11.如图4-1-20,在四边形ABCD中,已知$∠ C=90°$,$AB=13$,$AD=12$,$BC=4$,$CD=3$,求四边形ABCD的面积. 图4-1-20

提示:连结 BD。则 $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = 5$。
所以 $AB^2 = AD^2 + BD^2$，由此可得 $AD ⊥ BD$。
所以 $S_{四边形ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = 30 + 6 = 36$。

12.如图4-1-21,在△ABC中,点D在BC边上,满足AC² - CD² = AD².求证:AB² - AC² = BD² - CD².

提示:由 $AC^2 - CD^2 = AD^2$ 得 $AD ⊥ BC$。
$\therefore AD^2 = AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$，
即 $AB^2 - AC^2 = BD^2 - CD^2$。

13.如图4-1-22，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1.
（1）求四边形ABCD的周长及面积.
（2）连结AC，判断△ABC的形状.

13. (1)$AB = 2\sqrt{5},BC = \sqrt{5},CD = \sqrt{10},AD = 3$。
四边形 ABCD 的周长:$3\sqrt{5} + \sqrt{10} + 3$。
四边形 ABCD 的面积:$16 - 4 - 1 - 1.5 = 9.5$。
(2)$\because AC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，$AB^2 + BC^2 = 5$，
$\therefore AB^2 + BC^2 = AC^2$，$△ ABC$ 是直角三角形。

14. 如图4-1-23,在等腰$△ ABC$中,$AB = AC = 5\mathrm{cm},BC = 8\mathrm{cm}$,动点$P$在$BC$边上从点$B$向点$C$以$0.25\mathrm{cm/s}$的速度运动.
（1）当$AP ⊥ BC$时,求$AP$的长.
（2）当点$P$运动多长时间时,$AP$与腰垂直?

14. 提示:(1) 当$AP ⊥ BC$时,点 P 在 BC 的中点 D 处,此时 $BD = 4\mathrm{cm}$,由勾股定理,得
$AP = AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = 3(\mathrm{cm})$。
(2) 当$AP ⊥ AC$时,在$\mathrm{Rt}△ APD$和$\mathrm{Rt}△ ACP$中,
$AP^2 = AD^2 + DP^2 = CP^2 - AC^2$。
即 $3^2 + (4 - BP)^2$
$= (8 - BP)^2 - 5^2$。
解得 $BP = 1.75(\mathrm{cm})$。
当$AP ⊥ AB$时,由等腰三角形的轴对称性可得 $CP = 1.75\mathrm{cm}$, 此时 $BP = 6.25\mathrm{cm}$。
由于 $1.75 ÷ 0.25 = 7$, $6.25 ÷ 0.25 = 25$。
$\therefore$ 运动时间为 7 s 或 25 s 时,AP 与腰垂直。

15. 如图4-1-24，$AB = BC$，$∠ ABC = 60°$，$∠ BAD = 150°$，$△ CDE$为等边三角形。若$AD = 1$，求四边形$BCDE$的面积。

图4-1-24

15. 提示:先证$△ ABC$是等边三角形；
再证$∠ CAD = 90°$,可得 AC 垂直平分 DE。
所以 $CD = DE = 2AD = 2$,
$∠ ACD = ∠ ACE = 30°$。
由$∠ ACB = 60°$可得
$∠ ACE = ∠ BCE = 30°$。
由此可推出 $△ ACE ≌ △ BCE$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理可得
$AC = \sqrt{CD^2 - AD^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
$\therefore S_{四边形BCDE} = 3S_{△ ACD} = \frac{3}{2}AD · AC = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。