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【例1】下列函数中，哪些是二次函数？
(1)$y=x^2 - 2$；
(2)$y=2x - 3$；
(3)$y=x^2 - \sqrt{2}x + 1$；
(4)$y=(x - 5)^2 - x^2$；
(5)$y=(x - 1)(x + 3)$。
解：
【规律方法】
判断函数是不是二次函数的“三步骤”
(1)看形式：看含自变量的代数式是不是整式。
(2)化简：将含自变量的代数式化简。
(3)判断：根据系数、次数要求判断是不是二次函数。
(1)$y=x^2 - 2$；
(2)$y=2x - 3$；
(3)$y=x^2 - \sqrt{2}x + 1$；
(4)$y=(x - 5)^2 - x^2$；
(5)$y=(x - 1)(x + 3)$。
解：
【规律方法】
判断函数是不是二次函数的“三步骤”
(1)看形式：看含自变量的代数式是不是整式。
(2)化简：将含自变量的代数式化简。
(3)判断：根据系数、次数要求判断是不是二次函数。
答案
(1)(3)(5)是二次函数。
1.下列 y 关于 x 的函数中,一定是二次函数的是（）
A.$y=x+9$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$y=2x^2$
D.$y=\frac{1}{x^2}+x^2$
A.$y=x+9$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$y=2x^2$
D.$y=\frac{1}{x^2}+x^2$
答案
C
解析
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，逐一分析选项：
选项A：$y=x+9$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数；
选项B：$y=ax^2+bx+c$未说明$a≠0$，当$a=0$时不是二次函数，因此不一定是二次函数；
选项C：$y=2x^2$符合二次函数的定义，是二次函数；
选项D：$y=\frac{1}{x^2}+x^2$中含有分式$\frac{1}{x^2}$，不是整式函数，不属于二次函数。
综上，一定是二次函数的是选项C。
选项A：$y=x+9$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数；
选项B：$y=ax^2+bx+c$未说明$a≠0$，当$a=0$时不是二次函数，因此不一定是二次函数；
选项C：$y=2x^2$符合二次函数的定义，是二次函数；
选项D：$y=\frac{1}{x^2}+x^2$中含有分式$\frac{1}{x^2}$，不是整式函数，不属于二次函数。
综上，一定是二次函数的是选项C。
【例2】把二次函数$y=(x-1)^2 -3(x-2)$化为一般形式，一次项系数为 （）
A.－2
B.3
C.－5
D.－7
【规律方法】
将二次函数化为一般形式的方法
将解析式利用完全平方公式或多项式乘法展开，注意括号前是负号时要将括号内每一项变号，再合并同类项，整理成$y=ax^2+bx+c$的形式，根据一般形式可直接得到二次项系数、一次项系数和常数项。
A.－2
B.3
C.－5
D.－7
【规律方法】
将二次函数化为一般形式的方法
将解析式利用完全平方公式或多项式乘法展开，注意括号前是负号时要将括号内每一项变号，再合并同类项，整理成$y=ax^2+bx+c$的形式，根据一般形式可直接得到二次项系数、一次项系数和常数项。
答案
2.把$y=(3x-2)(x+3)$化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为。
答案
【例3】已知$y=-(m+1)x^{m^2 - m} +5x$是关于x的二次函数，求m的值及函数解析式.
解:
解:
答案
m=2. $y=-3x^2+5x$.
