【典型例题 1】画出反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象,并根据图象回答问题.
(1)当$y=-2$时,$x$的值为.
(2)当$-2＜x＜1$且$x≠0$时,$y$的取值范围是.
(3)当$-3＜y＜2$且$y≠0$时,$x$的取值范围是.
【解】列表.写出几组$x$与$y$的对应值:

描点.以表中各组对应值为坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
连线.用平滑的曲线顺次连接描出的点,就得到函数$y=\frac{6}{x}$的图象,如图所示.

(1)$-3$
(2)$y＜-3$或$y＞6$
(3)$x＜-2$或$x＞3$
规律方法 解决此类问题时,若已知自变量的值(或范围)求函数的值(或范围)或已知函数的值(或范围)求自变量的值(或范围),则直接观察图象的对应部分,求解即可.

(1) -3
(2) y＜-3或y＞6
(3) x＜-2或x＞3
规律方法 解决此类问题时,若已知自变量的值(或范围)求函数的值(或范围)或已知函数的值(或范围)求自变量的值(或范围),则直接观察图象的对应部分,求解即可.

【分析】
解题时先明确反比例函数$y=\frac{6}{x}$的性质：$k=6＞0$，图象位于第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，图象与坐标轴无交点。(1)已知$y$值求$x$，可直接代入解析式求解，也可对应图象找横坐标；(2)(3)属于取值范围问题，因函数图象是断开的两支，需分$x＜0$（第三象限）和$x＞0$（第一象限）两种情况分别分析，结合单调性推导对应范围，最后合并结果即可。
【解析】
(1)将$y=-2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$-2=\frac{6}{x}$，解得$x=-3$。
(2)分两段讨论：
①当$-2＜x＜0$时，对应第三象限的图象，$y$随$x$增大而减小，当$x=-2$时，$y=\frac{6}{-2}=-3$，因此当$-2＜x＜0$时，$y＜-3$；
②当$0＜x＜1$时，对应第一象限的图象，$y$随$x$增大而减小，当$x=1$时，$y=\frac{6}{1}=6$，因此当$0＜x＜1$时，$y＞6$；
综上，$y$的取值范围是$y＜-3$或$y＞6$。
(3)分两段讨论：
①当$-3＜y＜0$时，对应第三象限的图象，$y$随$x$增大而减小，当$y=-3$时，$x=\frac{6}{-3}=-2$，因此当$-3＜y＜0$时，$x＜-2$；
②当$0＜y＜2$时，对应第一象限的图象，$y$随$x$增大而减小，当$y=2$时，$x=\frac{6}{2}=3$，因此当$0＜y＜2$时，$x＞3$；
综上，$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞3$。
【答案】
(1)$-3$
(2)$y＜-3$或$y＞6$
(3)$x＜-2$或$x＞3$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，函数值与自变量的对应关系，取值范围求解
【点评】
本题重点考查数形结合思想在反比例函数问题中的应用，解题关键是注意反比例函数图象是分属两个象限的独立两支，求解取值范围时需分象限讨论，避免因忽略图象断开的特征出现漏解或错解。
【难度系数】
0.7