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1.二次函数$y=ax^2+bx+c$与一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的关系：
答案
1. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确二次函数与对应一元二次方程的核心联系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根，我们可根据交点个数直接对应推导根的情况：
1. 当图象与x轴有2个交点时，说明存在2个不同的x值使得函数值$y=0$，对应方程就有2个不同的实根；
2. 当图象与x轴有1个交点时，说明两个交点重合，仅存在1个x值使得函数值$y=0$，对应方程的两个实根相等；
3. 当图象与x轴有0个交点时，说明不存在x值使得函数值$y=0$，对应方程没有实数根。
【解析】
根据二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程实根的对应关系分析：
1. 若二次函数图象与$x$轴有2个交点，代表有2个不同的$x$取值满足$ax^2+bx+c=0$，因此方程有两个不相等的实数根；
2. 若二次函数图象与$x$轴有1个交点，代表仅有1个$x$取值满足$ax^2+bx+c=0$，因此方程有两个相等的实数根；
3. 若二次函数图象与$x$轴有0个交点，代表没有$x$取值满足$ax^2+bx+c=0$，因此方程无实数根。
【答案】
两个不相等的实数根；两个相等的实数根；无实数根
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判定；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程关联的基础题型，核心考查二者的转化关系，熟练掌握图象交点与方程根的对应规律，是后续解决二次函数相关的方程、不等式综合问题的基础。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先要明确二次函数与对应一元二次方程的核心联系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根，我们可根据交点个数直接对应推导根的情况：
1. 当图象与x轴有2个交点时，说明存在2个不同的x值使得函数值$y=0$，对应方程就有2个不同的实根；
2. 当图象与x轴有1个交点时，说明两个交点重合，仅存在1个x值使得函数值$y=0$，对应方程的两个实根相等；
3. 当图象与x轴有0个交点时，说明不存在x值使得函数值$y=0$，对应方程没有实数根。
【解析】
根据二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程实根的对应关系分析：
1. 若二次函数图象与$x$轴有2个交点，代表有2个不同的$x$取值满足$ax^2+bx+c=0$，因此方程有两个不相等的实数根；
2. 若二次函数图象与$x$轴有1个交点，代表仅有1个$x$取值满足$ax^2+bx+c=0$，因此方程有两个相等的实数根；
3. 若二次函数图象与$x$轴有0个交点，代表没有$x$取值满足$ax^2+bx+c=0$，因此方程无实数根。
【答案】
两个不相等的实数根；两个相等的实数根；无实数根
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判定；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程关联的基础题型，核心考查二者的转化关系，熟练掌握图象交点与方程根的对应规律，是后续解决二次函数相关的方程、不等式综合问题的基础。
【难度系数】
0.9
2.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有交点时，交点的
横坐标
就是当$y=0$时自变量$x$的值，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根
。答案
2. 横坐标 根
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上任意一点的纵坐标都为0，因此二次函数图象与x轴交点的纵坐标y=0，此时对应的自变量x的值就是该交点的横坐标；第二步，联系二次函数与一元二次方程的对应关系，当y=0时，二次函数解析式转化为一元二次方程ax²+bx+c=0，此时满足方程的x的值就是该一元二次方程的根。
【解析】
首先，平面直角坐标系中x轴上的点纵坐标恒为0，因此二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的纵坐标为0，对应的自变量x的值就是交点的横坐标；
其次，当y=0时，二次函数的解析式可变形为一元二次方程ax²+bx+c=0，此时求得的x的值就是该一元二次方程的根。
【答案】
横坐标 根
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察二次函数与对应一元二次方程之间的关联，只要熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步思考：第一步，先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上任意一点的纵坐标都为0，因此二次函数图象与x轴交点的纵坐标y=0，此时对应的自变量x的值就是该交点的横坐标；第二步，联系二次函数与一元二次方程的对应关系，当y=0时，二次函数解析式转化为一元二次方程ax²+bx+c=0，此时满足方程的x的值就是该一元二次方程的根。
【解析】
首先，平面直角坐标系中x轴上的点纵坐标恒为0，因此二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的纵坐标为0，对应的自变量x的值就是交点的横坐标；
其次，当y=0时，二次函数的解析式可变形为一元二次方程ax²+bx+c=0，此时求得的x的值就是该一元二次方程的根。
【答案】
横坐标 根
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察二次函数与对应一元二次方程之间的关联，只要熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1.抛物线$y=-3x^2 -x +4$与坐标轴的交点个数是（
A.3
B.2
C.1
D.0
A
）。A.3
B.2
C.1
D.0
答案
A
解析
【分析】
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与x轴、y轴的交点数量再求和：① 求与y轴交点：令x=0，代入解析式计算y值，即可得到对应交点；② 求与x轴交点：令y=0，得到一元二次方程，通过判别式Δ=b²-4ac的符号判断方程实根的个数，实根个数就是抛物线与x轴的交点个数；最后将两类交点个数相加即可得到总个数。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入抛物线解析式$y=-3x^2 -x +4$，得$y=4$，因此抛物线与y轴有1个交点$(0,4)$。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，可得一元二次方程：$-3x^2 -x +4=0$，整理得$3x^2 +x -4=0$。
其中$a=3$，$b=1$，$c=-4$，计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = 1^2 -4×3×(-4) = 1 + 48 = 49 ＞ 0$
因此该一元二次方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
3. 总交点个数：$1+2=3$个。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握二次函数与坐标轴交点的求解规则：与y轴相交时横坐标为0，与x轴相交时纵坐标为0，解题时注意不要漏算与y轴的交点，同时计算判别式时要注意系数的符号，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与x轴、y轴的交点数量再求和：① 求与y轴交点：令x=0，代入解析式计算y值，即可得到对应交点；② 求与x轴交点：令y=0，得到一元二次方程，通过判别式Δ=b²-4ac的符号判断方程实根的个数，实根个数就是抛物线与x轴的交点个数；最后将两类交点个数相加即可得到总个数。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入抛物线解析式$y=-3x^2 -x +4$，得$y=4$，因此抛物线与y轴有1个交点$(0,4)$。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，可得一元二次方程：$-3x^2 -x +4=0$，整理得$3x^2 +x -4=0$。
其中$a=3$，$b=1$，$c=-4$，计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = 1^2 -4×3×(-4) = 1 + 48 = 49 ＞ 0$
因此该一元二次方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
3. 总交点个数：$1+2=3$个。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握二次函数与坐标轴交点的求解规则：与y轴相交时横坐标为0，与x轴相交时纵坐标为0，解题时注意不要漏算与y轴的交点，同时计算判别式时要注意系数的符号，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
2.已知二次函数$y=x^2 -3x +m$（$m$为常数）的图象与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，则关于$x$的一元二次方程$x^2 -3x +m=0$的两实数根是（
A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=1,x_2=3$
B
）。A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=1,x_2=3$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可从两个方向入手：① 先利用二次函数图象过已知点的性质，代入点坐标求出参数m的值，再解对应的一元二次方程得到两个实根；② 利用二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系（两根之和等于-b/a），已知一个根可直接求出另一个根，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2 -3x +m$的图象过点$(1,0)$
∴ 将$x=1,y=0$代入解析式得：$1^2 -3×1 +m=0$
解得$m=2$
∴ 一元二次方程为$x^2 -3x +2=0$
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1,x_2=2$
方法二：
∵ 二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实根，已知一个根为$x_1=1$，设另一个根为$x_2$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{3}{1}=3$
∴ $x_2=3 - x_1=3-1=2$
即两实数根为$x_1=1,x_2=2$
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点的意义
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，两种解题方法中，根与系数的关系法计算量更小，解题速度更快，建议熟练掌握该技巧。
【难度系数】
0.8
解题思路可从两个方向入手：① 先利用二次函数图象过已知点的性质，代入点坐标求出参数m的值，再解对应的一元二次方程得到两个实根；② 利用二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系（两根之和等于-b/a），已知一个根可直接求出另一个根，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2 -3x +m$的图象过点$(1,0)$
∴ 将$x=1,y=0$代入解析式得：$1^2 -3×1 +m=0$
解得$m=2$
∴ 一元二次方程为$x^2 -3x +2=0$
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1,x_2=2$
方法二：
∵ 二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实根，已知一个根为$x_1=1$，设另一个根为$x_2$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{3}{1}=3$
∴ $x_2=3 - x_1=3-1=2$
即两实数根为$x_1=1,x_2=2$
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点的意义
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，两种解题方法中，根与系数的关系法计算量更小，解题速度更快，建议熟练掌握该技巧。
【难度系数】
0.8
3. 下列哪一个函数的图象与x轴有两个交点？（
A.$y=17(x+83)^2 + 2274$
B.$y=17(x-83)^2 + 2274$
C.$y=-17(x-83)^2 - 2274$
D.$y=-17(x+83)^2 + 2274$
D
）A.$y=17(x+83)^2 + 2274$
B.$y=17(x-83)^2 + 2274$
C.$y=-17(x-83)^2 - 2274$
D.$y=-17(x+83)^2 + 2274$
答案
D
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可结合二次函数顶点式的性质分析：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$。若函数图象与x轴有两个交点：当$a＞0$（开口向上）时，顶点需在x轴下方，即$k＜0$；当$a＜0$（开口向下）时，顶点需在x轴上方，即$k＞0$，据此逐一分析选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. $y=17(x+83)^2 + 2274$中，$a=17＞0$，开口向上，顶点纵坐标$k=2274＞0$，函数最小值为2274，图象均在x轴上方，与x轴无交点，不符合要求；
B. $y=17(x-83)^2 + 2274$中，$a=17＞0$，开口向上，顶点纵坐标$k=2274＞0$，函数最小值为2274，图象均在x轴上方，与x轴无交点，不符合要求；
C. $y=-17(x-83)^2 - 2274$中，$a=-17＜0$，开口向下，顶点纵坐标$k=-2274＜0$，函数最大值为-2274，图象均在x轴下方，与x轴无交点，不符合要求；
D. $y=-17(x+83)^2 + 2274$中，$a=-17＜0$，开口向下，顶点纵坐标$k=2274＞0$，函数最大值为2274＞0，图象会向下延伸与x轴交于两个点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质 2. 二次函数与x轴交点的判定
【点评】
本题是二次函数交点判断的基础题型，既可以通过顶点位置结合开口方向快速判断，也可通过令y=0，判断对应一元二次方程根的个数求解，解题时选择更简便的方法即可。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可结合二次函数顶点式的性质分析：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$。若函数图象与x轴有两个交点：当$a＞0$（开口向上）时，顶点需在x轴下方，即$k＜0$；当$a＜0$（开口向下）时，顶点需在x轴上方，即$k＞0$，据此逐一分析选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. $y=17(x+83)^2 + 2274$中，$a=17＞0$，开口向上，顶点纵坐标$k=2274＞0$，函数最小值为2274，图象均在x轴上方，与x轴无交点，不符合要求；
B. $y=17(x-83)^2 + 2274$中，$a=17＞0$，开口向上，顶点纵坐标$k=2274＞0$，函数最小值为2274，图象均在x轴上方，与x轴无交点，不符合要求；
C. $y=-17(x-83)^2 - 2274$中，$a=-17＜0$，开口向下，顶点纵坐标$k=-2274＜0$，函数最大值为-2274，图象均在x轴下方，与x轴无交点，不符合要求；
D. $y=-17(x+83)^2 + 2274$中，$a=-17＜0$，开口向下，顶点纵坐标$k=2274＞0$，函数最大值为2274＞0，图象会向下延伸与x轴交于两个点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质 2. 二次函数与x轴交点的判定
【点评】
本题是二次函数交点判断的基础题型，既可以通过顶点位置结合开口方向快速判断，也可通过令y=0，判断对应一元二次方程根的个数求解，解题时选择更简便的方法即可。
【难度系数】
0.8
4.若抛物线$y=x^2+x+c$与$x$轴只有一个公共点，则$c$的值为（
A.$-\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$
B
）。A.$-\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系：当抛物线与x轴只有1个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。接下来确定二次函数各项系数，代入判别式公式列方程，求解即可得到c的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+x+c$与$x$轴只有一个公共点
∴ 一元二次方程$x^2+x+c=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$
在二次函数$y=x^2+x+c$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项为$c$，代入得：
$1^2 - 4×1× c = 0$
化简得：$1 - 4c = 0$
解得：$c = \dfrac{1}{4}$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，牢记Δ＞0有2个交点、Δ=0有1个交点、Δ＜0无交点的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系：当抛物线与x轴只有1个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。接下来确定二次函数各项系数，代入判别式公式列方程，求解即可得到c的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+x+c$与$x$轴只有一个公共点
∴ 一元二次方程$x^2+x+c=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$
在二次函数$y=x^2+x+c$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项为$c$，代入得：
$1^2 - 4×1× c = 0$
化简得：$1 - 4c = 0$
解得：$c = \dfrac{1}{4}$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，牢记Δ＞0有2个交点、Δ=0有1个交点、Δ＜0无交点的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.关于$x$的函数$y=x^2+ax+b$的图象如图，则关于$x$的方程$x^2+ax+b=0$的解是(
A.无解
B.$x=1$
C.$x=-4$
D.$x_1=-1,x_2=4$
D
)。A.无解
B.$x=1$
C.$x=-4$
D.$x_1=-1,x_2=4$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系：一元二次方程$x^2+ax+b=0$的解，就是对应的二次函数$y=x^2+ax+b$的图象与$x$轴交点的横坐标。我们只需要从图中读取抛物线与$x$轴交点的横坐标，就能得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：当二次函数$y=x^2+ax+b$的函数值为0时，对应的$x$的值就是方程$x^2+ax+b=0$的解，即抛物线与$x$轴交点的横坐标为方程的根。
观察函数图象可知，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(4,0)$，因此方程$x^2+ax+b=0$的解为$x_1=-1,x_2=4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的图象
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数图象与对应一元二次方程的转化关系，掌握“函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的根”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系：一元二次方程$x^2+ax+b=0$的解，就是对应的二次函数$y=x^2+ax+b$的图象与$x$轴交点的横坐标。我们只需要从图中读取抛物线与$x$轴交点的横坐标，就能得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：当二次函数$y=x^2+ax+b$的函数值为0时，对应的$x$的值就是方程$x^2+ax+b=0$的解，即抛物线与$x$轴交点的横坐标为方程的根。
观察函数图象可知，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(4,0)$，因此方程$x^2+ax+b=0$的解为$x_1=-1,x_2=4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的图象
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数图象与对应一元二次方程的转化关系，掌握“函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的根”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.已知二次函数$y=-x^2 + 2x + m$的部分图象如图所示，则$m=$
3
。答案
3
解析
【分析】
解题时首先观察函数图象，可得到二次函数图象与x轴的交点为(3,0)，根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将该点坐标代入二次函数表达式，即可得到只含未知数m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
由图象可知，二次函数$y=-x^2 + 2x + m$的图象经过点$(3,0)$，将$x=3$，$y=0$代入解析式得：
$\begin{aligned}-3^2 + 2×3 + m &= 0 \\-9 + 6 + m &= 0 \\m &= 3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是从函数图象中获取交点坐标，再代入解析式列方程求解即可，重点考查学生读图获取信息的能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察函数图象，可得到二次函数图象与x轴的交点为(3,0)，根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将该点坐标代入二次函数表达式，即可得到只含未知数m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
由图象可知，二次函数$y=-x^2 + 2x + m$的图象经过点$(3,0)$，将$x=3$，$y=0$代入解析式得：
$\begin{aligned}-3^2 + 2×3 + m &= 0 \\-9 + 6 + m &= 0 \\m &= 3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是从函数图象中获取交点坐标，再代入解析式列方程求解即可，重点考查学生读图获取信息的能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
7.将抛物线$y=(x+1)^2 -2$向上平移a个单位长度后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为
2
。答案
2
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步，根据抛物线平移“上加下减”的规律，写出向上平移a个单位后的新抛物线解析式；第二步，抛物线与x轴只有一个交点，说明新抛物线对应的一元二次方程有两个相等的实数根（或顶点在x轴上，顶点纵坐标为0），据此列方程求解即可得到a的值。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线为$y=(x+1)^2 -2$，向上平移a个单位后，根据“上加下减”的平移规律，新抛物线解析式为$y=(x+1)^2 -2 + a$。
2. 根据交点特征列方程求解：
抛物线与x轴只有一个交点，说明抛物线顶点在x轴上，顶点纵坐标为0。平移后抛物线的顶点坐标为$(-1, -2+a)$，因此列方程：
$-2 + a = 0$
解得$a=2$。
（验证方法：令$y=0$，得方程$(x+1)^2 -2 +a=0$，整理为$x^2+2x+a-1=0$，由方程有两个相等实根得$\Delta=2^2-4×1×(a-1)=0$，解得$a=2$，结果一致。）
【答案】
2
【知识点】
抛物线平移规律；二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数基础常考题，结合了图象平移性质和函数与方程的关联，解题核心是掌握平移规则和抛物线与x轴只有一个交点的等价条件，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题分两步思考：第一步，根据抛物线平移“上加下减”的规律，写出向上平移a个单位后的新抛物线解析式；第二步，抛物线与x轴只有一个交点，说明新抛物线对应的一元二次方程有两个相等的实数根（或顶点在x轴上，顶点纵坐标为0），据此列方程求解即可得到a的值。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线为$y=(x+1)^2 -2$，向上平移a个单位后，根据“上加下减”的平移规律，新抛物线解析式为$y=(x+1)^2 -2 + a$。
2. 根据交点特征列方程求解：
抛物线与x轴只有一个交点，说明抛物线顶点在x轴上，顶点纵坐标为0。平移后抛物线的顶点坐标为$(-1, -2+a)$，因此列方程：
$-2 + a = 0$
解得$a=2$。
（验证方法：令$y=0$，得方程$(x+1)^2 -2 +a=0$，整理为$x^2+2x+a-1=0$，由方程有两个相等实根得$\Delta=2^2-4×1×(a-1)=0$，解得$a=2$，结果一致。）
【答案】
2
【知识点】
抛物线平移规律；二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数基础常考题，结合了图象平移性质和函数与方程的关联，解题核心是掌握平移规则和抛物线与x轴只有一个交点的等价条件，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
8.已知二次函数$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$的图象经过$A(0,3),B(-4,-\dfrac{9}{2})$两点。
(1)求$b,c$的值。
(2)二次函数$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$的图象与$x$轴是否有交点？若有，求出交点的坐标；若没有，请说明理由。
(1)求$b,c$的值。
(2)二次函数$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$的图象与$x$轴是否有交点？若有，求出交点的坐标；若没有，请说明理由。
答案
8.解:(1)把$(0,3),(-4,-\dfrac{9}{2})$的坐标分别代入$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}c=3,\\-\dfrac{3}{16}×16-4b+c=-\dfrac{9}{2},\end{cases} 解得\begin{cases}b=\dfrac{9}{8},\\c=3。\end{cases}$
(2)有。由(1)可得该二次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$。
令$y=0$,得$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$,
$\Delta=(\dfrac{9}{8})^2-4×(-\dfrac{3}{16})×3=\dfrac{225}{64}＞0$,
$\therefore$二次函数$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$的图象与$x$轴有交点。
$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$的解为$x_1=-2,x_2=8$。
$\therefore$交点的坐标是$(-2,0)$和$(8,0)$。
$\begin{cases}c=3,\\-\dfrac{3}{16}×16-4b+c=-\dfrac{9}{2},\end{cases} 解得\begin{cases}b=\dfrac{9}{8},\\c=3。\end{cases}$
(2)有。由(1)可得该二次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$。
令$y=0$,得$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$,
$\Delta=(\dfrac{9}{8})^2-4×(-\dfrac{3}{16})×3=\dfrac{225}{64}＞0$,
$\therefore$二次函数$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$的图象与$x$轴有交点。
$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$的解为$x_1=-2,x_2=8$。
$\therefore$交点的坐标是$(-2,0)$和$(8,0)$。
解析
【分析】
(1) 要求b、c的值，已知二次函数图象经过两个坐标已知的点，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的原理，采用待定系数法，将两点坐标分别代入二次函数表达式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组就能求出b、c的值。
(2) 判断二次函数图象与x轴是否有交点，可转化为判断y=0时对应的一元二次方程是否有实数根：通过计算根的判别式Δ的符号判断，Δ＞0时有两个交点，Δ=0时有一个交点，Δ＜0时没有交点。若有交点，解该一元二次方程得到的根就是交点的横坐标，纵坐标为0，即可写出交点坐标。
【解析】
(1) 将$A(0,3)$、$B(-4,-\dfrac{9}{2})$分别代入$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=3,\\-\dfrac{3}{16}× (-4)^2 -4b +c=-\dfrac{9}{2},\end{cases}$
化简第二个方程得$-3-4b+3=-\dfrac{9}{2}$，整理得$-4b=-\dfrac{9}{2}$，解得$b=\dfrac{9}{8}$。
即$\begin{cases}b=\dfrac{9}{8},\\c=3。\end{cases}$
(2) 二次函数图象与x轴有交点，求解过程如下：
由(1)得二次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$。
令$y=0$，得方程$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$。
计算根的判别式：$\Delta=(\dfrac{9}{8})^2-4×(-\dfrac{3}{16})×3=\dfrac{81}{64}+\dfrac{144}{64}=\dfrac{225}{64}＞0$，因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，即二次函数图象与x轴有两个交点。
解方程$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$，两边同乘16消去分母得$-3x^2+18x+48=0$，化简得$x^2-6x-16=0$，因式分解得$(x+2)(x-8)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=8$。
因此交点坐标为$(-2,0)$和$(8,0)$。
【答案】
(1) $b=\dfrac{9}{8}$，$c=3$；
(2) 有交点，交点坐标为$(-2,0)$和$(8,0)$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数与x轴交点的判定
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础考点题，重点考查函数图象与解析式的对应关系，以及二次函数和一元二次方程的内在联系，掌握待定系数法、根的判别式的意义及一元二次方程的求解方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要求b、c的值，已知二次函数图象经过两个坐标已知的点，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的原理，采用待定系数法，将两点坐标分别代入二次函数表达式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组就能求出b、c的值。
(2) 判断二次函数图象与x轴是否有交点，可转化为判断y=0时对应的一元二次方程是否有实数根：通过计算根的判别式Δ的符号判断，Δ＞0时有两个交点，Δ=0时有一个交点，Δ＜0时没有交点。若有交点，解该一元二次方程得到的根就是交点的横坐标，纵坐标为0，即可写出交点坐标。
【解析】
(1) 将$A(0,3)$、$B(-4,-\dfrac{9}{2})$分别代入$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=3,\\-\dfrac{3}{16}× (-4)^2 -4b +c=-\dfrac{9}{2},\end{cases}$
化简第二个方程得$-3-4b+3=-\dfrac{9}{2}$，整理得$-4b=-\dfrac{9}{2}$，解得$b=\dfrac{9}{8}$。
即$\begin{cases}b=\dfrac{9}{8},\\c=3。\end{cases}$
(2) 二次函数图象与x轴有交点，求解过程如下：
由(1)得二次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$。
令$y=0$，得方程$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$。
计算根的判别式：$\Delta=(\dfrac{9}{8})^2-4×(-\dfrac{3}{16})×3=\dfrac{81}{64}+\dfrac{144}{64}=\dfrac{225}{64}＞0$，因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，即二次函数图象与x轴有两个交点。
解方程$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$，两边同乘16消去分母得$-3x^2+18x+48=0$，化简得$x^2-6x-16=0$，因式分解得$(x+2)(x-8)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=8$。
因此交点坐标为$(-2,0)$和$(8,0)$。
【答案】
(1) $b=\dfrac{9}{8}$，$c=3$；
(2) 有交点，交点坐标为$(-2,0)$和$(8,0)$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数与x轴交点的判定
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础考点题，重点考查函数图象与解析式的对应关系，以及二次函数和一元二次方程的内在联系，掌握待定系数法、根的判别式的意义及一元二次方程的求解方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
