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7.（镇江中考改编）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响.大致海拔每升高100米，气温约下降0.6 ℃.有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6 ℃，则此时山顶的气温约为（
A.0 ℃
B.-4 ℃
C.-6 ℃
D.-12 ℃
C
）A.0 ℃
B.-4 ℃
C.-6 ℃
D.-12 ℃
答案
6＞3
6 + 1 - 3 = 4（个）
答：华华任意吃1个汤圆，吃到芝麻馅的可能性大；如果要使吃到花生馅汤圆的可能性大，至少要再盛4个花生馅汤圆。
6 + 1 - 3 = 4（个）
答：华华任意吃1个汤圆，吃到芝麻馅的可能性大；如果要使吃到花生馅汤圆的可能性大，至少要再盛4个花生馅汤圆。
8. 下列数中能整除$(-8)^{199}+(-8)^{198}$的是（
A.3
B.5
C.7
D.9
C
）A.3
B.5
C.7
D.9
答案
1. C
解析
【分析】
首先观察算式是两个高次幂的和，直接计算高次幂运算量极大，因此考虑提取两个幂的公因式简化运算。两个幂的底数相同，指数分别为199和198，公因式为底数的较小指数次幂即$(-8)^{198}$，提取公因式后化简算式，判断化简结果中包含哪个选项的因数，即可得出能整除该式的数。
【解析】
解：对$(-8)^{199}+(-8)^{198}$提取公因式$(-8)^{198}$，可得：
$\begin{aligned}(-8)^{199}+(-8)^{198}&=(-8)^{198}×(-8) + (-8)^{198}×1\\&=(-8)^{198}×(-8+1)\\&=8^{198}×(-7)\\&=-7×8^{198}\end{aligned}$
由于$8^{198}$是整数，因此$-7×8^{198}$是7的整数倍，能被7整除。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方，提公因式法，整除概念
【点评】
本题解题核心是通过提公因式简化高次幂的求和运算，避免直接计算高次幂的繁杂过程，解题时需注意负数偶次幂的结果为正，符号不要出错。
【难度系数】
0.7
首先观察算式是两个高次幂的和，直接计算高次幂运算量极大，因此考虑提取两个幂的公因式简化运算。两个幂的底数相同，指数分别为199和198，公因式为底数的较小指数次幂即$(-8)^{198}$，提取公因式后化简算式，判断化简结果中包含哪个选项的因数，即可得出能整除该式的数。
【解析】
解：对$(-8)^{199}+(-8)^{198}$提取公因式$(-8)^{198}$，可得：
$\begin{aligned}(-8)^{199}+(-8)^{198}&=(-8)^{198}×(-8) + (-8)^{198}×1\\&=(-8)^{198}×(-8+1)\\&=8^{198}×(-7)\\&=-7×8^{198}\end{aligned}$
由于$8^{198}$是整数，因此$-7×8^{198}$是7的整数倍，能被7整除。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方，提公因式法，整除概念
【点评】
本题解题核心是通过提公因式简化高次幂的求和运算，避免直接计算高次幂的繁杂过程，解题时需注意负数偶次幂的结果为正，符号不要出错。
【难度系数】
0.7
9. 输入数值1 921,按如图所示的程序运算(完成一个方框内的运算后,把结果输入下一个方框继续进行运算),输出的结果为
2021
。答案
总格子数：4×3=12
象的数量：8个
马的数量：3个
牛的数量：0个
8＞3＞0
答：(C)赢的可能性最大，(A)不可能赢。
象的数量：8个
马的数量：3个
牛的数量：0个
8＞3＞0
答：(C)赢的可能性最大，(A)不可能赢。
10. 阅读材料:对于任何数,我们规定符号$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的意义是$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.例如:$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1×4-2×3=-2$.
(1)按照这个规定,请你计算$\begin{vmatrix}5&6\\-2&8\end{vmatrix}$的值;
(2)按照这个规定,计算$\begin{vmatrix}2&3×(-3)+2\\-1&(-3)^2-2\end{vmatrix}$的值.
(1)按照这个规定,请你计算$\begin{vmatrix}5&6\\-2&8\end{vmatrix}$的值;
(2)按照这个规定,计算$\begin{vmatrix}2&3×(-3)+2\\-1&(-3)^2-2\end{vmatrix}$的值.
答案
所有任选3根的组合共4种：
1. 3厘米、4厘米、5厘米：3+4＞5，可组成三角形
2. 3厘米、4厘米、7厘米：3+4=7，不可组成三角形
3. 3厘米、5厘米、7厘米：3+5＞7，可组成三角形
4. 4厘米、5厘米、7厘米：4+5＞7，可组成三角形
能组成三角形的情况共3种，不能组成三角形的情况共1种。
3 ＞ 1
答：A。
1. 3厘米、4厘米、5厘米：3+4＞5，可组成三角形
2. 3厘米、4厘米、7厘米：3+4=7，不可组成三角形
3. 3厘米、5厘米、7厘米：3+5＞7，可组成三角形
4. 4厘米、5厘米、7厘米：4+5＞7，可组成三角形
能组成三角形的情况共3种，不能组成三角形的情况共1种。
3 ＞ 1
答：A。
11.（常德中考）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中$\frac{1}{6}$为红色弹珠，$\frac{1}{4}$为绿色弹珠，有8个黑色弹珠.刘凯的蓝色弹珠最多有
20个
.答案
1. 3
2. 从左到右依次填入：140、47、93
3. 设计方案：将转盘平均分成6等份，其中3份设为面巾纸中奖区域，2份设为柔顺剂中奖区域，1份设为粘尘器中奖区域，抽奖时转动转盘，指针指向哪个区域就获得对应的奖品。
答：该抽奖方式下，剩余数量最多的面巾纸中奖概率最高，柔顺剂中奖概率次之，剩余数量最少的粘尘器中奖概率最低，下午抽奖结束后三种奖品剩下的数量可尽可能一样多。
2. 从左到右依次填入：140、47、93
3. 设计方案：将转盘平均分成6等份，其中3份设为面巾纸中奖区域，2份设为柔顺剂中奖区域，1份设为粘尘器中奖区域，抽奖时转动转盘，指针指向哪个区域就获得对应的奖品。
答：该抽奖方式下，剩余数量最多的面巾纸中奖概率最高，柔顺剂中奖概率次之，剩余数量最少的粘尘器中奖概率最低，下午抽奖结束后三种奖品剩下的数量可尽可能一样多。
12. 观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$。
将以上三个等式两边分别相加，得$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
(1) 猜想并写出：$\frac{1}{n×(n+1)}=$
(2) 直接写出计算结果：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{999×1000}=$
(3) 探究并计算，请写出计算过程：
① $\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{500×502}$；
② $-\frac{1}{1×4}-\frac{1}{4×7}-\frac{1}{7×10}-…-\frac{1}{997×1000}$；
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$。
将以上三个等式两边分别相加，得$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
(1) 猜想并写出：$\frac{1}{n×(n+1)}=$
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
。(2) 直接写出计算结果：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{999×1000}=$
$\frac{999}{1000}$
。(3) 探究并计算，请写出计算过程：
① $\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{500×502}$；
② $-\frac{1}{1×4}-\frac{1}{4×7}-\frac{1}{7×10}-…-\frac{1}{997×1000}$；
答案
12. (1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 解析:由$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,猜想$\frac{1}{n×(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
(2) $\frac{999}{1\ 000}$ 解析:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{999×1\ 000}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{999}-\frac{1}{1\ 000}=1-\frac{1}{1\ 000}=\frac{999}{1\ 000}$.
(3) ①$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{500×502}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{500}-\frac{1}{502})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{502})=\frac{1}{2}×\frac{250}{502}=\frac{125}{502}$.
②$-\frac{1}{1×4}-\frac{1}{4×7}-\frac{1}{7×10}-…-\frac{1}{997×1\ 000}$
$=-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{997}-\frac{1}{1\ 000})$
$=-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{1\ 000})=-\frac{1}{3}×\frac{999}{1\ 000}=-\frac{333}{1\ 000}$.
(2) $\frac{999}{1\ 000}$ 解析:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{999×1\ 000}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{999}-\frac{1}{1\ 000}=1-\frac{1}{1\ 000}=\frac{999}{1\ 000}$.
(3) ①$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{500×502}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{500}-\frac{1}{502})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{502})=\frac{1}{2}×\frac{250}{502}=\frac{125}{502}$.
②$-\frac{1}{1×4}-\frac{1}{4×7}-\frac{1}{7×10}-…-\frac{1}{997×1\ 000}$
$=-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{997}-\frac{1}{1\ 000})$
$=-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{1\ 000})=-\frac{1}{3}×\frac{999}{1\ 000}=-\frac{333}{1\ 000}$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：观察给出的3个示例等式，可发现等式左侧是分子为1、分母为相邻两个正整数乘积的分数，右侧是分别以这两个相邻整数为分母、分子为1的分数的差，按该规律即可写出通用表达式。
2. 第(2)问：直接套用第(1)问得到的裂项规律拆分每一项，拆分后中间的分数会两两抵消，仅剩首项1和末项$-\frac{1}{1000}$，计算即可得到结果。
3. 第(3)问：①每一项的分母是差值为2的两个偶数的乘积，无法直接用基础裂项公式，先提取公因子$\frac{1}{2}$，将各项转化为符合基础裂项的形式后，再拆分抵消计算；②每一项的分母是差值为3的正整数乘积，且整体带负号，先提取公因子$-\frac{1}{3}$，再裂项拆分，中间项抵消后计算首尾即可。
【解析】
(1) 根据题中等式的规律：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，可猜想$\frac{1}{n×(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) 应用裂项规律拆分计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{999×1000}\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}\\=&1-\frac{1}{1000}\\=&\frac{999}{1000}\end{aligned}$
(3) ① 先提取$\frac{1}{2}$再裂项计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{500×502}\\=&\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{500}-\frac{1}{502})\\=&\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{502})\\=&\frac{1}{2}×\frac{250}{502}\\=&\frac{125}{502}\end{aligned}$
② 先提取$-\frac{1}{3}$再裂项计算：
$\begin{aligned}&-\frac{1}{1×4}-\frac{1}{4×7}-\frac{1}{7×10}-…-\frac{1}{997×1000}\\=&-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{997}-\frac{1}{1000})\\=&-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{1000})\\=&-\frac{1}{3}×\frac{999}{1000}\\=&-\frac{333}{1000}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2) $\frac{999}{1000}$
(3) ① $\frac{125}{502}$；② $-\frac{333}{1000}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，规律探究
【点评】
本题以规律探究为载体，考查裂项相消法在分数求和中的应用，核心是根据分母两个数的差值确定裂项的系数，拆分后中间项相互抵消，仅需计算首尾两项即可大幅简化运算，能有效锻炼归纳推理能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：观察给出的3个示例等式，可发现等式左侧是分子为1、分母为相邻两个正整数乘积的分数，右侧是分别以这两个相邻整数为分母、分子为1的分数的差，按该规律即可写出通用表达式。
2. 第(2)问：直接套用第(1)问得到的裂项规律拆分每一项，拆分后中间的分数会两两抵消，仅剩首项1和末项$-\frac{1}{1000}$，计算即可得到结果。
3. 第(3)问：①每一项的分母是差值为2的两个偶数的乘积，无法直接用基础裂项公式，先提取公因子$\frac{1}{2}$，将各项转化为符合基础裂项的形式后，再拆分抵消计算；②每一项的分母是差值为3的正整数乘积，且整体带负号，先提取公因子$-\frac{1}{3}$，再裂项拆分，中间项抵消后计算首尾即可。
【解析】
(1) 根据题中等式的规律：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，可猜想$\frac{1}{n×(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) 应用裂项规律拆分计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{999×1000}\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}\\=&1-\frac{1}{1000}\\=&\frac{999}{1000}\end{aligned}$
(3) ① 先提取$\frac{1}{2}$再裂项计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{500×502}\\=&\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{500}-\frac{1}{502})\\=&\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{502})\\=&\frac{1}{2}×\frac{250}{502}\\=&\frac{125}{502}\end{aligned}$
② 先提取$-\frac{1}{3}$再裂项计算：
$\begin{aligned}&-\frac{1}{1×4}-\frac{1}{4×7}-\frac{1}{7×10}-…-\frac{1}{997×1000}\\=&-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{997}-\frac{1}{1000})\\=&-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{1000})\\=&-\frac{1}{3}×\frac{999}{1000}\\=&-\frac{333}{1000}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2) $\frac{999}{1000}$
(3) ① $\frac{125}{502}$；② $-\frac{333}{1000}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，规律探究
【点评】
本题以规律探究为载体，考查裂项相消法在分数求和中的应用，核心是根据分母两个数的差值确定裂项的系数，拆分后中间项相互抵消，仅需计算首尾两项即可大幅简化运算，能有效锻炼归纳推理能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
