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1. 等式$\frac{a}{a+1}=\frac{a(b+1)}{(a+1)(b+1)}$成立的条件是(
A.$a≠0$,且$b≠0$
B.$a≠1$,且$b≠1$
C.$a≠-1$,且$b≠-1$
D.$a,b$为任意数
C
).A.$a≠0$,且$b≠0$
B.$a≠1$,且$b≠1$
C.$a≠-1$,且$b≠-1$
D.$a,b$为任意数
答案
1. C
解析
【分析】
拿到这道题我们首先要联想到分式的基本性质的应用要求：第一，分式本身要有意义，即原分式的分母不能为0；第二，给分式的分子分母同乘一个整式时，这个整式不能为0，否则不符合分式基本性质的使用前提。接下来我们对应题干找相关的分母和乘的整式：原等式左边的分母是a+1，分子分母同乘的整式是b+1，所以只需要让这两个式子都不为0，解出a、b的取值范围即可匹配选项。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，要使等式成立需满足两个条件：
1. 原分式有意义：$a+1≠0$，解得$a≠-1$；
2. 同乘的整式不为0：$b+1≠0$，解得$b≠-1$。
因此等式成立的条件是$a≠-1$且$b≠-1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的基础考查题，易错点是容易仅考虑原分式分母不为0，遗漏分子分母同乘的整式也不能为0的限制条件，做题时要全面梳理所有限制要求。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们首先要联想到分式的基本性质的应用要求：第一，分式本身要有意义，即原分式的分母不能为0；第二，给分式的分子分母同乘一个整式时，这个整式不能为0，否则不符合分式基本性质的使用前提。接下来我们对应题干找相关的分母和乘的整式：原等式左边的分母是a+1，分子分母同乘的整式是b+1，所以只需要让这两个式子都不为0，解出a、b的取值范围即可匹配选项。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，要使等式成立需满足两个条件：
1. 原分式有意义：$a+1≠0$，解得$a≠-1$；
2. 同乘的整式不为0：$b+1≠0$，解得$b≠-1$。
因此等式成立的条件是$a≠-1$且$b≠-1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的基础考查题，易错点是容易仅考虑原分式分母不为0，遗漏分子分母同乘的整式也不能为0的限制条件，做题时要全面梳理所有限制要求。
【难度系数】
0.7
2. 把分式$\frac{x+y}{x}$中的$x$，$y$的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（
A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.缩小为原来的一半
A
）.A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.缩小为原来的一半
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：第一步，明确题目要求是将x、y同时扩大为原来的2倍，即把原分式中的x替换为2x、y替换为2y；第二步，将替换后的式子代入原分式，利用分式的基本性质对新分式进行约分化简；第三步，把化简后的结果和原分式对比，判断分式值的变化情况。
【解析】
将x、y同时扩大为原来的2倍，即把原分式中的x换为2x，y换为2y，代入得：
新分式为$\frac{2x+2y}{2x}$
对分子提取公因式2，可得：$\frac{2(x+y)}{2x}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，约分后得：$\frac{x+y}{x}$
和原分式完全相同，因此分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题属于基础型题目，核心是掌握分式的基本性质，做题时只需按照要求替换变量后化简对比即可，是对分式性质基础应用的考察。
【难度系数】
0.9
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：第一步，明确题目要求是将x、y同时扩大为原来的2倍，即把原分式中的x替换为2x、y替换为2y；第二步，将替换后的式子代入原分式，利用分式的基本性质对新分式进行约分化简；第三步，把化简后的结果和原分式对比，判断分式值的变化情况。
【解析】
将x、y同时扩大为原来的2倍，即把原分式中的x换为2x，y换为2y，代入得：
新分式为$\frac{2x+2y}{2x}$
对分子提取公因式2，可得：$\frac{2(x+y)}{2x}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，约分后得：$\frac{x+y}{x}$
和原分式完全相同，因此分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题属于基础型题目，核心是掌握分式的基本性质，做题时只需按照要求替换变量后化简对比即可，是对分式性质基础应用的考察。
【难度系数】
0.9
3. 下列分式从左到右的变形中，一定成立的是(
B
). 答案
3. B
解析
【分析】
这道题考查分式基本性质的应用，解题思路为先明确分式基本性质的核心要求：1. 仅支持分子分母同乘或同除以同一个整式，加减运算不适用；2. 乘除的整式不能为0，否则分式无意义。接下来对照两个要求逐一判断选项即可。
【解析】
根据分式基本性质逐一分析选项：
选项A：变形为分子、分母同时加m，分式基本性质仅适用于同乘/同除不为0的整式，加减运算不满足该性质，举例验证：取a=1，b=2，m=1，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，两边不相等，故A错误。
选项B：$\frac{am}{bm}$中bm是分母，因此隐含条件$m≠0$、$b≠0$，分子分母同时除以不为0的m，可得$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$，符合分式基本性质，一定成立，故B正确。
选项C：从$\frac{a}{b}$变形为$\frac{am}{bm}$时，未说明$m≠0$，若$m=0$，分母$bm=0$，分式无意义，因此变形不一定成立，故C错误。
选项D：变形为分子、分母同时减m，不符合分式基本性质的运算要求，举例验证：取a=2，b=3，m=1，左边$\frac{2}{3}$，右边$\frac{2-1}{3-1}=\frac{1}{2}$，两边不相等，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点为忽略“乘除的整式不为0”的前提，或者误将加减运算当作符合性质的变形，牢记性质的两个核心限制条件就能快速判断。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式基本性质的应用，解题思路为先明确分式基本性质的核心要求：1. 仅支持分子分母同乘或同除以同一个整式，加减运算不适用；2. 乘除的整式不能为0，否则分式无意义。接下来对照两个要求逐一判断选项即可。
【解析】
根据分式基本性质逐一分析选项：
选项A：变形为分子、分母同时加m，分式基本性质仅适用于同乘/同除不为0的整式，加减运算不满足该性质，举例验证：取a=1，b=2，m=1，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，两边不相等，故A错误。
选项B：$\frac{am}{bm}$中bm是分母，因此隐含条件$m≠0$、$b≠0$，分子分母同时除以不为0的m，可得$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$，符合分式基本性质，一定成立，故B正确。
选项C：从$\frac{a}{b}$变形为$\frac{am}{bm}$时，未说明$m≠0$，若$m=0$，分母$bm=0$，分式无意义，因此变形不一定成立，故C错误。
选项D：变形为分子、分母同时减m，不符合分式基本性质的运算要求，举例验证：取a=2，b=3，m=1，左边$\frac{2}{3}$，右边$\frac{2-1}{3-1}=\frac{1}{2}$，两边不相等，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点为忽略“乘除的整式不为0”的前提，或者误将加减运算当作符合性质的变形，牢记性质的两个核心限制条件就能快速判断。
【难度系数】
0.8
4. 填空：
(1)$\frac{3x^2 y}{5xy^2} = \frac{(\quad)}{5y}$；(2)$\frac{y}{3x} = \frac{(\quad)}{15x^2 y}$（$y≠0$）
(1)$\frac{3x^2 y}{5xy^2} = \frac{(\quad)}{5y}$；(2)$\frac{y}{3x} = \frac{(\quad)}{15x^2 y}$（$y≠0$）
答案
(1) 3x (2) $5xy^2$
解析
【分析】
本题考查分式的基本性质的应用，解题思路是先观察等式两边已知的分母的变化，确定是乘/除以了哪个不为0的整式，再根据分式的基本性质对分子做相同的变形，就能得到括号里要填的内容。
(1) 对比左右两侧的分母，左侧分母$5xy^2$变为右侧的$5y$，是除以了不为0的整式$xy$，因此分子也需要除以$xy$；
(2) 对比左右两侧的分母，左侧分母$3x$变为右侧的$15x^2y$，是乘了不为0的整式$5xy$（已知$y≠0$，因此$5xy≠0$，符合分式基本性质的前提要求），因此分子也需要乘$5xy$。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
(1) 分母的变形为：$5xy^2 ÷ xy = 5y$，因此分子同步做除以$xy$的变形：
$3x^2y ÷ xy = 3x$，即括号内应填$3x$；
(2) 分母的变形为：$3x × 5xy = 15x^2y$，因$y≠0$，故$5xy≠0$，分子同步做乘$5xy$的变形：
$y × 5xy = 5xy^2$，即括号内应填$5xy^2$。
【答案】
(1) $3x$；(2) $5xy^2$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 分式的约分
3. 分式的通分
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，解题核心是先找准已知部分的变形规律，再对对应部分做相同的乘除变形，注意变形时要保证乘除的整式不为0，避免分式无意义。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的基本性质的应用，解题思路是先观察等式两边已知的分母的变化，确定是乘/除以了哪个不为0的整式，再根据分式的基本性质对分子做相同的变形，就能得到括号里要填的内容。
(1) 对比左右两侧的分母，左侧分母$5xy^2$变为右侧的$5y$，是除以了不为0的整式$xy$，因此分子也需要除以$xy$；
(2) 对比左右两侧的分母，左侧分母$3x$变为右侧的$15x^2y$，是乘了不为0的整式$5xy$（已知$y≠0$，因此$5xy≠0$，符合分式基本性质的前提要求），因此分子也需要乘$5xy$。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
(1) 分母的变形为：$5xy^2 ÷ xy = 5y$，因此分子同步做除以$xy$的变形：
$3x^2y ÷ xy = 3x$，即括号内应填$3x$；
(2) 分母的变形为：$3x × 5xy = 15x^2y$，因$y≠0$，故$5xy≠0$，分子同步做乘$5xy$的变形：
$y × 5xy = 5xy^2$，即括号内应填$5xy^2$。
【答案】
(1) $3x$；(2) $5xy^2$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 分式的约分
3. 分式的通分
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，解题核心是先找准已知部分的变形规律，再对对应部分做相同的乘除变形，注意变形时要保证乘除的整式不为0，避免分式无意义。
【难度系数】
0.9
5. 不改变分式的值，把下列分式中分子与分母的各项系数化为整数：
答案
5. 解 (1)$\frac{0.2x-0.3y}{0.6x+0.1y}=\frac{(0.2x-0.3y)×10}{(0.6x+0.1y)×10}=\frac{2x-3y}{6x+y}$.
(2)$\frac{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y}=\frac{(\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y)×6}=\frac{2x-3y}{3x+2y}$.
(2)$\frac{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y}=\frac{(\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y)×6}=\frac{2x-3y}{3x+2y}$.
解析
【分析】
本题要求不改变分式的值，将分子、分母的各项系数化为整数，解题依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。对于第(1)题，分子、分母的系数都是一位小数，因此给分子、分母同时乘10即可将所有系数化为整数，注意每一项都要乘10，不能漏项；对于第(2)题，分子、分母的系数是分数，分母分别为2和3，先求出2和3的最小公倍数是6，给分子、分母同时乘6就可以消去分数分母，将系数化为整数，同样要注意每一项都要乘6，避免漏乘出错。
【解析】
(1) 对分式$\frac{0.2x-0.3y}{0.6x+0.1y}$，根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘10：
$\frac{0.2x-0.3y}{0.6x+0.1y}=\frac{(0.2x-0.3y)×10}{(0.6x+0.1y)×10}=\frac{2x-3y}{6x+y}$
(2) 对分式$\frac{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y}$，先确定所有分数分母的最小公倍数为6，根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘6：
$\frac{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y}=\frac{(\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y)×6}=\frac{2x-3y}{3x+2y}$
【答案】
(1)$\frac{2x-3y}{6x+y}$；(2)$\frac{2x-3y}{3x+2y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 最小公倍数应用
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是根据系数的类型（小数/分数）确定分子、分母同乘的数，操作时需要注意给分子、分母的每一项都乘该数，避免漏乘出现错误，掌握该方法是后续分式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题要求不改变分式的值，将分子、分母的各项系数化为整数，解题依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。对于第(1)题，分子、分母的系数都是一位小数，因此给分子、分母同时乘10即可将所有系数化为整数，注意每一项都要乘10，不能漏项；对于第(2)题，分子、分母的系数是分数，分母分别为2和3，先求出2和3的最小公倍数是6，给分子、分母同时乘6就可以消去分数分母，将系数化为整数，同样要注意每一项都要乘6，避免漏乘出错。
【解析】
(1) 对分式$\frac{0.2x-0.3y}{0.6x+0.1y}$，根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘10：
$\frac{0.2x-0.3y}{0.6x+0.1y}=\frac{(0.2x-0.3y)×10}{(0.6x+0.1y)×10}=\frac{2x-3y}{6x+y}$
(2) 对分式$\frac{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y}$，先确定所有分数分母的最小公倍数为6，根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘6：
$\frac{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y}=\frac{(\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y)×6}=\frac{2x-3y}{3x+2y}$
【答案】
(1)$\frac{2x-3y}{6x+y}$；(2)$\frac{2x-3y}{3x+2y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 最小公倍数应用
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是根据系数的类型（小数/分数）确定分子、分母同乘的数，操作时需要注意给分子、分母的每一项都乘该数，避免漏乘出现错误，掌握该方法是后续分式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
6. 在括号里填上使等式成立的式子：
$\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} = \frac{(\quad)}{5x - 6y}.$
括号内的式子为________。
$\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} = \frac{(\quad)}{5x - 6y}.$
括号内的式子为________。
答案
$12x+2y$
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：第一步先观察等式左右两边分母的变化，计算出原分母乘哪个非零数可以得到新分母；第二步根据分式的基本性质，分子也要乘同一个非零数，保证分式的值不变；第三步按照整式乘法规则计算分子乘这个数后的结果，就是括号内要填的式子，注意计算时要给分子的每一项都乘这个数，不能漏乘。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
首先观察分母的变化：
右边的分母为$5x-6y$，左边的分母为$\frac{5}{6}x - y$，
$\because 6×(\frac{5}{6}x - y)=5x - 6y$，即左边的分母乘6得到右边的分母，
$\therefore$左边的分子也要乘6，才能保证分式的值不变。
计算分子乘6的结果：
$6×(2x + \frac{1}{3}y)=6×2x + 6×\frac{1}{3}y=12x + 2y$
因此括号内的式子为$12x+2y$。
【答案】
$12x+2y$
【知识点】
分式的基本性质；单项式乘多项式运算
【点评】
本题属于分式性质的基础应用题型，解题核心是准确判断分母的变化倍数，分子做相同变化时需注意每一项都要乘对应倍数，避免漏乘导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：第一步先观察等式左右两边分母的变化，计算出原分母乘哪个非零数可以得到新分母；第二步根据分式的基本性质，分子也要乘同一个非零数，保证分式的值不变；第三步按照整式乘法规则计算分子乘这个数后的结果，就是括号内要填的式子，注意计算时要给分子的每一项都乘这个数，不能漏乘。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
首先观察分母的变化：
右边的分母为$5x-6y$，左边的分母为$\frac{5}{6}x - y$，
$\because 6×(\frac{5}{6}x - y)=5x - 6y$，即左边的分母乘6得到右边的分母，
$\therefore$左边的分子也要乘6，才能保证分式的值不变。
计算分子乘6的结果：
$6×(2x + \frac{1}{3}y)=6×2x + 6×\frac{1}{3}y=12x + 2y$
因此括号内的式子为$12x+2y$。
【答案】
$12x+2y$
【知识点】
分式的基本性质；单项式乘多项式运算
【点评】
本题属于分式性质的基础应用题型，解题核心是准确判断分母的变化倍数，分子做相同变化时需注意每一项都要乘对应倍数，避免漏乘导致计算错误。
【难度系数】
0.8
7. 不改变分式的值，把下列分式中分子与分母的最高次项的系数化为正数：
(1) $\dfrac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1}$；
(2) $\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3}$；
(3) $-\dfrac{1 - a^3}{a^2 - a + 1}$。
(1) $\dfrac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1}$；
(2) $\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3}$；
(3) $-\dfrac{1 - a^3}{a^2 - a + 1}$。
答案
7. 解 (1)$\frac{2-a-a^2}{-a^3+3a-1}=\frac{-a^2-a+2}{-a^3+3a-1}=\frac{-(a^2+a-2)}{-(a^3-3a+1)}=\frac{a^2+a-2}{a^3-3a+1}$.
(2)$\frac{1-x-x^2}{1+x^2+x^3}=\frac{-x^2-x+1}{x^3+x^2+1}=\frac{-(x^2+x-1)}{x^3+x^2+1}=-\frac{x^2+x-1}{x^3+x^2+1}$.
(3)$-\frac{1-a^3}{a^2-a+1}=-\frac{-a^3+1}{a^2-a+1}=-\frac{-(a^3-1)}{a^2-a+1}=\frac{a^3-1}{a^2-a+1}$.
(2)$\frac{1-x-x^2}{1+x^2+x^3}=\frac{-x^2-x+1}{x^3+x^2+1}=\frac{-(x^2+x-1)}{x^3+x^2+1}=-\frac{x^2+x-1}{x^3+x^2+1}$.
(3)$-\frac{1-a^3}{a^2-a+1}=-\frac{-a^3+1}{a^2-a+1}=-\frac{-(a^3-1)}{a^2-a+1}=\frac{a^3-1}{a^2-a+1}$.
解析
【分析】
解决这类问题的核心依据是两个：①分式的基本性质：分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；②分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。解题可按三步推进：第一步，将分子、分母的多项式按同一字母降幂排列，快速定位最高次项；第二步，若分子或分母的最高次项系数为负，给该多项式整体提取负号；第三步，根据符号法则调整符号，保证分子、分母最高次项系数为正，同时不改变原分式的值。
【解析】
(1) 先将分子、分母按$a$的降幂排列，再分别提取负号抵消：
$\dfrac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1}=\dfrac{-a^2 - a + 2}{-a^3 + 3a - 1}=\dfrac{-(a^2 + a - 2)}{-(a^3 - 3a + 1)}=\dfrac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$
(2) 先将分子、分母按$x$的降幂排列，分子提取负号后移到分式本身的符号位置：
$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3}=\dfrac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1}=\dfrac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1}=-\dfrac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) 先将分子按$a$的降幂排列，分子提取的负号与分式本身的负号抵消：
$-\dfrac{1 - a^3}{a^2 - a + 1}=-\dfrac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1}=-\dfrac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1}=\dfrac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【答案】
(1) $\dfrac{a^2+a-2}{a^3-3a+1}$；(2) $-\dfrac{x^2+x-1}{x^3+x^2+1}$；(3) $\dfrac{a^3-1}{a^2-a+1}$
【知识点】
分式的基本性质，分式的符号法则
【点评】
本题属于分式基本性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握分式的符号变化规律，处理符号时需注意不要遗漏分式本身的符号，避免出现符号运算错误。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心依据是两个：①分式的基本性质：分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；②分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。解题可按三步推进：第一步，将分子、分母的多项式按同一字母降幂排列，快速定位最高次项；第二步，若分子或分母的最高次项系数为负，给该多项式整体提取负号；第三步，根据符号法则调整符号，保证分子、分母最高次项系数为正，同时不改变原分式的值。
【解析】
(1) 先将分子、分母按$a$的降幂排列，再分别提取负号抵消：
$\dfrac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1}=\dfrac{-a^2 - a + 2}{-a^3 + 3a - 1}=\dfrac{-(a^2 + a - 2)}{-(a^3 - 3a + 1)}=\dfrac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$
(2) 先将分子、分母按$x$的降幂排列，分子提取负号后移到分式本身的符号位置：
$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3}=\dfrac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1}=\dfrac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1}=-\dfrac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) 先将分子按$a$的降幂排列，分子提取的负号与分式本身的负号抵消：
$-\dfrac{1 - a^3}{a^2 - a + 1}=-\dfrac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1}=-\dfrac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1}=\dfrac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【答案】
(1) $\dfrac{a^2+a-2}{a^3-3a+1}$；(2) $-\dfrac{x^2+x-1}{x^3+x^2+1}$；(3) $\dfrac{a^3-1}{a^2-a+1}$
【知识点】
分式的基本性质，分式的符号法则
【点评】
本题属于分式基本性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握分式的符号变化规律，处理符号时需注意不要遗漏分式本身的符号，避免出现符号运算错误。
【难度系数】
0.8
8. (1)填空：
$\frac{1}{2} = \frac{1+(\quad)}{2+4} = \frac{1+(\quad)}{2+6} = \frac{1+(\quad)}{2+8} = \frac{1+(\quad)}{2+10};$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(\quad)}{7+14} = \frac{4+(\quad)}{7+21} = \frac{4+(\quad)}{7+28} = \frac{4+20}{7+(\quad)}.$
(2)从上面的两个等式中找规律：$\frac{a}{b} = \frac{a+(\quad)}{b+(\quad)}(n≠-1).$
$\frac{1}{2} = \frac{1+(\quad)}{2+4} = \frac{1+(\quad)}{2+6} = \frac{1+(\quad)}{2+8} = \frac{1+(\quad)}{2+10};$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(\quad)}{7+14} = \frac{4+(\quad)}{7+21} = \frac{4+(\quad)}{7+28} = \frac{4+20}{7+(\quad)}.$
(2)从上面的两个等式中找规律：$\frac{a}{b} = \frac{a+(\quad)}{b+(\quad)}(n≠-1).$
答案
解 (1)$\frac{1}{2}=\frac{1+(2)}{2+4}=\frac{1+(3)}{2+6}=\frac{1+(4)}{2+8}=\frac{1+(5)}{2+10}$.
$\frac{4}{7}=\frac{4+(8)}{7+14}=\frac{4+(12)}{7+21}=\frac{4+(16)}{7+28}=\frac{4+20}{7+(35)}$.
(2) $na$ $nb$
$\frac{4}{7}=\frac{4+(8)}{7+14}=\frac{4+(12)}{7+21}=\frac{4+(16)}{7+28}=\frac{4+20}{7+(35)}$.
(2) $na$ $nb$
解析
【分析】
解题要用到分式的基本性质，即分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的数，分式的值不变。对于第一小问的每一个等式，先计算变化后的分母是原分母的几倍，再将原分子扩大相同倍数，减去原分子即可得到分子括号内的数；如果已知分子的变化，先算变化后的分子是原分子的几倍，再将原分母扩大相同倍数，减去原分母得到分母括号内的数。第二小问可通过第一小问的具体例子，归纳出一般规律即可。
【解析】
(1) 先处理$\frac{1}{2}$的一组等式：
① 分母变为$2+4=6$，$6÷2=3$，即分母扩大为原来的3倍，根据分式基本性质，分子需变为$1×3=3$，故括号内填$3-1=2$；
② 分母变为$2+6=8$，$8÷2=4$，分子需变为$1×4=4$，故括号内填$4-1=3$；
③ 分母变为$2+8=10$，$10÷2=5$，分子需变为$1×5=5$，故括号内填$5-1=4$；
④ 分母变为$2+10=12$，$12÷2=6$，分子需变为$1×6=6$，故括号内填$6-1=5$；
再处理$\frac{4}{7}$的一组等式：
① 分母变为$7+14=21$，$21÷7=3$，分子需变为$4×3=12$，故括号内填$12-4=8$；
② 分母变为$7+21=28$，$28÷7=4$，分子需变为$4×4=16$，故括号内填$16-4=12$；
③ 分母变为$7+28=35$，$35÷7=5$，分子需变为$4×5=20$，故括号内填$20-4=16$；
④ 分子变为$4+20=24$，$24÷4=6$，分母需变为$7×6=42$，故括号内填$42-7=35$；
(2) 观察上述规律，对$\frac{a}{b}$，若分母加上$nb$，则新分母为$b+nb=b(n+1)$，即分母乘了$(n+1)$，分子需乘$(n+1)$得$a(n+1)=a+na$，即分子加$na$，故两个括号依次填$na$、$nb$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}=\frac{1+(2)}{2+4}=\frac{1+(3)}{2+6}=\frac{1+(4)}{2+8}=\frac{1+(5)}{2+10}$；$\frac{4}{7}=\frac{4+(8)}{7+14}=\frac{4+(12)}{7+21}=\frac{4+(16)}{7+28}=\frac{4+20}{7+(35)}$
(2) $na$，$nb$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 规律探究
【点评】
本题以具体分数运算为载体，考查分式基本性质的灵活应用，同时引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，有助于培养逻辑推理能力，是分式性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题要用到分式的基本性质，即分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的数，分式的值不变。对于第一小问的每一个等式，先计算变化后的分母是原分母的几倍，再将原分子扩大相同倍数，减去原分子即可得到分子括号内的数；如果已知分子的变化，先算变化后的分子是原分子的几倍，再将原分母扩大相同倍数，减去原分母得到分母括号内的数。第二小问可通过第一小问的具体例子，归纳出一般规律即可。
【解析】
(1) 先处理$\frac{1}{2}$的一组等式：
① 分母变为$2+4=6$，$6÷2=3$，即分母扩大为原来的3倍，根据分式基本性质，分子需变为$1×3=3$，故括号内填$3-1=2$；
② 分母变为$2+6=8$，$8÷2=4$，分子需变为$1×4=4$，故括号内填$4-1=3$；
③ 分母变为$2+8=10$，$10÷2=5$，分子需变为$1×5=5$，故括号内填$5-1=4$；
④ 分母变为$2+10=12$，$12÷2=6$，分子需变为$1×6=6$，故括号内填$6-1=5$；
再处理$\frac{4}{7}$的一组等式：
① 分母变为$7+14=21$，$21÷7=3$，分子需变为$4×3=12$，故括号内填$12-4=8$；
② 分母变为$7+21=28$，$28÷7=4$，分子需变为$4×4=16$，故括号内填$16-4=12$；
③ 分母变为$7+28=35$，$35÷7=5$，分子需变为$4×5=20$，故括号内填$20-4=16$；
④ 分子变为$4+20=24$，$24÷4=6$，分母需变为$7×6=42$，故括号内填$42-7=35$；
(2) 观察上述规律，对$\frac{a}{b}$，若分母加上$nb$，则新分母为$b+nb=b(n+1)$，即分母乘了$(n+1)$，分子需乘$(n+1)$得$a(n+1)=a+na$，即分子加$na$，故两个括号依次填$na$、$nb$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}=\frac{1+(2)}{2+4}=\frac{1+(3)}{2+6}=\frac{1+(4)}{2+8}=\frac{1+(5)}{2+10}$；$\frac{4}{7}=\frac{4+(8)}{7+14}=\frac{4+(12)}{7+21}=\frac{4+(16)}{7+28}=\frac{4+20}{7+(35)}$
(2) $na$，$nb$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 规律探究
【点评】
本题以具体分数运算为载体，考查分式基本性质的灵活应用，同时引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，有助于培养逻辑推理能力，是分式性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
