】
1. A
【变式题】(1)4.8 (2)解:①AE,CD如图所示.②4 $\frac{8}{3}$
【知识点】
三角形的高，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题围绕三角形高的性质展开，重点考查等面积法的应用，通过同一三角形面积与不同底高组合的等量关系求解线段长度，是几何中求垂线段长度的基础方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
2.如图，D，E分别是BC，AC的中点，$S_{△ CDE}=2$，则$△ ABC$的面积是（
A.4
B.8
C.10
D.12
（第2题图）
（第3题图）
B
）A.4
B.8
C.10
D.12
（第2题图）
（第3题图）
答案
2. B
解析
【分析】
解题时可利用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高的三角形面积相等）”这一性质推导。首先根据E是AC中点，判断DE是△ADC的中线，先求出△ADC的面积；再根据D是BC中点，判断AD是△ABC的中线，最终求出△ABC的面积。
【解析】
∵E是AC的中点，
∴AE=EC，△CDE与△ADE等底同高，面积相等，
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}=2$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=2+2=4$。
又
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，△ABD与△ADC等底同高，面积相等，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=4$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=4+4=8$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是基础的三角形面积计算类题目，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，只要掌握等底同高的三角形面积相等的规律，就能快速推出结果。
【难度系数】
0.8
解题时可利用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高的三角形面积相等）”这一性质推导。首先根据E是AC中点，判断DE是△ADC的中线，先求出△ADC的面积；再根据D是BC中点，判断AD是△ABC的中线，最终求出△ABC的面积。
【解析】
∵E是AC的中点，
∴AE=EC，△CDE与△ADE等底同高，面积相等，
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}=2$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=2+2=4$。
又
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，△ABD与△ADC等底同高，面积相等，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=4$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=4+4=8$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是基础的三角形面积计算类题目，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，只要掌握等底同高的三角形面积相等的规律，就能快速推出结果。
【难度系数】
0.8
3.如图，AD是$△ ABC$的中线，BE是$△ ABD$的中线，$EF ⊥ BC$于点F.若$S_{△ ABC}=24$，$BD=4$，则EF的长为
3
.答案
3. 3
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。首先利用AD是△ABC的中线，求出△ABD的面积；再利用BE是△ABD的中线，求出△BDE的面积；最后△BDE的面积可以用底BD乘以高EF再除以2表示，代入已知数值即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×24=12$，
∵BE是△ABD的中线，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×12=6$，
∵$EF⊥BC$，
∴EF是△BDE中BD边上的高，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△BDE}=\frac{1}{2}×BD×EF$，
将$S_{△BDE}=6$，$BD=4$代入得：
$6=\frac{1}{2}×4×EF$，
解得$EF=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形中线的面积相关性质以及三角形面积公式的应用，解题核心是通过中线的性质快速得到所求高对应三角形的面积，再结合面积公式求解线段长度，这类题型是三角形面积相关考点的常见考法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。首先利用AD是△ABC的中线，求出△ABD的面积；再利用BE是△ABD的中线，求出△BDE的面积；最后△BDE的面积可以用底BD乘以高EF再除以2表示，代入已知数值即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×24=12$，
∵BE是△ABD的中线，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×12=6$，
∵$EF⊥BC$，
∴EF是△BDE中BD边上的高，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△BDE}=\frac{1}{2}×BD×EF$，
将$S_{△BDE}=6$，$BD=4$代入得：
$6=\frac{1}{2}×4×EF$，
解得$EF=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形中线的面积相关性质以及三角形面积公式的应用，解题核心是通过中线的性质快速得到所求高对应三角形的面积，再结合面积公式求解线段长度，这类题型是三角形面积相关考点的常见考法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中,已知 D,E,F 分别为 BC,AD,CE 的中点.
（1）如图①,若 $S_{△ ABC}=1\ \mathrm{cm}^2$,求 $△ BEF$ 的面积；
（2）如图②,若 $S_{△ BFC}=1\ \mathrm{cm}^2$,则 $△ ABC$ 的面积为
（1）如图①,若 $S_{△ ABC}=1\ \mathrm{cm}^2$,求 $△ BEF$ 的面积；
（2）如图②,若 $S_{△ BFC}=1\ \mathrm{cm}^2$,则 $△ ABC$ 的面积为
4
$\mathrm{cm}^2$.答案
4. 解:(1)
∵ D 为 BC 的中点,
∴ S△ABD = S△ACD = $\frac{1}{2}$S△ABC.
∵ E 为 AD 的中点,
∴ S△BED = $\frac{1}{2}$S△ABD,
S△CDE = $\frac{1}{2}$S△ACD.
∴ S△BEC = S△BED + S△CDE = $\frac{1}{2}$S△ABD
+ $\frac{1}{2}$S△ACD = $\frac{1}{2}$S△ABC.
∵ F 为 CE 的中点,
∴ S△BEF =
$\frac{1}{2}$S△BEC = $\frac{1}{4}$S△ABC = $\frac{1}{4}$ cm².(2)4 【点拨】连接 BE
(图略),由(1)可知 S△ABC=4S△BFC=4 cm².
∵ D 为 BC 的中点,
∴ S△ABD = S△ACD = $\frac{1}{2}$S△ABC.
∵ E 为 AD 的中点,
∴ S△BED = $\frac{1}{2}$S△ABD,
S△CDE = $\frac{1}{2}$S△ACD.
∴ S△BEC = S△BED + S△CDE = $\frac{1}{2}$S△ABD
+ $\frac{1}{2}$S△ACD = $\frac{1}{2}$S△ABC.
∵ F 为 CE 的中点,
∴ S△BEF =
$\frac{1}{2}$S△BEC = $\frac{1}{4}$S△ABC = $\frac{1}{4}$ cm².(2)4 【点拨】连接 BE
(图略),由(1)可知 S△ABC=4S△BFC=4 cm².
解析
【分析】
本题核心依据是“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分（等底同高的三角形面积相等）”。（1）问正向推导：从已知的$△ ABC$面积出发，先利用D是BC中点得到$△ ABD$、$△ ACD$的面积均为$△ ABC$的一半；再通过E是AD中点，推出$△ BED$是$△ ABD$的一半、$△ CDE$是$△ ACD$的一半，求和可得$△ BEC$的面积是$△ ABC$的一半；最后由F是CE中点，就能算出$△ BEF$的面积。（2）问反向推导：连接BE后，沿用（1）的面积关系，从$△ BFC$的面积反推，即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
（1）
∵ D为BC的中点，
∴ $△ ABD$和$△ ACD$等底同高，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ E为AD的中点，
∴ $△ BED$和$△ ABD$等底同高，$△ CDE$和$△ ACD$等底同高，
∴ $S_{△ BED} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CDE} = \frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ BEC} = S_{△ BED} + S_{△ CDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} + \frac{1}{2}S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ F为CE的中点，
∴ $△ BEF$和$△ BEC$等底同高，
∴ $S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = \frac{1}{4}S_{△ ABC}$，
代入$S_{△ ABC}=1\ \mathrm{cm}^2$，得$S_{△ BEF}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
（2）连接BE，由（1）的推导可得：
F是CE中点，故$S_{△ BFC}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}$，
又$S_{△ BEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
因此$S_{△ BFC}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，即$S_{△ ABC}=4S_{△ BFC}$，
代入$S_{△ BFC}=1\ \mathrm{cm}^2$，得$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$；（2）$4$
【知识点】
三角形中线的等积性质，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积计算的常规题型，通过多次运用中线的等积性质建立已知与未知图形的面积关联，既可以正向推导也可以反向求解，熟练掌握中线分三角形为等积两部分的性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题核心依据是“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分（等底同高的三角形面积相等）”。（1）问正向推导：从已知的$△ ABC$面积出发，先利用D是BC中点得到$△ ABD$、$△ ACD$的面积均为$△ ABC$的一半；再通过E是AD中点，推出$△ BED$是$△ ABD$的一半、$△ CDE$是$△ ACD$的一半，求和可得$△ BEC$的面积是$△ ABC$的一半；最后由F是CE中点，就能算出$△ BEF$的面积。（2）问反向推导：连接BE后，沿用（1）的面积关系，从$△ BFC$的面积反推，即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
（1）
∵ D为BC的中点，
∴ $△ ABD$和$△ ACD$等底同高，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ E为AD的中点，
∴ $△ BED$和$△ ABD$等底同高，$△ CDE$和$△ ACD$等底同高，
∴ $S_{△ BED} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CDE} = \frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ BEC} = S_{△ BED} + S_{△ CDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} + \frac{1}{2}S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ F为CE的中点，
∴ $△ BEF$和$△ BEC$等底同高，
∴ $S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = \frac{1}{4}S_{△ ABC}$，
代入$S_{△ ABC}=1\ \mathrm{cm}^2$，得$S_{△ BEF}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
（2）连接BE，由（1）的推导可得：
F是CE中点，故$S_{△ BFC}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}$，
又$S_{△ BEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
因此$S_{△ BFC}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，即$S_{△ ABC}=4S_{△ BFC}$，
代入$S_{△ BFC}=1\ \mathrm{cm}^2$，得$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$；（2）$4$
【知识点】
三角形中线的等积性质，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积计算的常规题型，通过多次运用中线的等积性质建立已知与未知图形的面积关联，既可以正向推导也可以反向求解，熟练掌握中线分三角形为等积两部分的性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
