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11.(9分)如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C在小正方形的顶点上.
(1)画出$△ ABC$中边BC上的高AD;
(2)画出$△ ABC$中边BC上的中线AE;
(3)直接写出$△ ABE$的面积:
(1)画出$△ ABC$中边BC上的高AD;
(2)画出$△ ABC$中边BC上的中线AE;
(3)直接写出$△ ABE$的面积:
4
.答案
11. 解:(1)如图,线段AD即为所求.(2)如图,线段AE即为所求.(3)4
解析
【分析】
本题分为作图和计算两部分，解题思路如下：
1. 作BC边上的高：结合三角形高的定义，从顶点A向BC所在直线作垂线，顶点A与垂足D间的线段就是BC边上的高，注意钝角三角形中钝角边上的高在三角形外部，因此垂足D落在BC的延长线上。
2. 作BC边上的中线：结合三角形中线的定义，先找到BC的中点E（BC长度为4，中点E距离C点2个单位长度），再连接A和E，所得线段即为BC边上的中线。
3. 求△ABE的面积：利用三角形中线的性质，中线将三角形分为两个等底同高、面积相等的三角形，因此先求出△ABC的面积，再除以2即可得到△ABE的面积，也可直接用底BE的长度乘高AD再除以2计算。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，线段AD即为△ABC中BC边上的高。
(2) 由网格可知BC的长度为4，取BC上距离C点2个单位长度的点E（即BC中点），连接AE，线段AE即为△ABC中BC边上的中线。
(3) 计算面积：
△ABC的底$BC=4$，高$AD=4$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
因为AE是BC边上的中线，所以$BE=EC$，△ABE和△AEC等底同高，面积相等，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=4$。
【答案】
(1)(2)如图所示：
(3)$\boxed{4}$
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形高、中线的定义和作图方法，以及三角形中线的面积相关性质，解题时要注意钝角三角形的高可能落在三角形外部，计算面积时结合网格数准边长即可。
【难度系数】
0.8
本题分为作图和计算两部分，解题思路如下：
1. 作BC边上的高：结合三角形高的定义，从顶点A向BC所在直线作垂线，顶点A与垂足D间的线段就是BC边上的高，注意钝角三角形中钝角边上的高在三角形外部，因此垂足D落在BC的延长线上。
2. 作BC边上的中线：结合三角形中线的定义，先找到BC的中点E（BC长度为4，中点E距离C点2个单位长度），再连接A和E，所得线段即为BC边上的中线。
3. 求△ABE的面积：利用三角形中线的性质，中线将三角形分为两个等底同高、面积相等的三角形，因此先求出△ABC的面积，再除以2即可得到△ABE的面积，也可直接用底BE的长度乘高AD再除以2计算。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，线段AD即为△ABC中BC边上的高。
(2) 由网格可知BC的长度为4，取BC上距离C点2个单位长度的点E（即BC中点），连接AE，线段AE即为△ABC中BC边上的中线。
(3) 计算面积：
△ABC的底$BC=4$，高$AD=4$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
因为AE是BC边上的中线，所以$BE=EC$，△ABE和△AEC等底同高，面积相等，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=4$。
【答案】
(1)(2)如图所示：
(3)$\boxed{4}$
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形高、中线的定义和作图方法，以及三角形中线的面积相关性质，解题时要注意钝角三角形的高可能落在三角形外部，计算面积时结合网格数准边长即可。
【难度系数】
0.8
12.(9分)(教材P10习题T8变式)如图,在△ABC中,D为BC上一点,P为AD上一点,PA平分∠MPN. PM//AC,交AB于点M;PN//AB,交AC于点N.求证:AD是△ABC的角平分线.
答案
12. 证明:
∵ PA 平分∠MPN,
∴ ∠APM=∠APN.
∵ PM//AC,PN//AB,
∴ ∠PAN=∠APM,∠PAM=∠APN.
∴ ∠PAM=∠PAN,即∠BAD=∠CAD.
∴ AD 是△ABC 的角平分线.
∵ PA 平分∠MPN,
∴ ∠APM=∠APN.
∵ PM//AC,PN//AB,
∴ ∠PAN=∠APM,∠PAM=∠APN.
∴ ∠PAM=∠PAN,即∠BAD=∠CAD.
∴ AD 是△ABC 的角平分线.
解析
【分析】
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明∠BAD=∠CAD即可。首先从已知条件出发，PA平分∠MPN可得∠APM=∠APN；再结合PM//AC、PN//AB的平行关系，利用平行线内错角相等的性质，可得到∠PAN=∠APM、∠PAM=∠APN，通过等量代换就能推出∠PAM=∠PAN，也就是∠BAD=∠CAD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ PA平分∠MPN，
∴ ∠APM=∠APN。
∵ PM//AC，PN//AB，
∴ ∠PAN=∠APM，∠PAM=∠APN。
∴ ∠PAM=∠PAN，即∠BAD=∠CAD。
∴ AD是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质
【点评】
本题属于基础证明题，重点考查角平分线的判定和平行线性质的综合运用，解题的关键是理清角与角之间的等量关系，通过等量代换即可推导出结论。
【难度系数】
0.8
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明∠BAD=∠CAD即可。首先从已知条件出发，PA平分∠MPN可得∠APM=∠APN；再结合PM//AC、PN//AB的平行关系，利用平行线内错角相等的性质，可得到∠PAN=∠APM、∠PAM=∠APN，通过等量代换就能推出∠PAM=∠PAN，也就是∠BAD=∠CAD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ PA平分∠MPN，
∴ ∠APM=∠APN。
∵ PM//AC，PN//AB，
∴ ∠PAN=∠APM，∠PAM=∠APN。
∴ ∠PAM=∠PAN，即∠BAD=∠CAD。
∴ AD是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质
【点评】
本题属于基础证明题，重点考查角平分线的判定和平行线性质的综合运用，解题的关键是理清角与角之间的等量关系，通过等量代换即可推导出结论。
【难度系数】
0.8
13.(12分)如图,在△ABC中,AD是中线,DE是△ABD的高,DF是△ACD的高,AB=3,AC=4,DF=1.5,求DE的长.
答案
13. 解:
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∴S△ABD = S△ACD,即$\frac{1}{2}DE· AB=\frac{1}{2}DF· AC$.
∵AB=3,AC=4,DF=1.5,
∴$DE=\frac{DF· AC}{AB}=\frac{1.5×4}{3}=2$.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∴S△ABD = S△ACD,即$\frac{1}{2}DE· AB=\frac{1}{2}DF· AC$.
∵AB=3,AC=4,DF=1.5,
∴$DE=\frac{DF· AC}{AB}=\frac{1.5×4}{3}=2$.
解析
【分析】
解题时首先抓住AD是△ABC的中线这一条件，根据三角形中线的性质，中线可将原三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形，即△ABD和△ACD的面积相等。再结合两个三角形的高DE、DF，分别用三角形面积公式表示两个小三角形的面积，根据面积相等建立等式，代入已知数值即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD等底同高，面积相等，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DE是△ABD的高，DF是△ACD的高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}·AB·DE=\frac{1}{2}·AC·DF$，
化简得$AB·DE=AC·DF$。
将AB=3，AC=4，DF=1.5代入上式：
$3×DE=4×1.5$，
解得$DE=\frac{6}{3}=2$。
【答案】
DE的长为2
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用三角形中线平分三角形面积的特点建立等量关系，解题关键是理解中线分三角形为两个面积相等的部分，再结合面积公式求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住AD是△ABC的中线这一条件，根据三角形中线的性质，中线可将原三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形，即△ABD和△ACD的面积相等。再结合两个三角形的高DE、DF，分别用三角形面积公式表示两个小三角形的面积，根据面积相等建立等式，代入已知数值即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD等底同高，面积相等，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DE是△ABD的高，DF是△ACD的高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}·AB·DE=\frac{1}{2}·AC·DF$，
化简得$AB·DE=AC·DF$。
将AB=3，AC=4，DF=1.5代入上式：
$3×DE=4×1.5$，
解得$DE=\frac{6}{3}=2$。
【答案】
DE的长为2
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用三角形中线平分三角形面积的特点建立等量关系，解题关键是理解中线分三角形为两个面积相等的部分，再结合面积公式求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
14.(14分) 渗透方程思想 如图,在△ABC中(AC＞AB),AC=2BC,边BC上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分,求AC和AB的长.
答案
14. 解:
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=CD. 设BD=CD=x,则BC=2x,AC=2BC=4x.
∵AC＞AB,
∴AC+CD=70,即4x+x=70,解得x=14.
∴BC=2x=28,AC=4x=56.
∴AB=50-BD=36.
∵BC+AB=64＞AC,满足三角形的三边关系,
∴AC=56,AB=36.
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=CD. 设BD=CD=x,则BC=2x,AC=2BC=4x.
∵AC＞AB,
∴AC+CD=70,即4x+x=70,解得x=14.
∴BC=2x=28,AC=4x=56.
∴AB=50-BD=36.
∵BC+AB=64＞AC,满足三角形的三边关系,
∴AC=56,AB=36.
解析
【分析】
解题时首先抓住AD是BC中线的条件，可知BD=CD，结合AC=2BC的数量关系，可通过设未知数表示出各边的长度；再根据AC＞AB的条件，判断出周长分成的两部分中更长的70对应AC+CD，更短的50对应AB+BD，据此列方程求解；最后需要用三角形三边关系验证求出的边长能否构成三角形，排除不符合题意的解。
【解析】
解：
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD。
设BD=CD=x，则BC=2x，
∵AC=2BC，
∴AC=4x。
∵AC＞AB，且BD=CD，
∴AC+CD=70，AB+BD=50，
代入得$4x + x = 70$，
解得$x=14$。
∴$BC=2x=28$，$AC=4x=56$，
$AB=50 - BD=50 - 14=36$。
验证：$BC+AB=28+36=64＞AC=56$，满足三角形三边关系，边长有效。
【答案】
AC=56，AB=36
【知识点】
三角形中线的性质，三角形三边关系，一元一次方程的应用
【点评】
本题主要考查利用方程思想解决三角形边长问题，解题的关键是根据已知的边长大小关系准确对应周长分成的两部分，求解后要注意验证三边是否满足三角形的构成条件，避免得到无效解。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住AD是BC中线的条件，可知BD=CD，结合AC=2BC的数量关系，可通过设未知数表示出各边的长度；再根据AC＞AB的条件，判断出周长分成的两部分中更长的70对应AC+CD，更短的50对应AB+BD，据此列方程求解；最后需要用三角形三边关系验证求出的边长能否构成三角形，排除不符合题意的解。
【解析】
解：
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD。
设BD=CD=x，则BC=2x，
∵AC=2BC，
∴AC=4x。
∵AC＞AB，且BD=CD，
∴AC+CD=70，AB+BD=50，
代入得$4x + x = 70$，
解得$x=14$。
∴$BC=2x=28$，$AC=4x=56$，
$AB=50 - BD=50 - 14=36$。
验证：$BC+AB=28+36=64＞AC=56$，满足三角形三边关系，边长有效。
【答案】
AC=56，AB=36
【知识点】
三角形中线的性质，三角形三边关系，一元一次方程的应用
【点评】
本题主要考查利用方程思想解决三角形边长问题，解题的关键是根据已知的边长大小关系准确对应周长分成的两部分，求解后要注意验证三边是否满足三角形的构成条件，避免得到无效解。
【难度系数】
0.6
15.（5分）渗透分类讨论思想 已知AD是$△ ABC$的高，AE是$△ ABC$的角平分线。若$∠ BAD=70°$，$∠ CAD=20°$，则$∠ EAD$的度数为
25°或45°
。答案
15. 25°或 45°
解析
【分析】
本题需要结合三角形高的位置不确定性分类讨论：首先AD是△ABC的高，可能在三角形内部，也可能在三角形外部，对应两种不同的△ABC形状。解题步骤为：先根据两种情况分别求出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，最后通过∠BAD与∠BAE的差计算出∠EAD的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 70° + 20° = 90°$
∵AE是△ABC的角平分线
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
∴$∠ EAD = ∠ BAD - ∠ BAE = 70° - 45° = 25°$
2. 当高AD在△ABC外部时：
$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 70° - 20° = 50°$
∵AE是△ABC的角平分线
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
∴$∠ EAD = ∠ BAD - ∠ BAE = 70° - 25° = 45°$
综上，$∠ EAD$的度数为$25°$或$45°$。
【答案】
$25°$或$45°$
【知识点】
三角形高的性质；三角形角平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略三角形的高可能在外部的情况，导致漏解，解题时需要结合高的位置特征全面考虑所有可能的情况，同时熟练运用角平分线的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.6
本题需要结合三角形高的位置不确定性分类讨论：首先AD是△ABC的高，可能在三角形内部，也可能在三角形外部，对应两种不同的△ABC形状。解题步骤为：先根据两种情况分别求出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，最后通过∠BAD与∠BAE的差计算出∠EAD的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 70° + 20° = 90°$
∵AE是△ABC的角平分线
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
∴$∠ EAD = ∠ BAD - ∠ BAE = 70° - 45° = 25°$
2. 当高AD在△ABC外部时：
$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 70° - 20° = 50°$
∵AE是△ABC的角平分线
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
∴$∠ EAD = ∠ BAD - ∠ BAE = 70° - 25° = 45°$
综上，$∠ EAD$的度数为$25°$或$45°$。
【答案】
$25°$或$45°$
【知识点】
三角形高的性质；三角形角平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略三角形的高可能在外部的情况，导致漏解，解题时需要结合高的位置特征全面考虑所有可能的情况，同时熟练运用角平分线的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.6
