登录
如图,在$\odot O$中,$AB$为直径,半径$OC\perp AB$,弦$EF经过CO中点D$,$EF// AB$.
(1)求证：$\overset{\frown}{CE}= 2\overset{\frown}{EA}$；
(2)若$\odot O的半径为R$,求$EF$长.
(1)求证：$\overset{\frown}{CE}= 2\overset{\frown}{EA}$；
(2)若$\odot O的半径为R$,求$EF$长.
答案
(1) 提示:连接 OE,$\angle AOE=30^{\circ},\angle COE=60^{\circ}$;
(2)$\sqrt{3}R$.
1. 在半径为$\sqrt{2}$的圆中，长度为$2$的弦所对的圆心角是______°。
答案
90
解析
设圆的半径为$r$，弦长为$l$，圆心角为$n^{\circ}$。已知$r = \sqrt{2}$，$l = 2$。
过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂足平分弦，所以弦的一半为$\frac{l}{2} = 1$。
在由半径、弦的一半和垂线构成的直角三角形中，$\sin\frac{n}{2} = \frac{\frac{l}{2}}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
则$\frac{n}{2} = 45^{\circ}$，解得$n = 90^{\circ}$。
90
过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂足平分弦，所以弦的一半为$\frac{l}{2} = 1$。
在由半径、弦的一半和垂线构成的直角三角形中，$\sin\frac{n}{2} = \frac{\frac{l}{2}}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
则$\frac{n}{2} = 45^{\circ}$，解得$n = 90^{\circ}$。
90
2. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$在同一个圆上，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$将$4$个内角分成$8$个角。在这$8$个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：______。
答案
4对，∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8
3. 如图，点$A$，$B$，$C$为$\odot O$上的点，$\angle AOB = 60^{\circ}$，则$\angle ACB =$______。
答案
30°
解析
解：
∵∠AOB与∠ACB分别是$\odot O$中弧AB所对的圆心角和圆周角，∠AOB=60°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
30°
∵∠AOB与∠ACB分别是$\odot O$中弧AB所对的圆心角和圆周角，∠AOB=60°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
30°
4. 如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$\angle C = 45^{\circ}$，$AB = 2$，则$\odot O$的半径为______。
答案
$\sqrt{2}$
解析
证明：连接 $OA$，$OB$。
$\because \angle C = 45°$，
$\therefore \angle AOB = 2\angle C = 90°$。
$\because OA = OB$，$AB = 2$，
设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OA = OB = r$。
在 $Rt\triangle AOB$ 中，由勾股定理得：
$OA^2 + OB^2 = AB^2$，
即 $r^2 + r^2 = 2^2$，
$2r^2 = 4$，
$r^2 = 2$，
$r = \sqrt{2}$（负值舍去）。
$\therefore \odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}$
$\because \angle C = 45°$，
$\therefore \angle AOB = 2\angle C = 90°$。
$\because OA = OB$，$AB = 2$，
设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OA = OB = r$。
在 $Rt\triangle AOB$ 中，由勾股定理得：
$OA^2 + OB^2 = AB^2$，
即 $r^2 + r^2 = 2^2$，
$2r^2 = 4$，
$r^2 = 2$，
$r = \sqrt{2}$（负值舍去）。
$\therefore \odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}$
问题 如图，直线$AB$交$\odot O$于$A$，$B$两点，点$M$在圆上，点$P$在圆外，且点$M$，$P$在$AB$的同侧，$\angle AMB = 35^{\circ}$。设$\angle APB = x^{\circ}$，当点$P$移动时，求$x$的取值范围，并说明理由。
名师指导
连接$EB$，再利用三角形的外角大于任一不相邻的内角可得$x$的取值范围。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
名师指导
连接$EB$，再利用三角形的外角大于任一不相邻的内角可得$x$的取值范围。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案
0＜x＜35
解析
连接PA与⊙O交于点E（E为PA与⊙O的另一交点），连接EB。
∵∠AMB与∠AEB均为弧AB所对的圆周角，且点M，E在AB同侧，
∴∠AEB=∠AMB=35°（同弧所对圆周角相等）。
在△PEB中，∠AEB是△PEB的外角，
∴∠AEB=∠APB+∠EBP（三角形外角等于不相邻两内角之和）。
∵∠EBP＞0°，
∴∠APB=∠AEB-∠EBP＜∠AEB=35°。
又∵点P在AB同侧且不与AB重合，∠APB＞0°，
∴x的取值范围是0＜x＜35。
∵∠AMB与∠AEB均为弧AB所对的圆周角，且点M，E在AB同侧，
∴∠AEB=∠AMB=35°（同弧所对圆周角相等）。
在△PEB中，∠AEB是△PEB的外角，
∴∠AEB=∠APB+∠EBP（三角形外角等于不相邻两内角之和）。
∵∠EBP＞0°，
∴∠APB=∠AEB-∠EBP＜∠AEB=35°。
又∵点P在AB同侧且不与AB重合，∠APB＞0°，
∴x的取值范围是0＜x＜35。
