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1[中]不透明的布袋中有红、白、绿三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色，则摸出的两个球颜色为“一白一绿”的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{9}$
D
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{9}$
答案
1.D 【解析】画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色为“一白一绿”的结果有2种，
∴摸出的两个球颜色为“一白一绿”的概率为$\frac{2}{9}$. 故选D.
解析
【分析】
本题是放回型的两步概率计算问题，可通过树状图法梳理所有等可能结果：首先第一步摸球有红、白、绿3种等可能的结果，因为摸球后放回搅匀，所以第二步摸球同样有3种等可能的结果，先计算出所有等可能的总结果数；再找出“一白一绿”对应的结果，注意包含“先摸出白、再摸出绿”和“先摸出绿、再摸出白”两种情况，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：本次摸球为放回试验，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果。
其中摸出的两个球颜色为“一白一绿”的结果有2种，分别是（白，绿）、（绿，白）。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得摸出的两个球颜色为“一白一绿”的概率为$\frac{2}{9}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
树状图法；概率计算公式；放回型概率问题
【点评】
本题重点考查用列举法计算概率，解题时需注意区分放回和不放回试验的区别，同时要明确“一白一绿”包含两种不同的先后顺序，避免漏算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
本题是放回型的两步概率计算问题，可通过树状图法梳理所有等可能结果：首先第一步摸球有红、白、绿3种等可能的结果，因为摸球后放回搅匀，所以第二步摸球同样有3种等可能的结果，先计算出所有等可能的总结果数；再找出“一白一绿”对应的结果，注意包含“先摸出白、再摸出绿”和“先摸出绿、再摸出白”两种情况，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：本次摸球为放回试验，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果。
其中摸出的两个球颜色为“一白一绿”的结果有2种，分别是（白，绿）、（绿，白）。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得摸出的两个球颜色为“一白一绿”的概率为$\frac{2}{9}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
树状图法；概率计算公式；放回型概率问题
【点评】
本题重点考查用列举法计算概率，解题时需注意区分放回和不放回试验的区别，同时要明确“一白一绿”包含两种不同的先后顺序，避免漏算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
2[2025重庆北碚区质检,中]在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字1,2,3,这些卡片除数字不同外其余均相同,小明从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回,摇匀后再随机抽取一张卡片记下数字,则两次抽取的卡片上数字之积是偶数的概率是
$\frac{5}{9}$
.答案
2.$\frac{5}{9}$ 【解析】画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上数字之积是偶数的结果有5种，
∴两次抽取的卡片上数字之积是偶数的概率为$\frac{5}{9}$. 故答案为$\frac{5}{9}$.
思路分析
首先根据题意画出树状图,
然后由树状图求得所有等可能的结果数与两次抽取的卡片上数字之积是偶数的结果数,再利用概率公式即可求得答案.
解析
【分析】
这是有放回的两次抽取卡片的概率问题，解题时可先通过画树状图列举出所有等可能的结果，再筛选出两次数字之积为偶数的结果，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。具体思路：先列出第一次抽取的所有可能数字，再对应第一次的每个结果列出第二次抽取的所有可能数字，计算每组数字的乘积后统计偶数的个数，代入概率公式求解。
【解析】
根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上数字之积是偶数的结果有5种，
根据概率公式可得，两次抽取的卡片上数字之积是偶数的概率为$\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
树状图法，概率公式
【点评】
本题是概率计算的典型基础题，用树状图法列举所有等可能的结果清晰直观，解题的关键是准确统计总结果数和符合要求的结果数。
【难度系数】
0.7
这是有放回的两次抽取卡片的概率问题，解题时可先通过画树状图列举出所有等可能的结果，再筛选出两次数字之积为偶数的结果，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。具体思路：先列出第一次抽取的所有可能数字，再对应第一次的每个结果列出第二次抽取的所有可能数字，计算每组数字的乘积后统计偶数的个数，代入概率公式求解。
【解析】
根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上数字之积是偶数的结果有5种，
根据概率公式可得，两次抽取的卡片上数字之积是偶数的概率为$\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
树状图法，概率公式
【点评】
本题是概率计算的典型基础题，用树状图法列举所有等可能的结果清晰直观，解题的关键是准确统计总结果数和符合要求的结果数。
【难度系数】
0.7
3[中]经过某路口的汽车,可能直行,也可能左拐或右拐.假设这三种可能性相同,现有两车经过该路口,恰好有一车直行,另一车左拐的概率为
$( )$
A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
$( )$
A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
答案
3.A 【解析】画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果有2种，
∴恰好有一车直行，另一车左拐的概率为$\frac{2}{9}$，故选A.
解析
【分析】
本题属于两步试验的等可能概率计算问题，每辆车经过路口时都有直行、左拐、右拐3种等可能的选择。解题时可先通过树状图列举出两辆车行驶方向的所有等可能结果，再从中找到“恰好有一车直行，另一车左拐”的结果数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可，注意不要漏算两种车辆的顺序情况。
【解析】
根据题意画出树状图：
由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中恰好有一车直行、另一车左拐的结果有2种（分别为第一车直行第二车左拐、第一车左拐第二车直行）。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{9}$，故选A。
【答案】A
【知识点】
树状图法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题考查概率的求解，解题关键是准确枚举所有等可能的结果，同时注意所求事件包含的不同顺序的情况，避免漏算或多算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
本题属于两步试验的等可能概率计算问题，每辆车经过路口时都有直行、左拐、右拐3种等可能的选择。解题时可先通过树状图列举出两辆车行驶方向的所有等可能结果，再从中找到“恰好有一车直行，另一车左拐”的结果数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可，注意不要漏算两种车辆的顺序情况。
【解析】
根据题意画出树状图：
由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中恰好有一车直行、另一车左拐的结果有2种（分别为第一车直行第二车左拐、第一车左拐第二车直行）。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{9}$，故选A。
【答案】A
【知识点】
树状图法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题考查概率的求解，解题关键是准确枚举所有等可能的结果，同时注意所求事件包含的不同顺序的情况，避免漏算或多算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
4[中]某学校租了三辆车送同学们去参加“携手共植同心树，植树护绿添新绿”的植树活动，若小玉和小华每人随机选择搭乘一辆车，则她们恰好搭乘同一辆车的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
4.$\frac{1}{3}$ 【解析】把学校租的三辆车分别记为A,B,C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小玉和小华恰好搭乘同一辆车的结果有3种，
∴小玉和小华恰好搭乘同一辆车的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，故答案为$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
这是一道两步试验的概率求解问题，两人各自独立选车，所有选择均为等可能事件。我们可以通过树状图列举出所有的等可能结果，再从中筛选出小玉和小华搭乘同一辆车的结果数，最后利用“概率=所求情况数与总情况数之比”的公式计算即可。解题时先明确第一步小玉选车有3种选择，对应每种选择小华也有3种选择，确保不重不漏列举所有结果。
【解析】
把学校租的三辆车分别记为A，B，C，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小玉和小华恰好搭乘同一辆车的结果有（A,A）、（B,B）、（C,C），共3种，
∴小玉和小华恰好搭乘同一辆车的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题核心是通过树状图清晰列举所有等可能事件，再筛选出符合条件的事件代入公式计算，能有效考查学生对概率求解步骤的掌握程度。
【难度系数】
0.7
这是一道两步试验的概率求解问题，两人各自独立选车，所有选择均为等可能事件。我们可以通过树状图列举出所有的等可能结果，再从中筛选出小玉和小华搭乘同一辆车的结果数，最后利用“概率=所求情况数与总情况数之比”的公式计算即可。解题时先明确第一步小玉选车有3种选择，对应每种选择小华也有3种选择，确保不重不漏列举所有结果。
【解析】
把学校租的三辆车分别记为A，B，C，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小玉和小华恰好搭乘同一辆车的结果有（A,A）、（B,B）、（C,C），共3种，
∴小玉和小华恰好搭乘同一辆车的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题核心是通过树状图清晰列举所有等可能事件，再筛选出符合条件的事件代入公式计算，能有效考查学生对概率求解步骤的掌握程度。
【难度系数】
0.7
5[2026 四川成都期末,中]
如图,在 y 轴上取点 A(0,4),在 x 轴上取点 B₁(1,0),B₂(2,0),B₃(3,0),B₄(4,0),B₅(5,0),B₆(6,0),现从 AB₁,AB₂,…,AB₆这 6 条直线中任取 1 条,则该直线与反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ (x＞0)的图象有两个交点的概率是
如图,在 y 轴上取点 A(0,4),在 x 轴上取点 B₁(1,0),B₂(2,0),B₃(3,0),B₄(4,0),B₅(5,0),B₆(6,0),现从 AB₁,AB₂,…,AB₆这 6 条直线中任取 1 条,则该直线与反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ (x＞0)的图象有两个交点的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
5.$\frac{1}{3}$ 【解析】设$B_t(t,0)$，其中$t＞0$，直线$AB_t$的表达式为$y=kx+4$. 将$B_t(t,0)$代入得$0=tk+4$，解得$k=-\frac{4}{t}$，
∴直线$AB_t$的表达式为$y=-\frac{4}{t}x+4$. 联立得$\frac{4}{x}=-\frac{4}{t}x+4$，整理得$x^2-tx+t=0$.
∵该直线与反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象有两个交点，
∴$(-t)^2-4t=t^2-4t=t(t-4)＞0$.
∵$t＞0$，
∴$t-4＞0$，解得$t＞4$，
∴与反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象有两个交点的直线为$AB_5$和$AB_6$，
∴6条直线中任取1条与反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象有两个交点的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. 故答案为$\frac{1}{3}$.
∴直线$AB_t$的表达式为$y=-\frac{4}{t}x+4$. 联立得$\frac{4}{x}=-\frac{4}{t}x+4$，整理得$x^2-tx+t=0$.
∵该直线与反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象有两个交点，
∴$(-t)^2-4t=t^2-4t=t(t-4)＞0$.
∵$t＞0$，
∴$t-4＞0$，解得$t＞4$，
∴与反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象有两个交点的直线为$AB_5$和$AB_6$，
∴6条直线中任取1条与反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象有两个交点的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. 故答案为$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
要解决本题首先明确概率计算公式为“符合条件的情况数÷总情况数”，本题总共有6条直线，核心是求出能和反比例函数有2个交点的直线数量。思考步骤如下：①先设x轴上点B的横坐标为t，求出过A(0,4)和B(t,0)的直线解析式；②将直线解析式和反比例函数解析式联立，转化为一元二次方程；③直线和反比例函数有2个交点等价于一元二次方程有2个不相等的实数根，即判别式Δ＞0，解不等式得到t的取值范围；④在t=1,2,3,4,5,6中找到符合范围的t的个数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
设点$B_t$的坐标为$(t,0)$（$t＞0$），直线$AB_t$过点$A(0,4)$，故设其解析式为$y=kx+4$。
将$B_t(t,0)$代入直线解析式得：$0=tk+4$，解得$k=-\frac{4}{t}$，
因此直线$AB_t$的解析式为$y=-\frac{4}{t}x+4$。
联立直线和反比例函数$y=\frac{4}{x}$（$x＞0$）的解析式，得：
$\frac{4}{x}=-\frac{4}{t}x+4$，
两边同乘$tx$（$x＞0,t＞0$，$tx≠0$）整理得：$x^2 - tx + t = 0$。
若直线与反比例函数图象有两个交点，则该一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(-t)^2 - 4×1× t = t^2 - 4t = t(t-4) ＞ 0$，
因为$t＞0$，所以$t-4＞0$，解得$t＞4$。
已知$t$可取1,2,3,4,5,6，满足$t＞4$的取值为5和6，共2个符合条件的直线。
因此从6条直线中任取1条，满足条件的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
一次函数解析式求解，函数交点与判别式应用，概率公式
【点评】
本题将函数交点问题和概率计算相结合，解题的关键是掌握“两个函数图象的交点个数等价于联立后所得一元二次方程的根的个数”这一转化思路，考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题首先明确概率计算公式为“符合条件的情况数÷总情况数”，本题总共有6条直线，核心是求出能和反比例函数有2个交点的直线数量。思考步骤如下：①先设x轴上点B的横坐标为t，求出过A(0,4)和B(t,0)的直线解析式；②将直线解析式和反比例函数解析式联立，转化为一元二次方程；③直线和反比例函数有2个交点等价于一元二次方程有2个不相等的实数根，即判别式Δ＞0，解不等式得到t的取值范围；④在t=1,2,3,4,5,6中找到符合范围的t的个数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
设点$B_t$的坐标为$(t,0)$（$t＞0$），直线$AB_t$过点$A(0,4)$，故设其解析式为$y=kx+4$。
将$B_t(t,0)$代入直线解析式得：$0=tk+4$，解得$k=-\frac{4}{t}$，
因此直线$AB_t$的解析式为$y=-\frac{4}{t}x+4$。
联立直线和反比例函数$y=\frac{4}{x}$（$x＞0$）的解析式，得：
$\frac{4}{x}=-\frac{4}{t}x+4$，
两边同乘$tx$（$x＞0,t＞0$，$tx≠0$）整理得：$x^2 - tx + t = 0$。
若直线与反比例函数图象有两个交点，则该一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(-t)^2 - 4×1× t = t^2 - 4t = t(t-4) ＞ 0$，
因为$t＞0$，所以$t-4＞0$，解得$t＞4$。
已知$t$可取1,2,3,4,5,6，满足$t＞4$的取值为5和6，共2个符合条件的直线。
因此从6条直线中任取1条，满足条件的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
一次函数解析式求解，函数交点与判别式应用，概率公式
【点评】
本题将函数交点问题和概率计算相结合，解题的关键是掌握“两个函数图象的交点个数等价于联立后所得一元二次方程的根的个数”这一转化思路，考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6[中]一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球,球上分别标有数字4,-1,0,2. 随机取出一个小球,记下数字为m后放回,再随机取出一个小球记下数字为n,则直线$y=mx+n$不经过第一象限的概率为
$\frac{1}{4}$
.答案
6.$\frac{1}{4}$ 【解析】列表如下：
| n\m | 4 | -1 | 0 | 2 |
|----|----|----|----|----|
| 4 | (4,4) | (-1,4) | (0,4) | (2,4) |
| -1 | (4,-1) | (-1,-1) | (0,-1) | (2,-1) |
| 0 | (4,0) | (-1,0) | (0,0) | (2,0) |
| 2 | (4,2) | (-1,2) | (0,2) | (2,2) |
共有16种等可能的结果，其中直线$y=mx+n$不经过第一象限的结果有4种，所以直线$y=mx+n$不经过第一象限的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，故答案为$\frac{1}{4}$.
| n\m | 4 | -1 | 0 | 2 |
|----|----|----|----|----|
| 4 | (4,4) | (-1,4) | (0,4) | (2,4) |
| -1 | (4,-1) | (-1,-1) | (0,-1) | (2,-1) |
| 0 | (4,0) | (-1,0) | (0,0) | (2,0) |
| 2 | (4,2) | (-1,2) | (0,2) | (2,2) |
共有16种等可能的结果，其中直线$y=mx+n$不经过第一象限的结果有4种，所以直线$y=mx+n$不经过第一象限的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，故答案为$\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
要解决这个问题分三步思考：第一步，明确试验是有放回的两次取球，属于等可能事件，可通过列表法列出所有(m,n)的可能结果，计算总情况数；第二步，回忆一次函数$y=mx+n$的图像性质，推导直线不经过第一象限的条件：斜率$m≤0$且截距$n≤0$（若$m＞0$，直线必然经过第一象限；若$m≤0$时$n＞0$，直线也会经过第一象限）；第三步，数出满足条件的(m,n)的数量，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。
【解析】
根据题意，两次取球为有放回试验，列表表示所有可能的(m,n)组合如下：
| n\m | 4 | -1 | 0 | 2 |
|----|----|----|----|----|
| 4 | (4,4) | (-1,4) | (0,4) | (2,4) |
| -1 | (4,-1) | (-1,-1) | (0,-1) | (2,-1) |
| 0 | (4,0) | (-1,0) | (0,0) | (2,0) |
| 2 | (4,2) | (-1,2) | (0,2) | (2,2) |
由表格可知，共有16种等可能的结果。
直线$y=mx+n$不经过第一象限需满足$m≤0$且$n≤0$，符合条件的结果有$(-1,-1)$、$(-1,0)$、$(0,-1)$、$(0,0)$，共4种。
因此所求概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
一次函数图像性质，列表法求概率，古典概型计算
【点评】
本题是一次函数与概率的综合题，解题核心是准确掌握一次函数图像的象限分布规律，同时注意有放回取样的总结果数计算，避免漏算或错算符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题分三步思考：第一步，明确试验是有放回的两次取球，属于等可能事件，可通过列表法列出所有(m,n)的可能结果，计算总情况数；第二步，回忆一次函数$y=mx+n$的图像性质，推导直线不经过第一象限的条件：斜率$m≤0$且截距$n≤0$（若$m＞0$，直线必然经过第一象限；若$m≤0$时$n＞0$，直线也会经过第一象限）；第三步，数出满足条件的(m,n)的数量，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。
【解析】
根据题意，两次取球为有放回试验，列表表示所有可能的(m,n)组合如下：
| n\m | 4 | -1 | 0 | 2 |
|----|----|----|----|----|
| 4 | (4,4) | (-1,4) | (0,4) | (2,4) |
| -1 | (4,-1) | (-1,-1) | (0,-1) | (2,-1) |
| 0 | (4,0) | (-1,0) | (0,0) | (2,0) |
| 2 | (4,2) | (-1,2) | (0,2) | (2,2) |
由表格可知，共有16种等可能的结果。
直线$y=mx+n$不经过第一象限需满足$m≤0$且$n≤0$，符合条件的结果有$(-1,-1)$、$(-1,0)$、$(0,-1)$、$(0,0)$，共4种。
因此所求概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
一次函数图像性质，列表法求概率，古典概型计算
【点评】
本题是一次函数与概率的综合题，解题核心是准确掌握一次函数图像的象限分布规律，同时注意有放回取样的总结果数计算，避免漏算或错算符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
7[中]如图,正方形$ABCD$内接于$\odot O$,现有一小球可在$\odot O$内自由滚动,则小球停留在阴影部分内(各图形的边界忽略不计)的概率是（
A.$\dfrac{4}{π}$
B.$\dfrac{2\sqrt{2}}{π}$
C.$\dfrac{2}{π}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{π}$
(第7题图)
(第8题图)
C
）A.$\dfrac{4}{π}$
B.$\dfrac{2\sqrt{2}}{π}$
C.$\dfrac{2}{π}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{π}$
(第7题图)
(第8题图)
答案
7.C 【解析】连接AC,BD. 设$\odot O$的半径为1，则正方形ABCD的面积为$\frac{1}{2}BD· AC=2$，
∴小球停留在阴影部分内的概率为$\frac{S_{正方形ABCD}}{S_{\odot O}}=\frac{2}{π}$. 故选C.
思路分析
小球在圆内滚动,故停留在阴影部分内的概率=$\frac{阴影部分面积}{圆的总面积}$.
∴小球停留在阴影部分内的概率为$\frac{S_{正方形ABCD}}{S_{\odot O}}=\frac{2}{π}$. 故选C.
思路分析
小球在圆内滚动,故停留在阴影部分内的概率=$\frac{阴影部分面积}{圆的总面积}$.
解析
【分析】
这是一道几何概率的计算题，解题思路如下：首先明确几何概率的计算规则：小球停留在阴影部分的概率等于阴影区域（正方形）的面积与总区域（圆）的面积之比。接下来我们需要分别求出正方形和圆的面积，为了简化计算，可以设圆的半径为特殊值1，再结合正方形内接于圆的性质：正方形的对角线等于圆的直径，利用正方形面积公式和圆的面积公式分别计算两者面积，最后求比值即可得到结果。
【解析】
解：连接AC、BD，
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴AC、BD是$\odot O$的直径，且$AC⊥ BD$，$AC=BD$。
设$\odot O$的半径为1，则$AC=BD=2×1=2$，
正方形ABCD的面积可利用对角线计算：$S_{正方形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×2×2=2$，
$\odot O$的面积为：$S_{\odot O}=π×1^2=π$，
因此小球停留在阴影部分的概率为$\frac{S_{正方形ABCD}}{S_{\odot O}}=\frac{2}{π}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
几何概率计算，正方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题是几何概率的基础应用题型，解题的核心是明确概率等于对应区域的面积比值，计算时采用设特殊值的方法可简化运算，同时要熟练掌握圆内接正方形的性质，灵活选择正方形面积的计算方法。
【难度系数】
0.7
这是一道几何概率的计算题，解题思路如下：首先明确几何概率的计算规则：小球停留在阴影部分的概率等于阴影区域（正方形）的面积与总区域（圆）的面积之比。接下来我们需要分别求出正方形和圆的面积，为了简化计算，可以设圆的半径为特殊值1，再结合正方形内接于圆的性质：正方形的对角线等于圆的直径，利用正方形面积公式和圆的面积公式分别计算两者面积，最后求比值即可得到结果。
【解析】
解：连接AC、BD，
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴AC、BD是$\odot O$的直径，且$AC⊥ BD$，$AC=BD$。
设$\odot O$的半径为1，则$AC=BD=2×1=2$，
正方形ABCD的面积可利用对角线计算：$S_{正方形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×2×2=2$，
$\odot O$的面积为：$S_{\odot O}=π×1^2=π$，
因此小球停留在阴影部分的概率为$\frac{S_{正方形ABCD}}{S_{\odot O}}=\frac{2}{π}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
几何概率计算，正方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题是几何概率的基础应用题型，解题的核心是明确概率等于对应区域的面积比值，计算时采用设特殊值的方法可简化运算，同时要熟练掌握圆内接正方形的性质，灵活选择正方形面积的计算方法。
【难度系数】
0.7
8[中]如图,等边三角形内接于大$\odot O$,小$\odot O$是等边三角形的内切圆,随意向大$\odot O$内部区域抛一个小球,则小球落在小$\odot O$内部(阴影)区域的概率为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{9}$
B
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
8.B 【解析】如图，过点O作$OE⊥ BC$于点E，连接OB.
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ABC=60°$，
∴$∠ OBE=30°$. 设$OE=a$，则$OB=2a$，则小球落在小$\odot O$内部(阴影)区域的概率为$\frac{π a^2}{π (2a)^2}=\frac{1}{4}$. 故选B.
解析
【分析】
这是一道几何概率类题目，解题思考步骤如下：第一步，明确几何概率的计算规则：小球落在阴影区域的概率=阴影区域面积÷总区域面积，本题即求小⊙O的面积与大⊙O的面积的比值；第二步，寻找两个圆的半径关系：等边三角形的内切圆（小⊙O）和外接圆（大⊙O）的圆心重合，都是点O，我们可以过O作BC的垂线，连接OB，构造直角三角形，结合等边三角形内角为60°、角平分线分角为30°的性质，得到直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，即可推出大⊙O半径是小⊙O半径的2倍；第三步，根据圆的面积公式计算面积比，就能得到最终的概率。
【解析】
如图，过点O作$OE⊥ BC$于点E，连接OB。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ABC=60°$，OB为$∠ABC$的角平分线，
∴$∠OBE=30°$。
设小$\odot O$的半径$OE=a$，在$Rt△ OBE$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此大$\odot O$的半径$OB=2a$。
则小球落在小$\odot O$内部（阴影）区域的概率为：
$\frac{S_{小\odot O}}{S_{大\odot O}}=\frac{π· a^2}{π· (2a)^2}=\frac{πa^2}{4πa^2}=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
几何概率计算，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何概率的计算、特殊三角形与圆的相关性质，解题的关键是抓住等边三角形内外接圆同心的特点，借助特殊直角三角形的边长关系求出两圆的半径比，再通过面积比得到概率，属于中等难度的综合基础题。
【难度系数】
0.6
这是一道几何概率类题目，解题思考步骤如下：第一步，明确几何概率的计算规则：小球落在阴影区域的概率=阴影区域面积÷总区域面积，本题即求小⊙O的面积与大⊙O的面积的比值；第二步，寻找两个圆的半径关系：等边三角形的内切圆（小⊙O）和外接圆（大⊙O）的圆心重合，都是点O，我们可以过O作BC的垂线，连接OB，构造直角三角形，结合等边三角形内角为60°、角平分线分角为30°的性质，得到直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，即可推出大⊙O半径是小⊙O半径的2倍；第三步，根据圆的面积公式计算面积比，就能得到最终的概率。
【解析】
如图，过点O作$OE⊥ BC$于点E，连接OB。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ABC=60°$，OB为$∠ABC$的角平分线，
∴$∠OBE=30°$。
设小$\odot O$的半径$OE=a$，在$Rt△ OBE$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此大$\odot O$的半径$OB=2a$。
则小球落在小$\odot O$内部（阴影）区域的概率为：
$\frac{S_{小\odot O}}{S_{大\odot O}}=\frac{π· a^2}{π· (2a)^2}=\frac{πa^2}{4πa^2}=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
几何概率计算，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何概率的计算、特殊三角形与圆的相关性质，解题的关键是抓住等边三角形内外接圆同心的特点，借助特殊直角三角形的边长关系求出两圆的半径比，再通过面积比得到概率，属于中等难度的综合基础题。
【难度系数】
0.6
9[中]用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是
$\frac{1}{3}$
。答案
9.$\frac{1}{3}$ 【解析】画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，
∴配成紫色的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，故答案为$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
这是两步试验的概率求解问题，配紫色的条件为两个转盘分别转出红色和蓝色（顺序不限）。解题思路如下：首先将两个转盘的结果转化为等可能事件：第一个转盘红色区域圆心角为90°，占整个圆的$\frac{1}{4}$，蓝色区域占$\frac{3}{4}$，可等价为4个等可能结果：红、蓝、蓝、蓝；第二个转盘红、黄、蓝区域圆心角均为120°，各占$\frac{1}{3}$，共3个等可能结果。接下来通过画树状图列出所有等可能的总结果，再筛选出“一红一蓝”的符合条件的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到配成紫色的概率。
【解析】
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中满足“一个转出红色，另一个转出蓝色”即可配成紫色的结果有4种，根据概率公式可得：
配成紫色的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，几何概率
【点评】
本题是概率的常规应用题型，解题核心是准确将不同面积的转盘区域转化为等可能结果，清晰辨别配紫色的两种情况，避免漏算或多算符合条件的结果，熟练掌握树状图法即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
这是两步试验的概率求解问题，配紫色的条件为两个转盘分别转出红色和蓝色（顺序不限）。解题思路如下：首先将两个转盘的结果转化为等可能事件：第一个转盘红色区域圆心角为90°，占整个圆的$\frac{1}{4}$，蓝色区域占$\frac{3}{4}$，可等价为4个等可能结果：红、蓝、蓝、蓝；第二个转盘红、黄、蓝区域圆心角均为120°，各占$\frac{1}{3}$，共3个等可能结果。接下来通过画树状图列出所有等可能的总结果，再筛选出“一红一蓝”的符合条件的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到配成紫色的概率。
【解析】
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中满足“一个转出红色，另一个转出蓝色”即可配成紫色的结果有4种，根据概率公式可得：
配成紫色的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，几何概率
【点评】
本题是概率的常规应用题型，解题核心是准确将不同面积的转盘区域转化为等可能结果，清晰辨别配紫色的两种情况，避免漏算或多算符合条件的结果，熟练掌握树状图法即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
