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24. (12分)【问题探究】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片,按如图方式拼正方形.
第①个图形中有1个小正方形；
第②个图形中有1+3=4(个)小正方形,比第①个图形多3个小正方形；
第③个图形中有1+3+5=9(个)小正方形,比第②个图形多5个小正方形；
……
(1)根据上面的发现我们可以猜想(用含n的整式表示):
①$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=$
②$(n+1)^2 -n^2 =$
(2)请根据你的发现计算:
①$1+3+5+7+\dots+99=$
②$101+103+105+\dots+199=$
【知识运用】如果一个数可用几个连续奇数的和来表示,我们称这个数为“好数”,例如:$9=1+3+5,32=5+7+9+11$,则称9和32都是“好数”.
请尝试将下列“好数”用连续奇数的和表示出来:
(3)①$7^2 =$
②$99=$
(4)利用上面的结论,计算$-1+2^2 -3^2 +4^2 -5^2 +6^2 -\dots-27^2 +28^2$的值.
第①个图形中有1个小正方形；
第②个图形中有1+3=4(个)小正方形,比第①个图形多3个小正方形；
第③个图形中有1+3+5=9(个)小正方形,比第②个图形多5个小正方形；
……
(1)根据上面的发现我们可以猜想(用含n的整式表示):
①$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=$
$n^2$
;②$(n+1)^2 -n^2 =$
$2n+1$
.(2)请根据你的发现计算:
①$1+3+5+7+\dots+99=$
2500
;②$101+103+105+\dots+199=$
7500
.【知识运用】如果一个数可用几个连续奇数的和来表示,我们称这个数为“好数”,例如:$9=1+3+5,32=5+7+9+11$,则称9和32都是“好数”.
请尝试将下列“好数”用连续奇数的和表示出来:
(3)①$7^2 =$
$1+3+5+7+9+11+13$
;②$99=$
$3+5+7+9+11+13+15+17+19$(答案不唯一)
.(4)利用上面的结论,计算$-1+2^2 -3^2 +4^2 -5^2 +6^2 -\dots-27^2 +28^2$的值.
答案
24. (1)①$n^2$ ②$2n+1$ 解析:①因为$1+3=4=2^2$,$1+3+5=9=3^2$,$1+3+5+7=16=4^2$,$\dots$,所以$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$;②$1+3+5+7+\dots+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)^2$,$(n+1)^2-n^2=2n+1$.
(2)①2 500 ②7 500 解析:①$1+3+5+7+\dots+99=50^2=2500$.②因为$1+3+5+\dots+199=100^2=10000$,$1+3+5+\dots+99=50^2=2500$,所以$101+103+105+\dots+199=10000-2500=7500$.
(3)①$1+3+5+7+9+11+13$
②$3+5+7+9+11+13+15+17+19$(答案不唯一)
(4)解法一:原式$=(2^2-1)+(4^2-3^2)+(6^2-5^2)+\dots+(28^2-27^2)=(2×1+1)+(2×3+1)+(2×5+1)+\dots+(2×27+1)=2×(1+3+5+\dots+27)+14=2×196+14=406$.
解法二:$(n+1)^2-n^2=2n+1=n+(n+1)$,原式$=(2^2-1)+(4^2-3^2)+(6^2-5^2)+\dots+(28^2-27^2)=1+2+3+4+5+6+\dots+27+28=\dfrac{(1+28)×28}{2}=406$.
(2)①2 500 ②7 500 解析:①$1+3+5+7+\dots+99=50^2=2500$.②因为$1+3+5+\dots+199=100^2=10000$,$1+3+5+\dots+99=50^2=2500$,所以$101+103+105+\dots+199=10000-2500=7500$.
(3)①$1+3+5+7+9+11+13$
②$3+5+7+9+11+13+15+17+19$(答案不唯一)
(4)解法一:原式$=(2^2-1)+(4^2-3^2)+(6^2-5^2)+\dots+(28^2-27^2)=(2×1+1)+(2×3+1)+(2×5+1)+\dots+(2×27+1)=2×(1+3+5+\dots+27)+14=2×196+14=406$.
解法二:$(n+1)^2-n^2=2n+1=n+(n+1)$,原式$=(2^2-1)+(4^2-3^2)+(6^2-5^2)+\dots+(28^2-27^2)=1+2+3+4+5+6+\dots+27+28=\dfrac{(1+28)×28}{2}=406$.
解析
【分析】
这是一道结合图形的规律探究类题目，解题思路如下：
1. 先观察前几个图形的小正方形总个数：第①个$1=1^2$，第②个$1+3=2^2$，第③个$1+3+5=3^2$，归纳出从1开始的连续$n$个奇数相加的和等于$n^2$的规律，同时对比相邻图形的正方形个数差，可得相邻正整数的平方差为$2n+1$的规律。
2. 计算类问题可直接代入规律求解，非从1开始的连续奇数和，可通过“从1到最大奇数的和减去1到最小奇数前一个奇数的和”计算。
3. “好数”问题利用$n^2$等于$n$个从1开始的连续奇数和的规律，拆分出连续奇数相加的形式即可。
4. 混合符号的平方运算可采用分组法，将相邻负平方和正平方分为一组，用平方差规律简化计算。
【解析】
(1) ① 观察已知式子：$1=1^2$，$1+3=2^2$，$1+3+5=3^2$，可发现从1开始的连续$n$个奇数的和等于$n$的平方，即$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$。
② 方法1：由①可知$1+3+5+\dots+(2n+1)=(n+1)^2$，减去$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$，可得$(n+1)^2-n^2=2n+1$；方法2：展开计算得$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$。
(2) ① $1+3+5+\dots+99$共有$\frac{99+1}{2}=50$个连续奇数，根据规律得和为$50^2=2500$。
② $1+3+5+\dots+199$共有$\frac{199+1}{2}=100$个奇数，和为$100^2=10000$，减去$1+3+\dots+99=2500$，可得$101+103+\dots+199=10000-2500=7500$。
(3) ① $7^2$是从1开始的7个连续奇数的和，最后一个奇数为$2×7-1=13$，即$7^2=1+3+5+7+9+11+13$。
② 拆分99为连续奇数的和：$3+5+7+9+11+13+15+17+19=99$（答案不唯一）。
(4) 解法一：分组得原式=$(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+\dots+(28^2-27^2)$，共14组，代入$(n+1)^2-n^2=2n+1$得：
原式=$(2×1+1)+(2×3+1)+\dots+(2×27+1)$
$=2×(1+3+5+\dots+27)+14$
$1+3+\dots+27$共14个奇数，和为$14^2=196$，代入得$2×196+14=406$。
解法二：利用$(n+1)^2-n^2=(n+1)+n$，分组得：
原式=$1+2+3+4+\dots+27+28$
根据求和公式得$\frac{(1+28)×28}{2}=406$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{n^2}$；②$\boldsymbol{2n+1}$
(2)①$\boldsymbol{2500}$；②$\boldsymbol{7500}$
(3)①$\boldsymbol{1+3+5+7+9+11+13}$；②$\boldsymbol{3+5+7+9+11+13+15+17+19}$（答案不唯一）
(4)$\boldsymbol{406}$
【知识点】
规律探究；有理数混合运算；代数式表示规律
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的规律探究题，通过图形直观特点归纳数字运算规律，再将规律迁移到各类计算场景中，既考查观察、归纳、总结的能力，也考查规律的灵活应用能力，分组计算时组数的确定是解题易错点。
【难度系数】
0.65
这是一道结合图形的规律探究类题目，解题思路如下：
1. 先观察前几个图形的小正方形总个数：第①个$1=1^2$，第②个$1+3=2^2$，第③个$1+3+5=3^2$，归纳出从1开始的连续$n$个奇数相加的和等于$n^2$的规律，同时对比相邻图形的正方形个数差，可得相邻正整数的平方差为$2n+1$的规律。
2. 计算类问题可直接代入规律求解，非从1开始的连续奇数和，可通过“从1到最大奇数的和减去1到最小奇数前一个奇数的和”计算。
3. “好数”问题利用$n^2$等于$n$个从1开始的连续奇数和的规律，拆分出连续奇数相加的形式即可。
4. 混合符号的平方运算可采用分组法，将相邻负平方和正平方分为一组，用平方差规律简化计算。
【解析】
(1) ① 观察已知式子：$1=1^2$，$1+3=2^2$，$1+3+5=3^2$，可发现从1开始的连续$n$个奇数的和等于$n$的平方，即$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$。
② 方法1：由①可知$1+3+5+\dots+(2n+1)=(n+1)^2$，减去$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$，可得$(n+1)^2-n^2=2n+1$；方法2：展开计算得$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$。
(2) ① $1+3+5+\dots+99$共有$\frac{99+1}{2}=50$个连续奇数，根据规律得和为$50^2=2500$。
② $1+3+5+\dots+199$共有$\frac{199+1}{2}=100$个奇数，和为$100^2=10000$，减去$1+3+\dots+99=2500$，可得$101+103+\dots+199=10000-2500=7500$。
(3) ① $7^2$是从1开始的7个连续奇数的和，最后一个奇数为$2×7-1=13$，即$7^2=1+3+5+7+9+11+13$。
② 拆分99为连续奇数的和：$3+5+7+9+11+13+15+17+19=99$（答案不唯一）。
(4) 解法一：分组得原式=$(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+\dots+(28^2-27^2)$，共14组，代入$(n+1)^2-n^2=2n+1$得：
原式=$(2×1+1)+(2×3+1)+\dots+(2×27+1)$
$=2×(1+3+5+\dots+27)+14$
$1+3+\dots+27$共14个奇数，和为$14^2=196$，代入得$2×196+14=406$。
解法二：利用$(n+1)^2-n^2=(n+1)+n$，分组得：
原式=$1+2+3+4+\dots+27+28$
根据求和公式得$\frac{(1+28)×28}{2}=406$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{n^2}$；②$\boldsymbol{2n+1}$
(2)①$\boldsymbol{2500}$；②$\boldsymbol{7500}$
(3)①$\boldsymbol{1+3+5+7+9+11+13}$；②$\boldsymbol{3+5+7+9+11+13+15+17+19}$（答案不唯一）
(4)$\boldsymbol{406}$
【知识点】
规律探究；有理数混合运算；代数式表示规律
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的规律探究题，通过图形直观特点归纳数字运算规律，再将规律迁移到各类计算场景中，既考查观察、归纳、总结的能力，也考查规律的灵活应用能力，分组计算时组数的确定是解题易错点。
【难度系数】
0.65
25. (15分)(2025·广州期末改编)在数轴上,如果点A表示的数记为a,点B表示的数记为b,则A,B两点间的距离可以记作|a−b|.我们把数轴上两点之间的距离,用两点的大写字母表示,如:点A与点B之间的距离表示为AB.如图,在数轴上,点O表示的数为0,点A,B,C表示的数分别为a,b,c,$(a+10)^2+(b-12)^2+|c-28|=0$.
(1)$a=$
(2)求多项式$-2a^2b+\frac{1}{3}ab^2-bc+2c^2$的值.
(3)在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器,当粒子穿过加速器(加速器宽度可忽略不计)时,其运动速度将迅速变成原来的3倍.在C处放置了一块挡板,当粒子碰撞到挡板后,立即反弹,速度不变.甲粒子从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动.同时,乙粒子从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动,设运动时间为t.
①当甲、乙两粒子第一次相遇时,相遇点表示的数为
②当甲、乙两粒子距离为4时,求t的值.
(1)$a=$
-10
,$b=$12
,$c=$28
.(2)求多项式$-2a^2b+\frac{1}{3}ab^2-bc+2c^2$的值.
(3)在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器,当粒子穿过加速器(加速器宽度可忽略不计)时,其运动速度将迅速变成原来的3倍.在C处放置了一块挡板,当粒子碰撞到挡板后,立即反弹,速度不变.甲粒子从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动.同时,乙粒子从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动,设运动时间为t.
①当甲、乙两粒子第一次相遇时,相遇点表示的数为
14.4
;②当甲、乙两粒子距离为4时,求t的值.
答案
解:在$Rt△ ADC$中,
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$=8^2+6^2$
$=100$,
$\therefore AC = 10$(负值舍去),
在$△ ABC$中,$BC = 24$,$AB = 26$,
$\because AC^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 676$,
$AB^2 = 26^2 = 676$,
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$,
$\therefore △ ACB$为直角三角形,且$∠ ACB=90°$,
$\therefore S_{阴影} = \frac{1}{2}AC · BC - \frac{1}{2}AD · CD$
$= \frac{1}{2} × 10 × 24 - \frac{1}{2} × 8 × 6 = 96$,
$\therefore$阴影部分的面积是$\boldsymbol{96}$。
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$=8^2+6^2$
$=100$,
$\therefore AC = 10$(负值舍去),
在$△ ABC$中,$BC = 24$,$AB = 26$,
$\because AC^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 676$,
$AB^2 = 26^2 = 676$,
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$,
$\therefore △ ACB$为直角三角形,且$∠ ACB=90°$,
$\therefore S_{阴影} = \frac{1}{2}AC · BC - \frac{1}{2}AD · CD$
$= \frac{1}{2} × 10 × 24 - \frac{1}{2} × 8 × 6 = 96$,
$\therefore$阴影部分的面积是$\boldsymbol{96}$。
解析
【分析】
(1) 平方数和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此分别列方程即可求出a、b、c的值。
(2) 直接将第(1)问求出的a、b、c的值代入多项式，按照有理数运算规则逐步计算即可，注意运算顺序和符号的处理。
(3) 这是数轴动点问题，需先明确粒子的运动规则：粒子过原点后速度变为原来的3倍，碰到C处挡板后反弹且速度不变。①分析第一次相遇的运动阶段：甲过原点后速度提升，乙到达C点后反弹向左，两者相向而行时相遇，根据相遇时位置相等列方程求解即可。②两粒子距离为4的情况需分段讨论，分别考虑相遇前、相遇后、甲反弹后、乙过原点速度变化后的不同阶段，根据路程差的关系列方程，做到不重不漏。
【解析】
(1) $\because (a+10)^2≥0$，$(b-12)^2≥0$，$|c-28|≥0$，且$(a+10)^2+(b-12)^2+|c-28|=0$
$\therefore a+10=0$，$b-12=0$，$c-28=0$
解得$a=-10$，$b=12$，$c=28$。
(2) 将$a=-10$，$b=12$，$c=28$代入多项式：
$\begin{aligned}-2a^2b+\frac{1}{3}ab^2-bc+2c^2&=-2×(-10)^2×12+\frac{1}{3}×(-10)×12^2-12×28+2×28^2\\&=-2400-480-336+1568\\&=-1648\end{aligned}$
(3) ①甲从A到O的时间为$10÷2=5$秒，5秒后甲速度变为$2×3=6$单位/秒；乙从B到C的时间为$(28-12)÷4=4$秒，4秒后乙反弹向左运动，速度为4单位/秒。
设t秒时第一次相遇，此时甲的位置为$6(t-5)$，乙的位置为$28-4(t-4)$，相遇时位置相等：
$6(t-5)=28-4(t-4)$
解得$t=7.4$，相遇点表示的数为$6×(7.4-5)=14.4$。
②分情况讨论：
Ⅰ.第一次相遇前两粒子距离为4：
$6t-20+4t+4=38+16$，解得$t=7$；
Ⅱ.第一次相遇后两粒子距离为4：
$6t-20+4t-4=38+16$，解得$t=7.8$；
Ⅲ.甲从C反弹、乙过原点速度变为12单位/秒后，未追上时距离为4：
列方程解得$t=\frac{61}{3}$；
Ⅳ.甲追上乙后两粒子距离为4：
列方程解得$t=\frac{65}{3}$。
综上，t的值为7或7.8或$\frac{61}{3}$或$\frac{65}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$，$\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{28}$
(2) $\boldsymbol{-1648}$
(3) ①$\boldsymbol{14.4}$
②$\boldsymbol{t=7}$或$\boldsymbol{7.8}$或$\boldsymbol{\dfrac{61}{3}}$或$\boldsymbol{\dfrac{65}{3}}$
【知识点】
非负数的性质，整式求值，数轴动点问题
【点评】
本题综合性较强，前两问属于基础考查，第三问的动点问题是难点，需要准确梳理粒子运动的速度变化、反弹等特殊节点，分类讨论不同的运动阶段，对逻辑分析和分段处理问题的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 平方数和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此分别列方程即可求出a、b、c的值。
(2) 直接将第(1)问求出的a、b、c的值代入多项式，按照有理数运算规则逐步计算即可，注意运算顺序和符号的处理。
(3) 这是数轴动点问题，需先明确粒子的运动规则：粒子过原点后速度变为原来的3倍，碰到C处挡板后反弹且速度不变。①分析第一次相遇的运动阶段：甲过原点后速度提升，乙到达C点后反弹向左，两者相向而行时相遇，根据相遇时位置相等列方程求解即可。②两粒子距离为4的情况需分段讨论，分别考虑相遇前、相遇后、甲反弹后、乙过原点速度变化后的不同阶段，根据路程差的关系列方程，做到不重不漏。
【解析】
(1) $\because (a+10)^2≥0$，$(b-12)^2≥0$，$|c-28|≥0$，且$(a+10)^2+(b-12)^2+|c-28|=0$
$\therefore a+10=0$，$b-12=0$，$c-28=0$
解得$a=-10$，$b=12$，$c=28$。
(2) 将$a=-10$，$b=12$，$c=28$代入多项式：
$\begin{aligned}-2a^2b+\frac{1}{3}ab^2-bc+2c^2&=-2×(-10)^2×12+\frac{1}{3}×(-10)×12^2-12×28+2×28^2\\&=-2400-480-336+1568\\&=-1648\end{aligned}$
(3) ①甲从A到O的时间为$10÷2=5$秒，5秒后甲速度变为$2×3=6$单位/秒；乙从B到C的时间为$(28-12)÷4=4$秒，4秒后乙反弹向左运动，速度为4单位/秒。
设t秒时第一次相遇，此时甲的位置为$6(t-5)$，乙的位置为$28-4(t-4)$，相遇时位置相等：
$6(t-5)=28-4(t-4)$
解得$t=7.4$，相遇点表示的数为$6×(7.4-5)=14.4$。
②分情况讨论：
Ⅰ.第一次相遇前两粒子距离为4：
$6t-20+4t+4=38+16$，解得$t=7$；
Ⅱ.第一次相遇后两粒子距离为4：
$6t-20+4t-4=38+16$，解得$t=7.8$；
Ⅲ.甲从C反弹、乙过原点速度变为12单位/秒后，未追上时距离为4：
列方程解得$t=\frac{61}{3}$；
Ⅳ.甲追上乙后两粒子距离为4：
列方程解得$t=\frac{65}{3}$。
综上，t的值为7或7.8或$\frac{61}{3}$或$\frac{65}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$，$\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{28}$
(2) $\boldsymbol{-1648}$
(3) ①$\boldsymbol{14.4}$
②$\boldsymbol{t=7}$或$\boldsymbol{7.8}$或$\boldsymbol{\dfrac{61}{3}}$或$\boldsymbol{\dfrac{65}{3}}$
【知识点】
非负数的性质，整式求值，数轴动点问题
【点评】
本题综合性较强，前两问属于基础考查，第三问的动点问题是难点，需要准确梳理粒子运动的速度变化、反弹等特殊节点，分类讨论不同的运动阶段，对逻辑分析和分段处理问题的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
