1. 方程$-\frac{1}{3}x=6$的解是 （）

A.$x=-2$
B.$x=2$
C.$x=18$
D.$x=-18$

1. D

【分析】
本题考查解简单的一元一次方程，解题核心是利用等式的性质将未知数的系数化为1。思考步骤：首先观察方程，未知数x的系数是$-\frac{1}{3}$，要得到x的值，需要等式两边同时乘以系数的倒数（即-3），计算时注意符号不要出错，最后匹配选项即可。
【解析】
对于方程$-\frac{1}{3}x = 6$，根据等式的性质，等式两边同时乘以$-3$，将x的系数化为1：
左边：$-\frac{1}{3}x × (-3) = x$
右边：$6 × (-3) = -18$
因此解得$x = -18$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次方程的基本解法，解题时注意系数化为1的运算规则，尤其要注意负号的运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.9

2. 小红在解关于 $ x $ 的方程 $-3x = a$ 时，误将方程中的“-3”看成了“3”，求得方程的解为 $ x = \frac{1}{2} $，则原方程的解为 。

2. $x=-\frac{1}{2}$

【分析】
这是一道错解方程求原方程解的问题，解题关键是明确看错的只有x的系数，常数a是不变的。第一步先将错解$x=\frac{1}{2}$代入看错后的方程，求出a的值；第二步把求得的a代入原方程，解一元一次方程即可得到原方程的正确解。
【解析】
解：
∵小红误将-3看成3，得到的方程为$3x=a$，且该方程的解为$x=\frac{1}{2}$
∴把$x=\frac{1}{2}$代入$3x=a$，得：
$a=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
∴原方程为$-3x=\frac{3}{2}$
系数化为1，得：
$x=\frac{3}{2}÷(-3)=-\frac{1}{2}$
【答案】
$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，解题核心是抓住看错系数时未知参数a不变的特点，先求出参数值再求解原方程，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8

3. (2025河南周口川汇区期末)已知关于x的方程$3x - 2m = 4$的解是$x = -m$，则$m$的值为（）

A.$\frac{4}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$1$
D.$-1$

3. B

【分析】
本题可根据方程的解的定义求解，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。已知方程的解为x=-m，我们只需将x=-m代入原方程，就能得到只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，即可求出m的值。
【解析】
∵ x = -m是方程$3x - 2m = 4$的解
∴ 将x = -m代入原方程，可得：
$3×(-m) - 2m = 4$
合并同类项，得：
$-5m = 4$
系数化为1，得：
$m = -\frac{4}{5}$
【答案】
B
【知识点】
1.方程的解的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握方程解的含义，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可，计算时注意符号问题即可得分。
【难度系数】
0.8

4. 新趋势·定义新运算 对任意四个有理数$a,b,c,d$定义了一种新运算：$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$。若$\begin{vmatrix} 2 & 3x \\ 1 & x \end{vmatrix}=6$，则$x$的值为 ______ 。

4. -6

【分析】
解题时首先要准确理解题中给出的新运算规则：二阶行列式的结果等于左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素。接下来将题目所给行列式的四个数对应到规则中的a、b、c、d，代入规则即可得到关于x的一元一次方程，最后按解一元一次方程的步骤求解即可得到x的值。
【解析】
根据新运算规则$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，对应$\begin{vmatrix} 2 & 3x \\ 1 & x \end{vmatrix}$可知：$a=2,b=1,c=3x,d=x$，代入得：
$2· x - 3x·1 = 6$
合并同类项得：
$-x = 6$
系数化为1得：
$x = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
1. 定义新运算
2. 解一元一次方程
3. 合并同类项
【点评】
本题核心是考查对新运算规则的转化能力，只要正确将新定义的行列式运算转化为常规的一元一次方程，按照解方程的常规步骤就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

5. 新趋势·回归教材（第121页练习1题变式）
解下列方程：
(1) $x - 7x = -6$；
(2) $-\dfrac{3}{2}x - 3x = \dfrac{5}{2} - 1$；
(3) $2x + 0.5x - 4.5x = 2 - 6$。

5. 解:(1)合并同类项,得-6x=-6.
系数化为1,得x=1.
(2)合并同类项,得$-\frac{9}{2}x=\frac{3}{2}$.
系数化为1,得$x=-\frac{1}{3}$.
(3)合并同类项,得-2x=-4.
系数化为1,得x=2.

【分析】
这三道题均是利用合并同类项求解一元一次方程的基础题型，解题思路可分为两步：①合并同类项：分别将方程左侧含x的同类项、右侧的常数同类项合并，把方程转化为$ax=b$（$a≠0$）的最简形式；②系数化为1：方程两边同时除以x的系数a，即可得到方程的解。计算过程中要注意系数的正负符号，避免符号运算错误。
【解析】
(1) 合并同类项，得$-6x=-6$，
系数化为1，得$x=1$。
(2) 合并同类项，得$-\dfrac{9}{2}x=\dfrac{3}{2}$，
系数化为1，得$x=-\dfrac{1}{3}$。
(3) 合并同类项，得$-2x=-4$，
系数化为1，得$x=2$。
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-\dfrac{1}{3}$；(3) $x=2$
【知识点】
合并同类项；系数化为1；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考察合并同类项法则的应用和系数化为1的操作，熟练掌握本类题型的解法是后续学习更复杂的一元一次方程求解的基础。
【难度系数】
0.9

6. 新情境·古算问题 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题(凫:野鸭):“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫、雁俱起,问:何日相逢?”其大意是野鸭从南海飞到北海需要7天;大雁从北海飞到南海需要9天.若野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞,问:几天后相遇? 通过计算可得,野鸭和大雁天后相遇.

6. $\frac{63}{16}$ 解析 由题意,得野鸭从南海飞到北海,平均每天飞全程的$\frac{1}{7}$,大雁从北海飞到南海,平均每天飞全程的$\frac{1}{9}$.设野鸭和大雁x天后相遇,可得$\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x=1$.合并同类项,得$\frac{16}{63}x=1$.系数化为1,得$x=\frac{63}{16}$.

【分析】
这是一道行程类的相遇问题，题目未给出南海到北海的具体路程，我们可以先把南海到北海的总路程看作单位“1”，先分别计算野鸭和大雁的飞行速度（即每天飞行全程的几分之几）；由于二者是相向而行，相遇时两者飞行的路程之和恰好等于总路程，我们可以根据这个等量关系设未知数列方程求解。
【解析】
设野鸭和大雁$ x $天后相遇。
由题意得，野鸭平均每天飞全程的$ \frac{1}{7} $，大雁平均每天飞全程的$ \frac{1}{9} $，相遇时二者路程和为总路程1，可列方程：
$ \frac{1}{7}x + \frac{1}{9}x = 1 $
合并同类项，得：
$ \frac{16}{63}x = 1 $
系数化为1，得：
$ x = \frac{63}{16} $
【答案】
$ \frac{63}{16} $
【知识点】
相遇问题；单位“1”的应用；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题以古算问题为背景，考查一元一次方程在行程相遇问题中的应用，解题核心是合理将总路程设为单位“1”，准确找到“路程和等于总路程”的等量关系，侧重对基础等量关系的理解与方程解法的掌握。
【难度系数】
0.8

7. 新趋势·回归教材（第121页练习3题变式）
如图，某班准备制作一个长8.5 m的横幅，横幅内容定为16个字，负责制作横幅的学生对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距=3：4：1，则横幅字距是多少？

7. 解:设横幅字距是x m,则字宽是4x m,边空宽是3x m,
由题意得 2×3x+16×4x+(16-1)x=8.5.
合并同类项,得85x=8.5.
系数化为1,得x=0.1.
答:横幅字距是0.1 m.

【分析】
这是一道结合生活场景的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先根据边空宽、字宽、字距的比例关系，设未知数表示三个量，通常设占比最小的字距为x m，可方便表示其余两个量；其次梳理总长度的组成部分：左右各1个边空、16个字的总字宽、16个字之间的总字距（注意n个字的间距数为n-1个）；最后根据“边空总长度+字宽总长度+字距总长度=横幅总长度8.5m”的等量关系列方程，解方程即可得到字距。
【解析】
解：设横幅字距是$ x \, \mathrm{m} $，根据比例关系可知字宽为$ 4x \, \mathrm{m} $，边空宽为$ 3x \, \mathrm{m} $。
横幅总长度由2个边空、16个单字宽度、$ 16-1=15 $个字距组成，据此列方程：
$ 2× 3x + 16× 4x + (16-1)x = 8.5 $
合并同类项，得：
$ 85x = 8.5 $
系数化为1，得：
$ x = 0.1 $
【答案】
0.1 m
【知识点】
一元一次方程应用、合并同类项解方程、比例分配问题
【点评】
本题结合实际生活中的横幅制作场景命题，解题的核心是准确梳理各部分的数量，尤其是字距的个数，n个字之间仅有n-1个间距，是本题的易错点，能很好地考查学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

8. (2026 河南郑州期末) 方程$\frac{x}{1×2}+\frac{x}{2×3}+…+\frac{x}{2008×2009}=2008$的解是 ()

A.$x=2006$
B.$x=2007$
C.$x=2008$
D.$x=2009$

8. D 解析 原方程可变形为 $x(1-\frac{1}{2})+x(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+x(\frac{1}{2008}-\frac{1}{2009})=2008$（关键点:$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,n为任意正整数）.
所以 $x(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2008}-\frac{1}{2009})=2008$.
所以 $x(1-\frac{1}{2009})=2008$.
所以 $x·\frac{2008}{2009}=2008$.
所以 x=2009.
故选 D.

【分析】
观察方程左边各项的分母均为两个相邻正整数的乘积，首先可提取公因式$x$，再利用分数裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（$n$为正整数）将每一项拆分，拆分后中间的分数项会相互抵消，仅保留首尾两项，即可将方程简化为普通的一元一次方程，最后系数化为1求出$x$的值即可。
【解析】
原方程可变形为：
$x(1-\frac{1}{2})+x(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots +x(\frac{1}{2008}-\frac{1}{2009})=2008$
提取公因式$x$得：
$x(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{2008}-\frac{1}{2009})=2008$
中间相邻项抵消后得：
$x(1-\frac{1}{2009})=2008$
化简得：
$x· \frac{2008}{2009}=2008$
系数化为1，两边同时乘$\frac{2009}{2008}$得：
$x=2009$
故选D。
【答案】D
【知识点】
分数裂项，解一元一次方程，合并同类项
【点评】
本题结合了分数裂项的运算技巧与一元一次方程的解法，核心是通过裂项相消简化复杂的分数求和运算，避免了直接通分计算的繁琐，掌握裂项公式是快速求解本题的关键。
【难度系数】
0.7