3 [2025深圳]如图，以矩形ABCD的顶点B为圆心，BC的长为半径作$\odot B$，交AB于点F，E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转$90°$至GE，点G落在$\odot B$上，且F为EG的中点，连接CG。若$AF=1$，$AE=3$，则CD的长为。（第3题）

3. 6 【解析】利用△EAF∽△CDE解题。

4 小王学习了相似图形后，进一步开展探究活动：将一个矩形 ABCD 绕点 A 按顺时针方向旋转$α(0°＜α≤90°)$，得到矩形$AB'C'D'$，连接 BD.
（1）如图①，当$α＝90°$时，点$C'$恰好在线段 DB 的延长线上.若$AB＝1$，求 BC 的长.
（2）如图②，连接$AC'$，过点$D'$作$D'M// AC'$，交 BD 于点 M.线段 DM 与$D'M$的长相等吗？请说明理由.
（3）如图③，在(2)的条件下，射线 DB 分别交$AD'$，$AC'$于点 P，N，小王发现线段 DN，MN，PN之间存在一定的数量关系，请写出这个表达式，并加以证明.

4.（1） 设BC=x。
∵ 将矩形ABCD绕点A按顺时针方向旋转90°，得到矩形AB'C'D'，
∴ 点A,B,D'在同一条直线上，AD'=AD=BC=x，D'C'=AB'=AB=1，∠BAD=∠D'=90°。
∴ D'B=AD'−AB=x−1，D'C'//DA。又
∵ 点C'在线段DB的延长线上，
∴ ∠D'C'B=∠ADB。
∴ △D'C'B∽△ADB。
∴ $\frac{D'C'}{AD}=\frac{D'B}{AB}$。
∴ $\frac{1}{x}=\frac{x−1}{1}$，解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1−\sqrt{5}}{2}$(不合题意，舍去)。经检验，$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是原分式方程的解，且符合题意。
∴ $BC=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
（2） DM = D'M 理由：连接DD'。
∵ D'M//AC'，
∴ ∠AD'M=∠D'AC'。由题意，易得AD'=DA，∠AD'C'=∠DAB = 90°，D'C' = AB，
∴ △AC'D'≌△DBA。
∴ ∠D'AC' = ∠ADB。
∴ ∠ADB = ∠AD'M。
∵ AD=AD'，
∴ ∠ADD'=∠AD'D。
∴ ∠ADD'−∠ADB = ∠AD'D−∠AD'M。
∴ ∠MDD'=∠MD'D。
∴ DM=D'M。
（3） $MN^2=PN·DN$ 连接AM。
∵ D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴ △AD'M≌△ADM。
∴ ∠MAD' = ∠MAD。
∵ ∠AMN = ∠MAD + ∠NDA，∠NAM = ∠MAD' + ∠NAP，
∴ ∠AMN=∠NAM。
∴ MN=AN。
∵ ∠ANP = ∠DNA，∠NAP = ∠NDA，
∴ △NAP∽△NDA。
∴ $\frac{PN}{AN}=\frac{AN}{DN}$。
∴ $AN^2=PN·DN$。
∴ $MN^2=PN·DN$