知识储备
式子 $a^2 + 2ab + b^2 =$ , $a^2 - 2ab + b^2 =$ ,两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的 。

$(a+b)^2$ $(a-b)^2$ 和(或差)的平方

【分析】
本题考查完全平方公式的基础识记，解题思路如下：首先回忆整式乘法中完全平方和、完全平方差的展开规则，反向推导即可得到前两个因式分解形式的结果，再结合公式的文字含义填写第三个空即可。完全平方公式的核心特征是“首平方，尾平方，积的2倍在中央”，对应特征就能快速匹配公式。
【解析】
1. 推导第一个空：由整式乘法运算可得$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$，因此逆推得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；
2. 推导第二个空：同理，$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$，逆推得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$；
3. 填写第三个空：结合上述两个公式的文字表述规律，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
【答案】
$(a+b)^2$；$(a-b)^2$；和(或差)的平方
【知识点】
完全平方公式；整式乘法；因式分解
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，重点要求学生熟记完全平方公式的代数形式和文字描述，该知识点是后续整式化简、因式分解、解方程等内容的重要基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

1.下列各式中,是完全平方式的是 （）

A.$x^2 - x + 4$
B.$x^2 - 2x + 4$
C.$x^2 - 4x + 4$
D.$x^2 - 4x + 2$

1. C

【分析】
要判断一个三项式是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，即包含两个同号的平方项，以及一个是这两个平方项底数乘积2倍的中间项，中间项符号可正可负。解题时我们先确定对应$a^2$和$b^2$的项，再验证中间项是否符合$\pm2ab$的要求，逐个排查选项即可。
【解析】
完全平方式的标准形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们对每个选项逐一分析：
A选项：$x^2 - x + 4$中，若$a=x$，$b^2=4$即$b=\pm2$，则中间项应满足$\pm2ab=\pm4x$，与$-x$不符，不是完全平方式；
B选项：$x^2 - 2x + 4$中，若$a=x$，$b=\pm2$，中间项应为$\pm4x$，与$-2x$不符，不是完全平方式；
C选项：$x^2 - 4x + 4$中，$a=x$，$b=2$，$\pm2ab=\pm4x$，中间项$-4x$符合要求，可变形为$(x-2)^2$，是完全平方式；
D选项：$x^2 - 4x + 2$中，常数项$2$不是某个有理数的平方，且若$b^2=2$，中间项应为$\pm2\sqrt{2}x$，与$-4x$不符，不是完全平方式。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的特征；完全平方公式
【点评】
本题重点考查对完全平方式结构的理解，记住“首平方，尾平方，积的两倍在中央”的口诀就能快速判断，属于基础题型，熟练掌握公式结构是解题的核心。
【难度系数】
0.9

2. 填空：
(1)若$x^2 -8x +a$是一个完全平方式，则$a=$；
(2)【T2(1)变式】若$x^2 +bx +9$是一个完全平方式，则$b=$。

2. (1) 16 (2) ±6

【分析】
解决这类问题的核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即完全平方式包含三部分：两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍。解题时先确定式子中对应“首平方”和“尾平方”的项，再根据中间项的关系求解未知参数，注意中间项符号有两种可能时不要漏解。
第(1)问：已知$x^2-8x+a$是完全平方式，首平方项为$x^2$，中间项是首尾乘积的2倍，先求出对应的“尾”的数值，$a$就是这个“尾”的平方。
第(2)问：已知$x^2+bx+9$是完全平方式，首平方项为$x^2$，尾平方项为$9=3^2$，中间项$bx$是首尾乘积的2倍，要考虑正负两种符号情况计算$b$的值。
【解析】
(1) 设完全平方式为$(x-m)^2$，展开得$x^2-2mx+m^2$，与$x^2-8x+a$对比可得：
$-2m=-8$，解得$m=4$，
因此$a=m^2=4^2=16$。
(2) 设完全平方式为$(x\pm n)^2$，展开得$x^2\pm2nx+n^2$，与$x^2+bx+9$对比可得：
$n^2=9$，解得$n=\pm3$，
因此$bx=\pm2× x×3=\pm6x$，即$b=\pm6$。
【答案】
(1) 16；(2) $\pm6$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题关键是准确识别完全平方式的结构，当中间项系数的符号未明确给出时，要同时考虑正负两种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7

3. 下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（）

A.$y^2 - x^2 + 2xy$
B.$y^2 + x^2 + xy$
C.$25y^2 + 15y + 9$
D.$4x^2 - 12x + 9$

3. D

【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式因式分解，首先需明确完全平方公式的结构特征：多项式共三项，其中两项为两个数（或整式）的平方且同号，第三项为这两个数（或整式）乘积的2倍（符号可正可负）。我们只需逐一验证各选项是否满足上述特征即可。
【解析】
完全平方公式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐个分析选项：
A选项：$y^2 - x^2 + 2xy$，两个平方项$y^2$和$-x^2$符号相反，不符合完全平方公式的结构要求，不能用完全平方公式因式分解；
B选项：$y^2 + x^2 + xy$，两个平方项$x^2$、$y^2$乘积的2倍为$2xy$，但该项中间项为$xy$，不满足2倍乘积的要求，不能用完全平方公式因式分解；
C选项：$25y^2 + 15y + 9$，两个平方项为$(5y)^2$、$3^2$，二者乘积的2倍为$2×5y×3=30y$，但该项中间项为$15y$，不符合要求，不能用完全平方公式因式分解；
D选项：$4x^2 - 12x + 9$，可变形为$(2x)^2 - 2×2x×3 + 3^2$，完全符合完全平方公式的结构，可分解为$(2x-3)^2$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 公式法因式分解
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构的识别，解题关键是牢记公式中平方项同号、中间项为两数乘积2倍的特征，其中中间项的2倍关系是常见的易错点。
【难度系数】
0.7

4. (1)(答题模板)完成下列填空.
分解因式:$4x^2 + 4xy + y^2$.
解:原式=$(\_\_\_\_\_\_)^2 + 2·\_\_\_\_\_\_·\_\_\_\_\_\_ + (\_\_\_\_\_\_)^2 = (\_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)【针对练习】分解因式:
①$1 + x + \frac{1}{4}x^2$;
②$(x - y)^2 - 4(x - y) + 4$;
③$4a^2 - 4a(b + c) + (b + c)^2$;
④$-x^2 - y^2 + 2xy$.

4. (1) 2x 2x y y 2x+y
①解:原式=$(\frac{1}{2}x+1)^2$.
②解:原式=$(x-y)^2-2×2(x-y)+2^2=(x-y-2)^2$；
③解:原式=$(2a-b-c)^2$
④解:原式=$-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$.

【分析】
本题考查利用完全平方公式进行因式分解，解题核心是熟记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先找到式子中对应$a^2$和$b^2$的项，再验证中间项是否为$\pm2ab$即可；对于含有多项式的项，可将该多项式看作一个整体套用公式；若首项系数为负，先提取负号再套用公式。
【解析】
(1) 观察原式，$4x^2=(2x)^2$，$y^2=y^2$，中间项$4xy=2·2x· y$，符合完全平方和公式，因此依次填入对应项即可。
(2) ① 观察式子，$1=1^2$，$\frac{1}{4}x^2=(\frac{1}{2}x)^2$，中间项$x=2·1·\frac{1}{2}x$，符合完全平方和公式，直接套用公式分解即可。
② 将$(x-y)$看作一个整体，原式可变形为$(x-y)^2 - 2×2·(x-y) + 2^2$，符合完全平方差公式，套用公式分解即可。
③ 将$(b+c)$看作一个整体，$4a^2=(2a)^2$，$(b+c)^2$为平方项，中间项$4a(b+c)=2·2a·(b+c)$，符合完全平方差公式，套用公式后去括号即可。
④ 先提取负号，将原式变形为$-(x^2 + y^2 - 2xy)$，括号内的式子符合完全平方差公式，套用公式分解即可。
【答案】
(1) $2x$；$2x$；$y$；$y$；$2x+y$
① $(\frac{1}{2}x+1)^2$
② $(x-y-2)^2$
③ $(2a-b-c)^2$
④ $-(x-y)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解 2. 整体思想 3. 提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的识别能力，解题时需注意灵活处理整体项和负号项，熟练掌握公式结构可快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 将多项式$4x^2+1$加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以从①$4x$；②$-4x$；③$4x^4$中选取（）

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

5. D

【分析】
解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，式子由三部分组成：两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍。我们需要把给定的多项式$4x^2+1$和公式的结构对应，分情况讨论需要补充的单项式：
1. 若把$4x^2$看作$a^2$、$1$看作$b^2$，则需要补充的是$\pm 2ab$项；
2. 若把$4x^2$看作$2ab$项、$1$看作$b^2$，则需要补充对应的$a^2$项，即可得到另一种完全平方式。
最后逐一验证给出的三个单项式是否符合要求即可。
【解析】
我们分别将三个单项式代入原式验证：
1. 加单项式①$4x$：
$4x^2+1+4x=(2x)^2 + 2×2x×1 + 1^2=(2x+1)^2$，是整式$2x+1$的完全平方式，符合要求；
2. 加单项式②$-4x$：
$4x^2+1-4x=(2x)^2 - 2×2x×1 + 1^2=(2x-1)^2$，是整式$2x-1$的完全平方式，符合要求；
3. 加单项式③$4x^4$：
$4x^2+1+4x^4=(2x^2)^2 + 2×2x^2×1 +1^2=(2x^2+1)^2$，是整式$2x^2+1$的完全平方式，符合要求。
因此①②③都符合要求，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式判定
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题时要注意分情况讨论，避免遗漏最高次项为平方项的情况，属于易错题，需要熟练掌握完全平方公式的结构特点。
【难度系数】
0.6

6.若$a-2b=-2$，则$a^2-4ab+4b^2$的值是。

6. 4

【分析】
解题时首先观察待求代数式的结构特征，发现$a^2-4ab+4b^2$符合完全平方差公式的展开形式，因此可以先利用因式分解将待求式转化为含有已知条件$a-2b$的表达式，再将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解a、b的值，简化运算过程。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$
已知$a-2b=-2$，将其代入上式得：
原式$=(-2)^2=4$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的思想，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过因式分解将待求式转化为已知条件的形式，进而快速求解。
【难度系数】
0.85

7.【数形结合思想】现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片(边长如图).

(1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为;
(2)乐乐要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块再取乙纸片4块,还需取丙纸片块.

7. (1) $a^2 + b^2$ (2) 4

【分析】
(1) 要计算甲、乙各1块的面积和，先根据正方形面积公式分别求出甲、乙的面积，再相加即可得到结果。
(2) 先计算已取的1块甲和4块乙的总面积，拼接成大正方形意味着总面积是完全平方式。已知丙是长为a、宽为b的长方形，面积为ab，将已有面积补成完全平方公式的展开形式，计算缺少的面积对应多少块丙的面积，就能得到需要丙纸片的数量。
【解析】
(1) 甲是边长为$a$的正方形，面积为$S_甲=a × a=a^2$；乙是边长为$b$的正方形，面积为$S_乙=b × b=b^2$。
各取1块的面积和为$S_甲+S_乙=a^2 + b^2$。
(2) 1块甲和4块乙的总面积为：$a^2 + 4 × b^2 = a^2 + 4b^2$。
单块丙是长为$a$、宽为$b$的长方形，面积为$S_丙=a × b=ab$。
根据完全平方和公式可得$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$，对比已有总面积，还差的面积为$4ab$。
因此需要丙纸片的数量为$4ab ÷ ab=4$块。
【答案】
(1) $a^2 + b^2$；(2) 4
【知识点】
1. 正方形与长方形面积计算
2. 完全平方公式
【点评】
本题结合图形拼接的场景考查数形结合思想，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能结合面积的和差关系推导结果，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7

8. 已知 $ x - 1 = \sqrt{3} $，求式子 $ (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 $ 的值；

8. 解:原式=$(x+1-2)^2=(x-1)^2$.当$x-1=\sqrt{3}$时,原式=$(x-1)^2=(\sqrt{3})^2=3$.

【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现其符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，因此可以先利用完全平方公式对代数式进行因式分解化简，不需要先求出$x$的具体值，化简后得到的式子刚好和已知条件$x-1=\sqrt{3}$直接关联，再用整体代入法代入计算即可，既能简化计算步骤，也能降低计算出错的概率。
【解析】
解：先对原式因式分解，将$(x+1)$看作整体，根据完全平方公式可得：
原式$=(x+1-2)^2=(x-1)^2$
已知$x-1=\sqrt{3}$，将其整体代入化简后的式子：
原式$=(x-1)^2=(\sqrt{3})^2=3$
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
完全平方公式因式分解；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题重点考查代数式的化简求值，解题时优先观察代数式的结构特征，通过因式分解先化简再代入求值，比直接求解$x$后代入计算更简便，是代数式求值类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.8