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1 在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E。
（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示。求证：$AE=BF$。
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示，则$∠ AFQ$的度数为
（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示。设$AB=2$，$BF=x$，$DG=y$，求$y$与$x$之间的函数表达式（不写$x$的取值范围）。
（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示。求证：$AE=BF$。
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示，则$∠ AFQ$的度数为
45°
。（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示。设$AB=2$，$BF=x$，$DG=y$，求$y$与$x$之间的函数表达式（不写$x$的取值范围）。
答案
1.（1）
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DA=AB，∠BAD=∠ABF=90°。
∴ ∠PAD + ∠BAF = 90°。
∵ DE ⊥ AF，
∴ ∠APD=90°。
∴ ∠PAD + ∠ADE = 90°。
∴ ∠ADE = ∠BAF。在△DAE 和△ABF 中，
∵ ∠ADE = ∠BAF，DA = AB，∠DAE=∠ABF，
∴ △DAE≌△ABF。
∴ AE=BF
（2） 45° 【解析】连接AQ,CQ。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BA=BC，∠ABC=90°，∠ABQ=∠CBQ=45°。又
∵ BQ=BQ，
∴ △ABQ≌△CBQ。
∴ QA=QC，∠BAQ=∠BCQ。根据题意，得EQ垂直平分线段AF，
∴ QA=QF。
∴ ∠FAQ=∠AFQ，QC=QF。
∴ ∠QCF=∠QFC。
∴ ∠QFC=∠BAQ。
∵ ∠QFC+∠BFQ=180°，
∴ ∠BAQ+∠BFQ=180°。
∵ 四边形ABFQ的内角和为360°，
∴ ∠AQF + ∠ABF = 180°。
∵ ∠ABF=90°，
∴ ∠AQF=90°。
∴ ∠AFQ = 1/2 ×(180°−90°)=45°
（3） 过点E作ET⊥CD于点T，则∠ETG=∠ETC=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠ABC=∠C=90°。
∴ 四边形BCTE是矩形，∠ABF=∠ETG。
∴ ET=BC=AB，BE=TC，∠BET=∠AET=90°。
∴ ∠AEP+∠TEG=90°。
∵ AF⊥EG，
∴ ∠APE=90°。
∴ ∠AEP+∠BAF=90°。
∴ ∠BAF=∠TEG。在△ABF 和△ETG 中，$\begin{cases}∠BAF=∠TEG,\\AB=ET,\\∠ABF=∠ETG,\end{cases}$
∴ △ABF≌△ETG。
∴ BF=TG=x。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=AB=CD=2，AD//BC，DG//BE。
∴ 易得△BPF∽△DPA，△BPE∽△DPG。
∴ $\frac{BP}{DP}=\frac{BF}{DA}$，$\frac{BE}{DG}=\frac{BP}{DP}$。
∴ $\frac{BE}{DG}=\frac{BF}{DA}$。
∴ $\frac{BE}{y}=\frac{x}{2}$。
∴ BE=TC=$\frac{1}{2}xy$。
∵ TG=CD−DG−TC，
∴ $x=2−y−\frac{1}{2}xy$。
∴ $y=\frac{4−2x}{x+2}$
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DA=AB，∠BAD=∠ABF=90°。
∴ ∠PAD + ∠BAF = 90°。
∵ DE ⊥ AF，
∴ ∠APD=90°。
∴ ∠PAD + ∠ADE = 90°。
∴ ∠ADE = ∠BAF。在△DAE 和△ABF 中，
∵ ∠ADE = ∠BAF，DA = AB，∠DAE=∠ABF，
∴ △DAE≌△ABF。
∴ AE=BF
（2） 45° 【解析】连接AQ,CQ。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BA=BC，∠ABC=90°，∠ABQ=∠CBQ=45°。又
∵ BQ=BQ，
∴ △ABQ≌△CBQ。
∴ QA=QC，∠BAQ=∠BCQ。根据题意，得EQ垂直平分线段AF，
∴ QA=QF。
∴ ∠FAQ=∠AFQ，QC=QF。
∴ ∠QCF=∠QFC。
∴ ∠QFC=∠BAQ。
∵ ∠QFC+∠BFQ=180°，
∴ ∠BAQ+∠BFQ=180°。
∵ 四边形ABFQ的内角和为360°，
∴ ∠AQF + ∠ABF = 180°。
∵ ∠ABF=90°，
∴ ∠AQF=90°。
∴ ∠AFQ = 1/2 ×(180°−90°)=45°
（3） 过点E作ET⊥CD于点T，则∠ETG=∠ETC=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠ABC=∠C=90°。
∴ 四边形BCTE是矩形，∠ABF=∠ETG。
∴ ET=BC=AB，BE=TC，∠BET=∠AET=90°。
∴ ∠AEP+∠TEG=90°。
∵ AF⊥EG，
∴ ∠APE=90°。
∴ ∠AEP+∠BAF=90°。
∴ ∠BAF=∠TEG。在△ABF 和△ETG 中，$\begin{cases}∠BAF=∠TEG,\\AB=ET,\\∠ABF=∠ETG,\end{cases}$
∴ △ABF≌△ETG。
∴ BF=TG=x。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=AB=CD=2，AD//BC，DG//BE。
∴ 易得△BPF∽△DPA，△BPE∽△DPG。
∴ $\frac{BP}{DP}=\frac{BF}{DA}$，$\frac{BE}{DG}=\frac{BP}{DP}$。
∴ $\frac{BE}{DG}=\frac{BF}{DA}$。
∴ $\frac{BE}{y}=\frac{x}{2}$。
∴ BE=TC=$\frac{1}{2}xy$。
∵ TG=CD−DG−TC，
∴ $x=2−y−\frac{1}{2}xy$。
∴ $y=\frac{4−2x}{x+2}$
2（1）如图①，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连接BG，EF与BG相交于点H。求证：$\frac{EF}{BG}=\frac{AB}{BC}$。
（2）如图②，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF。将纸片展平，连接EG，FH，FG。若$FG// CD$，求证：G恰好是对角线BD的一个黄金分割点。
（2）如图②，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF。将纸片展平，连接EG，FH，FG。若$FG// CD$，求证：G恰好是对角线BD的一个黄金分割点。
答案
2.（1） 过点E作EM⊥BC，垂足为M，则∠EMF=∠EMB=90°。
∴ 在△EMF中，∠FEM+∠BFH=90°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠ABC=∠C=90°。
∴ ∠EMF=∠C，四边形ABME是矩形。
∴ AB=EM。
∵ EF⊥BG，
∴ ∠BHF=90°。
∴ 在△BHF中，∠FBH + ∠BFH = 90°。
∴ ∠FBH = ∠FEM。
∴ △EMF∽△BCG。
∴ $\frac{EF}{BG}=\frac{EM}{BC}$。
∴ $\frac{EF}{BG}=\frac{AB}{BC}$
（2）
∵ FG//CD，
∴ ∠CDF=∠DFG，$\frac{CD}{FG}=\frac{BD}{BG}$。
∵ DF,BE为折痕，
∴ ∠CDF=∠BDF，AB=BG。
∴ ∠DFG=∠BDF。
∴ GD=FG。
∴ $\frac{CD}{GD}=\frac{BD}{BG}$。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB=CD。
∴ BG=CD。
∴ $\frac{BG}{GD}=\frac{BD}{BG}$。
∴ $BG^2=BD·GD$，即G恰好是对角线BD的一个黄金分割点
∴ 在△EMF中，∠FEM+∠BFH=90°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠ABC=∠C=90°。
∴ ∠EMF=∠C，四边形ABME是矩形。
∴ AB=EM。
∵ EF⊥BG，
∴ ∠BHF=90°。
∴ 在△BHF中，∠FBH + ∠BFH = 90°。
∴ ∠FBH = ∠FEM。
∴ △EMF∽△BCG。
∴ $\frac{EF}{BG}=\frac{EM}{BC}$。
∴ $\frac{EF}{BG}=\frac{AB}{BC}$
（2）
∵ FG//CD，
∴ ∠CDF=∠DFG，$\frac{CD}{FG}=\frac{BD}{BG}$。
∵ DF,BE为折痕，
∴ ∠CDF=∠BDF，AB=BG。
∴ ∠DFG=∠BDF。
∴ GD=FG。
∴ $\frac{CD}{GD}=\frac{BD}{BG}$。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB=CD。
∴ BG=CD。
∴ $\frac{BG}{GD}=\frac{BD}{BG}$。
∴ $BG^2=BD·GD$，即G恰好是对角线BD的一个黄金分割点
