6[2026 四川成都期中,中]如图(1),在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,直线$l$经过点$C$,过$A$作$AD⊥ l$,垂足为$D$,过$B$作$BE⊥ l$,垂足为$E$.
(1)求证:$△ ADC≌△ CEB$;
(2)若$AD=5$,$DE=13$,求$BE$的长;
(3)如图(2),延长$AD$至$F$,连接$CF$,过点$C$作$CG⊥ CF$,且$CG=CF$,连接$BG$交直线$l$于点$H$.若$S_{△ CGH}=12$,$CD=6$,求线段$AF$的长.

6. (1)【证明】
∵ 直线 l 经过点 C,AD⊥ l,垂足为 D,BE⊥ l,垂足为 E,
∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°.
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠CAD = ∠BCE = 90°−∠ACD.
在△ADC 和△CEB 中,
$\begin{cases} ∠CAD=∠BCE, \\ ∠ADC=∠CEB, \\ AC=CB, \end{cases}$
∴ △ADC≌△CEB(AAS).
【解】(2)由(1)得△ADC≌△CEB,
∴ CD = BE,CE = AD = 5.
∵ DE = 13,
∴ CD = BE = DE−CE = 13−5 = 8,
∴ BE 的长是 8.
(3)如图,作 GL⊥l 于点 L,则 ∠CLG = ∠FDC = ∠BEH = 90°.
∵ CG⊥CF,
∴ ∠FCG = 90°,
∴ ∠LCG = ∠F = 90°−∠FCD. 在△CLG 和△FDC 中,
$\begin{cases} ∠CLG=∠FDC, \\ ∠LCG=∠F, \\ GC=CF, \end{cases}$
∴ △CLG≌△FDC(AAS),
∴ GL = CD = 6,CL = FD.
∵ CD = BE,
∴ GL = BE. 在△GHL 和△BHE 中,
$\begin{cases} ∠GHL=∠BHE, \\ ∠GLH=∠BEH, \\ GL=BE, \end{cases}$
∴ △GHL≌△BHE(AAS),
∴ HL = HE.
∵ $S_{△CGH}=\frac{1}{2}CH·GL=\frac{1}{2}×6×CH=12$,
∴ CH = 4.
∵ CE = CH−HE,CL = CH+HL = CH+HE,
∴ CE+CL = CH−HE+CH+HE = 2CH = 8.
∵ AD = CE,FD = CL,
∴ AF = AD+FD = CE+CL = 8,
∴ 线段 AF 的长为 8.
关键点拨
(3)通过作辅助线,构造全等的直角三角形,从而得到相等的边,即可解决问题.
本题中由证明$△ CBM≌△ FEN$得到$CM=FN$,由$\mathrm{Rt}△ ACM≌\mathrm{Rt}△ DFN$得到$∠ A=∠ D$,即可由 AAS 证明 $△ ABC≌△ DEF$.
思路分析
(3)将 AF 拆成 AD 和 FD,通过全等三角形的判定与性质得出 $AD=CE,GL=CD=6,DF=CL,HL=HE$,进而可推得 $AF=AD+FD=CE+CL=2CH$,所以再利用 $S_{△ CGH}$ 求出 CH 的长即可得到结果.

7[中]【问题背景】如图(1),在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图中线段BE,EF,DF之间的数量关系.
(1)小王同学探究此问题的方法如下:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是.
【探索延伸】(2)如图(2),若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,则上述结论是否仍然成立?请说明理由.
【学以致用】(3)如图(3),四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,请直接写出△DEF的周长.

7.【解】(1)在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
所以△ABE≌△ADG(SAS),所以 AE = AG,∠BAE = ∠DAG. 因为 ∠BAD = 120°,∠EAF = 60°,所以 ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,所以 ∠GAF = ∠DAG+∠DAF = ∠BAE+∠DAF = ∠BAD−∠EAF = ∠EAF. 在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
所以△AEF≌△AGF(SAS),所以 EF = FG. 因为 FG = DG+DF = BE+DF,所以 EF=BE+DF. 故答案为 EF=BE+DF.
(2)结论 EF = BE+DF 仍然成立. 理由:如图(1),延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG. 因为 ∠B+∠CDA = 180°,∠ADG+∠CDA = 180°,所以 ∠B = ∠ADG. 在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
所以△ABE≌△ADG(SAS),所以 AE = AG,∠BAE = ∠DAG. 因为 ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,所以 ∠GAF = ∠DAG+∠DAF = ∠BAE+∠DAF = ∠BAD−∠EAF = ∠EAF. 在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
△AEF≌△AGF(SAS),所以 EF = FG. 因为 FG = DG+DF = BE+DF,所以 EF = BE+DF.
(3)△DEF 的周长是 10. 如图(2),延长 DC 到点 G,使 CG=AE,连接 BG. 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 ∠A = ∠ABC = ∠BCD = 90°,AB = BC. 在△AEB 与△CGB 中,
$\begin{cases} AE=CG, \\ ∠A=∠BCG=90°, \\ AB=CB, \end{cases}$
所以△AEB≌△CGB(SAS),所以 BE = BG,∠ABE = ∠CBG. 因为 ∠EBF = 45°,∠ABC = 90°,所以 ∠ABE+∠CBF = 45°,所以 ∠CBF+∠CBG = 45°,所以 ∠EBF = ∠GBF.
在△EBF 与△GBF 中,
$\begin{cases} BE=BG, \\ ∠EBF=∠GBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
所以△EBF≌△GBF(SAS),所以 EF = GF,所以△DEF 的周长为 EF+ED+DF = AE+CF+ED+DF = AD+CD = 5+5 = 10.
思路分析
(2) 延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,证明 $△ ABE≌△ ADG$,可得$AE=AG,∠ BAE=∠ DAG$,从而可证明$△ AEF≌△ AGF$,可得$EF=FG$,即可解题.
(3) 延长 DC 到 G,使 $CG=AE$,连接 BG,根据“SAS”可判定$△ AEB≌△ CGB$,故可得出 $BE=BG$,$∠ ABE=∠ CBG$,从而推出$∠ EBF=∠ GBF$,即可由“SAS”判定 $△ EBF≌△ GBF$,得 $EF=GF$,进而得出结果.

8[2026 广东深圳期中,较难]如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD.若DF=1,BE=6,求线段EF的长.

8.【解】在 BE 上截取 BG = DF,连接 AG,如图所示.
∵ ∠B+∠ADC = 180°,∠ADF+∠ADC = 180°,
∴ ∠B = ∠ADF. 在△ABG 和△ADF 中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠B=∠ADF, \\ BG=DF, \end{cases}$
∴ △ABG≌△ADF(SAS),
∴ AG = AF,∠BAG = ∠DAF,
∴ ∠BAD = ∠BAG+∠GAD = ∠DAF+∠GAD = ∠GAF.
∵ ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴ ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠GAF,
∴ AE 是∠GAF 的平分线,
∴ ∠EAG = ∠EAF.
在△EAG 和△EAF 中,
$\begin{cases} AG=AF, \\ ∠EAG=∠EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴ △EAG≌△EAF(SAS),
∴ EG = EF.
∵ DF = 1,BE = 6,
∴ BG = DF = 1,
∴ EG = BE−BG = 6−1 = 5,
∴ EF = EG = 5.
关键点拨
掌握全等三角形的判定和性质、角平分线的定义是解决问题的关键.