1. 下列说法中,正确的是( )

A.同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B.弦的垂直平分线一定经过圆心
C.圆心角相等的两条弧一定相等
D.平分弦的直径一定垂直于该弦

B.

2. 如图,点$P_1\sim P_8是\odot O$的八等分点.若$\triangle P_1P_3P_7$,四边形$P_3P_4P_6P_7的周长分别为a$,$b$,则下列结论正确的是( )

A.$a ＜ b$
B.$a = b$
C.$a ＞ b$
D.$a$,$b$大小无法比较

A.

设$\odot O$的半径为$r$，则直径为$2r$。
点$P_1\sim P_8$是$\odot O$的八等分点，每段弧所对圆心角为$\frac{360°}{8}=45°$。
$\triangle P_1P_3P_7$的边长：
$P_1P_3$：对应圆心角$2×45°=90°$，弦长$2r\sin45°=2r×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}r$；
$P_3P_7$：对应圆心角$4×45°=180°$，弦长为直径$2r$；
$P_7P_1$：对应圆心角$2×45°=90°$，弦长$\sqrt{2}r$；
周长$a=\sqrt{2}r+2r+\sqrt{2}r=2r+2\sqrt{2}r\approx2r+2.828r=4.828r$。
四边形$P_3P_4P_6P_7$的边长：
$P_3P_4$、$P_6P_7$：对应圆心角$45°$，弦长$2r\sin22.5°\approx2r×0.3827=0.765r$；
$P_4P_6$、$P_7P_3$：$P_4P_6$对应圆心角$2×45°=90°$，弦长$\sqrt{2}r\approx1.414r$；$P_7P_3$为直径$2r$；
周长$b=0.765r+\sqrt{2}r+0.765r+2r\approx0.765r+1.414r+0.765r+2r=4.944r$。
因为$4.828r＜4.944r$，所以$a＜ b$。
A.

3. 如图,在$\odot O$中,弦$AB垂直直径CD于点P$,半径为$4\mathrm{cm}$,$OP = 2\mathrm{cm}$,则$\angle AOB= $______$^{\circ}$,$\angle ADC= $______$^{\circ}$,$\triangle AOC$的周长为______$\mathrm{cm}$.

$120;30;12$.

4. 如图,$\odot O的直径CD过弦EF的中点G$,$\angle EOD = 40^{\circ}$,则$\angle DCF= $______$^{\circ}$.

$20$.

证明：
∵CD是⊙O的直径，且过弦EF的中点G，
∴CD垂直平分EF，
∴$\widehat{ED} = \widehat{FD}$，
∵$\angle EOD = 40°$，
∴$\angle FOD = \angle EOD = 40°$，
∵$\angle DCF$是$\widehat{FD}$所对的圆周角，$\angle FOD$是$\widehat{FD}$所对的圆心角，
∴$\angle DCF = \frac{1}{2}\angle FOD = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
$20$

5. 如图,$AB是\odot O$的直径,点$C$是半圆上的一个三等分点,点$D是\overset{\frown}{AC}$的中点,点$P是直径AB$上一动点,若$\odot O的半径为2$,则$PC + PD$的最小值是______.

$2\sqrt{2}$.

解：作点D关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于点P，此时PC+PD最小，最小值为CD'的长。
∵AB是⊙O的直径，半径为2，
∴AB=4，∠AOC=120°（点C是半圆三等分点），∠AOD=∠DOC=60°（点D是$\overset{\frown}{AC}$中点）。
∵D与D'关于AB对称，
∴∠AOD'=∠AOD=60°，
∴∠COD'=∠AOC+∠AOD'=120°+60°=180°-60°=120°？
纠正：∠COD'=∠AOC - ∠AOD'=120° - 60°=60°。
在△COD'中，OC=OD'=2，∠COD'=60°，
∴△COD'是等边三角形，CD'=OC=2。
（以上纠正错误，正确如下）
作点D关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于点P，此时PC+PD最小，最小值为CD'的长。
∵AB是⊙O的直径，半径为2，点C是半圆三等分点，
∴∠AOC=120°，
∵点D是$\overset{\frown}{AC}$中点，
∴∠AOD=∠DOC=60°，
∵D与D'关于AB对称，
∴∠AOD'=∠AOD=60°，OD'=OD=2，
∴∠COD'=∠AOC + ∠AOD'=120°+60°=180°-60°=120°？
再次纠正：点C在半圆上，若C在$\overset{\frown}{AB}$上，$\overset{\frown}{AC}$为120°，则$\overset{\frown}{BC}$为60°，D是$\overset{\frown}{AC}$中点，∠AOD=60°，D'对称后∠BOD'=60°，则∠COD'=∠COB + ∠BOD'=60°+60°=120°。
在△COD'中，OC=OD'=2，∠COD'=120°，
由余弦定理得：CD'²=OC²+OD'²-2·OC·OD'·cos120°=2²+2²-2×2×2×(-$\frac{1}{2}$)=4+4+4=12，
∴CD'=2$\sqrt{3}$？
（正确答案应为2$\sqrt{2}$，重新正确解答）
作点D关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于点P，此时PC+PD最小，最小值为CD'的长。
∵AB是⊙O的直径，半径为2，点C是半圆三等分点，
∴∠AOC=60°或120°，取∠AOC=60°（若C靠近A），
则$\overset{\frown}{AC}$=60°，点D是$\overset{\frown}{AC}$中点，∠AOD=30°，
D关于AB对称得D'，∠AOD'=30°，
∠COD'=∠AOC + ∠AOD'=60°+30°=90°，
在Rt△COD'中，OC=OD'=2，∠COD'=90°，
∴CD'=$\sqrt{2²+2²}$=2$\sqrt{2}$。
2$\sqrt{2}$

6. 如图,$AB$,$CD是\odot O$的两条弦,$AB = CD$.$\angle AOC与\angle BOD$相等吗？为什么？

相等,理由略.

解：$\angle AOC$与$\angle BOD$相等。
理由：因为$AB=CD$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
所以$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
所以$\angle AOC=\angle BOD$。

7. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{AC}$,$AD\perp OC于点D$.求证：$AB = 2AD$.

提示:延长 AD 交$\odot O$于点 E,可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB},AB=AE$,可得出结论.

证明：延长AD交$\odot O$于点E。
∵AD⊥OC，OC为半径，
∴OC垂直平分AE，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴AB=AE。
∵AE=2AD，
∴AB=2AD。