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1[2025江苏苏州中考]一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$，则红球的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B 【解析】设红球的个数为x,则袋中总球数为x+3.根据题意得$\frac{3}{3+x}=\frac{3}{5}$,解得x=2,经检验,x=2是原分式方程的解,且符合题意,所以红球的个数为2.故选B.
解析
【分析】
本题考查概率公式的实际应用，解题思路如下：第一步，回忆概率的计算公式：随机事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以所有等可能的总情况数；第二步，明确本题中摸到白球的情况数是白球的个数3，总情况数是袋中白球与红球的总个数，未知量是红球个数，因此设红球个数为x，可表示出总球数为3+x；第三步，根据题目给出的摸到白球的概率列方程求解，最后要检验方程的解是否符合实际意义。
【解析】
设红球的个数为$ x $，则袋中球的总个数为$ 3+x $。
根据概率计算公式，摸到白球的概率为白球个数除以总球数，结合题意列方程：
$\frac{3}{3+x}=\frac{3}{5}$
解方程：
两边同乘$ 5(3+x) $去分母得：$ 15 = 3(3+x) $
展开得：$15 = 9 + 3x$
移项计算得：$3x = 6$，解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$3+x=5≠0$，且红球个数为2符合实际情况，因此$x=2$是原方程的解且符合题意。
即红球的个数为2，故选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，核心是对概率公式的灵活运用，解题时需注意分式方程的解要经过检验，确保符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
本题考查概率公式的实际应用，解题思路如下：第一步，回忆概率的计算公式：随机事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以所有等可能的总情况数；第二步，明确本题中摸到白球的情况数是白球的个数3，总情况数是袋中白球与红球的总个数，未知量是红球个数，因此设红球个数为x，可表示出总球数为3+x；第三步，根据题目给出的摸到白球的概率列方程求解，最后要检验方程的解是否符合实际意义。
【解析】
设红球的个数为$ x $，则袋中球的总个数为$ 3+x $。
根据概率计算公式，摸到白球的概率为白球个数除以总球数，结合题意列方程：
$\frac{3}{3+x}=\frac{3}{5}$
解方程：
两边同乘$ 5(3+x) $去分母得：$ 15 = 3(3+x) $
展开得：$15 = 9 + 3x$
移项计算得：$3x = 6$，解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$3+x=5≠0$，且红球个数为2符合实际情况，因此$x=2$是原方程的解且符合题意。
即红球的个数为2，故选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，核心是对概率公式的灵活运用，解题时需注意分式方程的解要经过检验，确保符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
2[2025甘肃兰州中考]现有甲、乙两个不透明盒子,其中甲盒装有分别写着d,t,l的三张声母卡片,乙盒装有分别写着a,e,i的三张韵母卡片(卡片除汉语拼音字母外,其余完全相同).若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片,则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是(
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A
)A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.A 【解析】将所有结果列表格如下:
| 声母\韵母 | a | e | i |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| d | da | de | di |
| t | ta | te | ti |
| l | la | le | li |
共有9种等可能的情况,符合题意的情况仅1种,故两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率为$\frac{1}{9}$.故选A.
| 声母\韵母 | a | e | i |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| d | da | de | di |
| t | ta | te | ti |
| l | la | le | li |
共有9种等可能的情况,符合题意的情况仅1种,故两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率为$\frac{1}{9}$.故选A.
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题可按三步思考：第一步，明确从甲、乙两个盒子各抽取1张卡片的所有组合都是等可能的，可采用列表法完整列举所有组合，避免出现遗漏或重复；第二步，确定“德”的读音对应的拼音是“de”，即需要同时抽到甲盒的声母“d”和乙盒的韵母“e”，这是唯一符合题意的情况；第三步，根据概率的计算公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，即可求出对应的概率。
【解析】
我们通过列表法列举所有等可能的抽取结果：
| 声母\韵母 | a | e | i |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| d | da | de | di |
| t | ta | te | ti |
| l | la | le | li |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两张卡片刚好拼成“德”字读音（组合为de）的情况只有1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{9}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式；古典概型
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查等可能事件概率的计算方法，解题关键是通过列表法不重不漏地列举出所有可能的结果，同时准确对应“德”字的拼音组合即可，整体解题难度较低。
【难度系数】
0.85
这是一道古典概型的概率计算问题，解题可按三步思考：第一步，明确从甲、乙两个盒子各抽取1张卡片的所有组合都是等可能的，可采用列表法完整列举所有组合，避免出现遗漏或重复；第二步，确定“德”的读音对应的拼音是“de”，即需要同时抽到甲盒的声母“d”和乙盒的韵母“e”，这是唯一符合题意的情况；第三步，根据概率的计算公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，即可求出对应的概率。
【解析】
我们通过列表法列举所有等可能的抽取结果：
| 声母\韵母 | a | e | i |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| d | da | de | di |
| t | ta | te | ti |
| l | la | le | li |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两张卡片刚好拼成“德”字读音（组合为de）的情况只有1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{9}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式；古典概型
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查等可能事件概率的计算方法，解题关键是通过列表法不重不漏地列举出所有可能的结果，同时准确对应“德”字的拼音组合即可，整体解题难度较低。
【难度系数】
0.85
3 [2025广东中考]如图，在直径BC为$2\sqrt{2}$的圆内有一个圆心角为$90°$的扇形ABC。随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
D
）A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
3.D 【解析】由题知∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴$AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=2$,
∴$S_{扇形ABC}=\frac{90π×2^2}{360}=π$.
∵BC是直径,$BC=2\sqrt{2}$,
∴$S_{圆}=π×(\sqrt{2})^2=2π$,
∴该粒米落在扇形内的概率为$\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$,故选D.
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴$AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=2$,
∴$S_{扇形ABC}=\frac{90π×2^2}{360}=π$.
∵BC是直径,$BC=2\sqrt{2}$,
∴$S_{圆}=π×(\sqrt{2})^2=2π$,
∴该粒米落在扇形内的概率为$\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$,故选D.
解析
【分析】
这是一道几何概率类题目，所求概率等于扇形ABC的面积与整个圆的面积的比值，解题需分三步进行：第一步根据圆的直径求出圆的半径，进而计算出圆的总面积；第二步结合扇形圆心角为90°、AB=AC的条件，可知△ABC是等腰直角三角形，通过勾股定理求出扇形的半径AB的长度，再代入扇形面积公式计算扇形面积；最后用扇形面积除以圆的面积，即可得到所求概率。
【解析】
解：
∵BC是圆的直径，$BC=2\sqrt{2}$，
∴圆的半径为$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
圆的面积$S_{圆}=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
∵扇形ABC的圆心角$∠BAC=90°$，且$AB=AC$，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
解得$AB=2$，即扇形的半径为2。
∴扇形ABC的面积$S_{扇形}=\frac{90π×2^2}{360}=π$。
∴米粒落在扇形内的概率为$\frac{S_{扇形}}{S_{圆}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
几何概率，扇形面积计算，圆面积计算
【点评】
本题属于基础题，将概率计算与平面图形面积计算相结合，解题核心是明确几何概率的计算方法为所求区域面积与总区域面积的比值，要求学生熟练掌握等腰直角三角形的性质及圆、扇形的面积计算公式。
【难度系数】
0.8
这是一道几何概率类题目，所求概率等于扇形ABC的面积与整个圆的面积的比值，解题需分三步进行：第一步根据圆的直径求出圆的半径，进而计算出圆的总面积；第二步结合扇形圆心角为90°、AB=AC的条件，可知△ABC是等腰直角三角形，通过勾股定理求出扇形的半径AB的长度，再代入扇形面积公式计算扇形面积；最后用扇形面积除以圆的面积，即可得到所求概率。
【解析】
解：
∵BC是圆的直径，$BC=2\sqrt{2}$，
∴圆的半径为$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
圆的面积$S_{圆}=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
∵扇形ABC的圆心角$∠BAC=90°$，且$AB=AC$，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
解得$AB=2$，即扇形的半径为2。
∴扇形ABC的面积$S_{扇形}=\frac{90π×2^2}{360}=π$。
∴米粒落在扇形内的概率为$\frac{S_{扇形}}{S_{圆}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
几何概率，扇形面积计算，圆面积计算
【点评】
本题属于基础题，将概率计算与平面图形面积计算相结合，解题核心是明确几何概率的计算方法为所求区域面积与总区域面积的比值，要求学生熟练掌握等腰直角三角形的性质及圆、扇形的面积计算公式。
【难度系数】
0.8
4[2025四川内江中考]在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是
$\frac{1}{2}$
。答案
4.$\frac{1}{2}$ 【解析】英文单词“banana”中共有6个字母,字母“a”有3个,
∴字母“a”被选中的概率是$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,故答案为$\frac{1}{2}$.
∴字母“a”被选中的概率是$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,故答案为$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这是一道简单的等可能事件概率计算题，解题思路如下：首先回忆等可能事件的概率计算公式：某事件发生的概率等于该事件对应的符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数。第一步先统计单词“banana”的总字母数，即选字母的所有等可能结果总数；第二步统计其中字母“a”的个数，即选中“a”的符合条件的结果数；最后将两个数值代入概率公式化简即可得到结果。
【解析】
解：英文单词“banana”中共有6个字母，任选一个字母时，每个字母被选中的可能性相等，其中字母“a”共有3个。
根据概率公式可得，字母“a”被选中的概率为：
$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 概率计算公式 2. 简单等可能事件概率求解
【点评】
本题属于基础概率题型，核心考查对简单概率计算方法的掌握，解题的关键是准确计数总字母数和目标字母的数量，仔细审题计数即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这是一道简单的等可能事件概率计算题，解题思路如下：首先回忆等可能事件的概率计算公式：某事件发生的概率等于该事件对应的符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数。第一步先统计单词“banana”的总字母数，即选字母的所有等可能结果总数；第二步统计其中字母“a”的个数，即选中“a”的符合条件的结果数；最后将两个数值代入概率公式化简即可得到结果。
【解析】
解：英文单词“banana”中共有6个字母，任选一个字母时，每个字母被选中的可能性相等，其中字母“a”共有3个。
根据概率公式可得，字母“a”被选中的概率为：
$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 概率计算公式 2. 简单等可能事件概率求解
【点评】
本题属于基础概率题型，核心考查对简单概率计算方法的掌握，解题的关键是准确计数总字母数和目标字母的数量，仔细审题计数即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
5[2025江苏徐州中考]如图,甲、乙为两个可以自由转动的转盘,它们分别被分成了4等份与3等份,每份内均标有字母.转盘停止转动后,若指针落在两个区域的交线上,则重转一次.
(1)转动甲盘,待其停止转动后,指针落在A区域的概率为
(2)转动甲、乙两个转盘,用列表或画树状图的方法,求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率.
(1)转动甲盘,待其停止转动后,指针落在A区域的概率为
$\frac{1}{4}$
;(2)转动甲、乙两个转盘,用列表或画树状图的方法,求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率.
答案
5.【解】(1)旋转甲转盘一次,指针落在A区域的概率是$\frac{1}{4}$.故答案为$\frac{1}{4}$.
(2)列表如下:
| | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P | (P,A) | (P,B) | (P,C) | (P,D) |
| Q | (Q,A) | (Q,B) | (Q,C) | (Q,D) |
| R | (R,A) | (R,B) | (R,C) | (R,D) |
由表知,共有12种等可能的情况,其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况有2种,
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
(2)列表如下:
| | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P | (P,A) | (P,B) | (P,C) | (P,D) |
| Q | (Q,A) | (Q,B) | (Q,C) | (Q,D) |
| R | (R,A) | (R,B) | (R,C) | (R,D) |
由表知,共有12种等可能的情况,其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况有2种,
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
(1) 转动甲盘时，转盘被均匀分成4等份，共4种等可能的结果，指针落在A区域是其中1种结果，根据古典概型概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可直接计算。
(2) 转动两个转盘属于两个独立的等可能事件，要计算符合条件的概率，首先需要用列表法列出所有等可能的结果，再从中筛选出“甲盘指针落在C区域，且乙盘指针未落在Q区域”的符合条件的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率。
【解析】
(1) 甲转盘被平均分成4等份，转动一次共有4种等可能的结果，其中指针落在A区域的结果有1种，因此指针落在A区域的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表列出所有等可能的结果如下：
| | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P | (P,A) | (P,B) | (P,C) | (P,D) |
| Q | (Q,A) | (Q,B) | (Q,C) | (Q,D) |
| R | (R,A) | (R,B) | (R,C) | (R,D) |
由表格可知，共有12种等可能的情况。其中满足“甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域”的情况有(P,C)、(R,C)，共2种。
因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，侧重考查对等可能事件概率计算方法的掌握，解题时需注意准确列出所有等可能结果，看清题干的限制条件，避免因看错条件选错符合要求的结果导致失分。
【难度系数】
0.8
(1) 转动甲盘时，转盘被均匀分成4等份，共4种等可能的结果，指针落在A区域是其中1种结果，根据古典概型概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可直接计算。
(2) 转动两个转盘属于两个独立的等可能事件，要计算符合条件的概率，首先需要用列表法列出所有等可能的结果，再从中筛选出“甲盘指针落在C区域，且乙盘指针未落在Q区域”的符合条件的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率。
【解析】
(1) 甲转盘被平均分成4等份，转动一次共有4种等可能的结果，其中指针落在A区域的结果有1种，因此指针落在A区域的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表列出所有等可能的结果如下：
| | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P | (P,A) | (P,B) | (P,C) | (P,D) |
| Q | (Q,A) | (Q,B) | (Q,C) | (Q,D) |
| R | (R,A) | (R,B) | (R,C) | (R,D) |
由表格可知，共有12种等可能的情况。其中满足“甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域”的情况有(P,C)、(R,C)，共2种。
因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，侧重考查对等可能事件概率计算方法的掌握，解题时需注意准确列出所有等可能结果，看清题干的限制条件，避免因看错条件选错符合要求的结果导致失分。
【难度系数】
0.8
6[2025陕西中考]某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A,B,C,D,E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式。同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同。
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向。将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张。请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率。
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
$\frac{1}{5}$
；(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向。将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张。请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率。
答案
6.(1)$\frac{1}{5}$ 【解析】由题意得,一共有五张卡片,卡片内容是“科技”的有一张,
∴将这五张卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,抽到的卡片内容是“科技”的概率为$\frac{1}{5}$,故答案为$\frac{1}{5}$.
(2)【解】根据题意列表如下:
| 第二小组\第一小组 | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (B,A) | (C,A) | (D,A) | (E,A) |
| B | (A,B) | (B,B) | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | (C,C) | (D,C) | (E,C) |
| D | (A,D) | (B,D) | (C,D) | (D,D) | (E,D) |
| E | (A,E) | (B,E) | (C,E) | (D,E) | (E,E) |
由表可知,共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的结果有20种,
∴这两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
∴将这五张卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,抽到的卡片内容是“科技”的概率为$\frac{1}{5}$,故答案为$\frac{1}{5}$.
(2)【解】根据题意列表如下:
| 第二小组\第一小组 | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (B,A) | (C,A) | (D,A) | (E,A) |
| B | (A,B) | (B,B) | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | (C,C) | (D,C) | (E,C) |
| D | (A,D) | (B,D) | (C,D) | (D,D) | (E,D) |
| E | (A,E) | (B,E) | (C,E) | (D,E) | (E,E) |
由表可知,共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的结果有20种,
∴这两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
(1) 第一问考查基础概率计算，解题思路为：明确概率公式为符合条件的情况数除以所有等可能的总情况数。本题总共有5张卡片，即总共有5种等可能的抽取结果，其中“科技”卡片仅1张，直接代入公式计算即可。
(2) 第二问是放回型两步抽取的概率问题，解题思路为：先通过列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，再统计出两个小组研究方向不同的结果数，最后代入概率公式计算。也可先计算两个小组研究方向相同的概率，用1减去该概率得到所求结果。
【解析】
(1) 由题意得，随机抽取1张卡片的所有等可能结果共5种，其中抽到内容为“科技”的卡片的结果有1种，根据概率公式：
$P(\mathrm{抽到科技})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{5}$。
(2) 抽取为放回式，两次抽取相互独立，列表如下：
| 第二小组\第一小组 | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (B,A) | (C,A) | (D,A) | (E,A) |
| B | (A,B) | (B,B) | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | (C,C) | (D,C) | (E,C) |
| D | (A,D) | (B,D) | (C,D) | (D,D) | (E,D) |
| E | (A,E) | (B,E) | (C,E) | (D,E) | (E,E) |
由表可知，所有等可能的结果共25种，其中两个小组研究方向不同的结果有20种，因此：
$P(\mathrm{两个小组研究方向不同})=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{5}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{4}{5}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，放回型概率试验
【点评】
本题结合实践活动情境考查概率的基础应用，第一问为单步概率的直接计算，难度较低；第二问考查两步放回试验的概率求解，要求学生熟练掌握列表或画树状图列举结果的方法，细心统计符合条件的结果数即可得分，是概率板块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问考查基础概率计算，解题思路为：明确概率公式为符合条件的情况数除以所有等可能的总情况数。本题总共有5张卡片，即总共有5种等可能的抽取结果，其中“科技”卡片仅1张，直接代入公式计算即可。
(2) 第二问是放回型两步抽取的概率问题，解题思路为：先通过列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，再统计出两个小组研究方向不同的结果数，最后代入概率公式计算。也可先计算两个小组研究方向相同的概率，用1减去该概率得到所求结果。
【解析】
(1) 由题意得，随机抽取1张卡片的所有等可能结果共5种，其中抽到内容为“科技”的卡片的结果有1种，根据概率公式：
$P(\mathrm{抽到科技})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{5}$。
(2) 抽取为放回式，两次抽取相互独立，列表如下：
| 第二小组\第一小组 | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (B,A) | (C,A) | (D,A) | (E,A) |
| B | (A,B) | (B,B) | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | (C,C) | (D,C) | (E,C) |
| D | (A,D) | (B,D) | (C,D) | (D,D) | (E,D) |
| E | (A,E) | (B,E) | (C,E) | (D,E) | (E,E) |
由表可知，所有等可能的结果共25种，其中两个小组研究方向不同的结果有20种，因此：
$P(\mathrm{两个小组研究方向不同})=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{5}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{4}{5}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，放回型概率试验
【点评】
本题结合实践活动情境考查概率的基础应用，第一问为单步概率的直接计算，难度较低；第二问考查两步放回试验的概率求解，要求学生熟练掌握列表或画树状图列举结果的方法，细心统计符合条件的结果数即可得分，是概率板块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
