1 新考法 [2026 江苏泰州期中,中]如图,在△ABC中,AB=AC,将AC绕点C按顺时针方向旋转90°到DC的位置,连接BD,要求△BCD的面积,只需知道 ()


A.BC的长
B.AB的长
C.BD的长
D.△ABC的面积

1. A 【解析】如图,过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E,过点 D 作 DF ⊥ BC,交 BC 的延长线于点 F.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠ACB. 又
∵ AE = AE,∠AEB = ∠AEC = 90°,
∴ △ABE ≌ △ACE(AAS),
∴ BE = EC = $\frac{1}{2}BC$.
∵ ∠ACD = 90°,
∴ ∠ACE + ∠DCF = 90°.
∵ ∠CDF + ∠DCF = 90°,
∴ ∠ACE = ∠CDF.
∵ 在△AEC 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠ACE = ∠CDF, \\∠AEC = ∠CFD = 90°, \\AC = CD,\end{cases}$
∴ △AEC≌△CFD(AAS),
∴ EC = DF,
∴ △BCD 的面积为 $\frac{1}{2}BC·DF=\frac{1}{2}BC·EC=\frac{1}{2}BC·\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC^2$. 故选 A.

2 新考法[2026福建福州期末,较难]在∠CAB的内部有一点D,过点D作EF与∠CAB的两边AB,AC分别交于点E,F,下列四种作法中,△AEF面积最小的是 ()

2. A 【解析】如图(1),当 DE = DF 时,连接 AD,作 E'F' ⊥ AD,交 AB,AC 于点 E',F',过点 E 作 EM // AC 交 E'F' 于点 M, 则 ∠1 = ∠2.
∵ ∠ADE' = ∠ADF' = 90°,
∴ ∠3 ＜ 90°, ∠4 ＜ 90°,
∴ ∠2 ＞ 90°,
∴ ∠1 ＞ 90°. 在△DME 和△DF'F 中,
$\begin{cases}∠1 = ∠2, \\∠EDM = ∠FDF', \\DE = DF,\end{cases}$
∴ △DME ≌△DF'F(AAS),
∴ $S_{△DME}=S_{△DF'F}$.
∵ $S_{△DME}＜S_{△DE'E}$,
∴ $S_{△DF'F}＜S_{△DE'E}$.
∵ $S_{△AEF}=S_{四边形AEDF'}+S_{△DF'F}$, $S_{△AE'F'}=S_{四边形AEDF'}+S_{△DE'E}$,
∴ $S_{△AEF}＜S_{△AE'F'}$. 如图(2),当 DE = DF 时,作 DF' ⊥ AC, F'D 的延长线交 AB 于点 E',过点 E 作 EM ⊥ E'F' 于点 M,则 ∠EMD = 90°.
∵ ∠FF'D = 90°,
∴ ∠EMD = ∠FF'D. 在△DME 和△DF'F 中,
$\begin{cases}∠EMD = ∠FF'D, \\∠5 = ∠6, \\DE = DF,\end{cases}$
∴ △DME≌△DF'F(AAS),
∴ $S_{△DME}=S_{△DF'F}$.
∵ $S_{△DME}＜S_{△DE'E}$,
∴ $S_{△DF'F}＜S_{△DE'E}$.
∵ $S_{△AEF}=S_{四边形AEDF'}+S_{△DF'F}$, $S_{△AE'F'}=S_{四边形AEDF'}+S_{△DE'E}$,
∴ $S_{△AEF}＜S_{△AE'F'}$. 如图(3),当 DE = DF 时,作 DE' ⊥ AB, E'D 的延长线交 AC 于点 F'.
∵ ∠AE'D = 90°,
∴ ∠9 ＜ 90°,
∴ ∠DF'C 是钝角. 过点 F 作 FM ⊥ E'F',交 E'F' 的延长线于点 M. 在△DEE' 和△DFM 中,
$\begin{cases}∠DE'E = ∠M = 90°, \\∠7 = ∠8, \\DE = DF,\end{cases}$
∴ △DEE' ≌ △DFM(AAS),
∴ $S_{△DEE'}=S_{△DFM}$.
∵ $S_{△DFM}＞S_{△DF'F}$,
∴ $S_{△DE'E}＞S_{△DF'F}$.
∵ $S_{△AEF}=S_{四边形AEDF'}+S_{△DF'F}$, $S_{△AE'F'}=S_{四边形AEDF'}+S_{△DE'E}$,
∴ $S_{△AEF}＜S_{△AE'F'}$. 综上,面积最小的是 A 选项,故选 A.

3[中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,点$A$的坐标为$(-6,3)$,点$C$的坐标为$(-1,0)$,则点$B$的坐标是.

(第3题图)
(第4题图)

3. (2,5) 【解析】作 AD ⊥ x 轴于点 D, BE ⊥ x 轴于点 E, 如图所示, 则 ∠ADC = ∠CEB = 90°,
∴ ∠ACD + ∠CAD = 90°.
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°,
∴ ∠CAD = ∠BCE. 在△ACD 和△CBE 中,
$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB, \\∠CAD = ∠BCE, \\AC = CB,\end{cases}$
∴ △ACD≌△CBE(AAS),
∴ AD = CE, DC = EB.
∵ 点 A 的坐标为 (-6,3), 点 C 的坐标为 (-1,0),
∴ OD=6, AD=3, OC=1,
∴ CE=3, BE=OD-OC=6-1=5,
∴ OE=CE-OC=3-1=2,
∴ 点 B 的坐标为 (2,5). 故答案为 (2,5).

4[较难]如图,AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=4 cm,点P从点A出发,沿A→B→A方向以3 cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D→E方向以1 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P返回到点A时,P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t s.连接PQ,当线段PQ经过点C时,t的值为.
刷素养→走向重高

4. 1 或 2 【解析】如图,在△ABC 和△EDC 中,
$\begin{cases}AC = EC, \\∠ACB = ∠ECD, \\BC = DC,\end{cases}$
∴ △ABC≌△EDC(SAS),
∴ ∠A = ∠E, ED = AB = 4 cm. 在△ACP 和△ECQ 中,
$\begin{cases}∠A = ∠E, \\AC = EC, \\∠ACP = ∠ECQ,\end{cases}$
∴ △ACP≌△ECQ(ASA),
∴ AP = EQ. 当 $0≤t≤\frac{4}{3}$ 时, 3t = 4 - t, 解得 t = 1; 当 $\frac{4}{3}＜t≤\frac{8}{3}$ 时, 8 - 3t = 4 - t, 解得 t = 2. 综上所述, 当线段 PQ 经过点 C 时, t 的值为 1 或 2. 故答案为 1 或 2.

5 核心素养推理能力[较难]问题提出：
(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形. 如图(1),△ABC中,AC=8,BC=9,AB=10,P为AC上一点,当AP=时,△ABP与△CBP是偏等积三角形.
问题探究：
(2)如图(2),△ABD与△ACD是偏等积三角形,AB=2,AC=6,且线段AD的长度为正整数,过点C作CE//AB交AD的延长线于点E,则AD的长为.
问题解决：
(3)如图(3),C为四边形ABED内的一点,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°(0°＜∠BCE＜90°).△ACD与△BCE是偏等积三角形吗?请说明理由.

5.【解】(1)如图(1),取 AC 中点 P,连接 BP.
∵ △ABP 与△CBP 在 AP,CP 边上的高相等,
∴ 当 $AP=CP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$ 时,△ABP 与△CBP 面积相等.
∵ BC = 9, AB = 10,
∴ BC ≠ AB.
∵ AP = CP, BP = BP, BC ≠ AB,
∴ △ABP 与△CBP 不全等,
∴ 当 AP = 4 时,△ABP 与△CBP 是偏等积三角形,故答案为 4.
(2)
∵ △ABD 与△ACD 是偏等积三角形, 且△ABD 与△ACD 在 BD, CD 边上的高相等,
∴ BD = CD.
∵ CE // AB,
∴ ∠E = ∠BAD. 在△ECD 和△ABD 中,
$\begin{cases}∠E = ∠BAD, \\∠EDC = ∠ADB, \\CD = BD,\end{cases}$
∴ △ECD ≌ △ABD(AAS),
∴ ED = AD, EC = AB = 2.
∵ AC - EC ＜ AE ＜ AC + EC, 且 AC = 6, AE = 2AD,
∴ 6 - 2 ＜ 2AD ＜ 6 + 2,
∴ 2 ＜ AD ＜ 4.
∵ 线段 AD 的长度为正整数,
∴ AD = 3, 故答案为 3.
(3)△ACD 与△BCE 是偏等积三角形. 理由:
∵ ∠ACB = ∠DCE = 90°,
∴ ∠ACD + ∠BCE = 180°.
∵ 0° ＜ ∠BCE ＜ 90°,
∴ ∠ACD ＞ 90°,
∴ ∠ACD ≠ ∠BCE.
∵ CA = CB, CD = CE,
∴ △ACD 与△BCE 不全等. 如图(2),作 BF ⊥ CE 于点 F, AG ⊥ DC 交 DC 的延长线于点 G, 则 ∠G = ∠BFC = 90°.
∵ ∠ECG = 180° - ∠DCE = 90°,
∴ ∠ACG = ∠BCF = 90° - ∠BCG. 在△ACG 和△BCF 中,
$\begin{cases}∠G = ∠BFC, \\∠ACG = ∠BCF, \\CA = CB,\end{cases}$
∴ △ACG≌△BCF(AAS),
∴ AG = BF,
∴ $\frac{1}{2}CD·AG=\frac{1}{2}CE·BF$,
∴ △ACD 与△BCE 面积相等,
∴ △ACD 与△BCE 是偏等积三角形.