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16. 新考向 跨物理 如图①,杆AB可以绕转轴点A在竖直平面内自由转动,在点A正上方固定一个小定滑轮C,细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连,并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起.图②是其示意图,已知AB=AC,当杆AB与水平面夹角θ为$30°$时,测得BC=8 dm,此时点B到水平面的距离为
4
dm. 答案
16.4
解析
【分析】
要求点B到水平面的距离，我们可以过点B向水平面作垂线构造直角三角形求解。首先结合C在A正上方可知AC为竖直方向，结合AB与水平面的夹角先求出∠CAB的度数，再结合AB=AC判断△ABC的形状，得到AB的长度，最后利用直角三角形中30°角的性质即可求出点B到水平面的距离。
【解析】
解：过点B作BD⊥水平面于点D，BD的长即为点B到水平面的距离。
∵点C在A的正上方，
∴AC⊥水平面，
∵AB与水平面夹角θ=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
又
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=BC=8 dm，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，∠ADB=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8=4$ dm。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合物理场景考查几何知识的应用，体现了跨学科融合的考向，解题关键是先判断出△ABC为等边三角形，再结合直角三角形的性质计算，难度适中。
【难度系数】
0.7
要求点B到水平面的距离，我们可以过点B向水平面作垂线构造直角三角形求解。首先结合C在A正上方可知AC为竖直方向，结合AB与水平面的夹角先求出∠CAB的度数，再结合AB=AC判断△ABC的形状，得到AB的长度，最后利用直角三角形中30°角的性质即可求出点B到水平面的距离。
【解析】
解：过点B作BD⊥水平面于点D，BD的长即为点B到水平面的距离。
∵点C在A的正上方，
∴AC⊥水平面，
∵AB与水平面夹角θ=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
又
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=BC=8 dm，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，∠ADB=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8=4$ dm。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合物理场景考查几何知识的应用，体现了跨学科融合的考向，解题关键是先判断出△ABC为等边三角形，再结合直角三角形的性质计算，难度适中。
【难度系数】
0.7
17.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$∠ B=30°$,$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$,$DE // AC$交$BC$于点$E$.若$AC=3$,则$DE$的长为
2
.答案
17.2
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形角度和边长入手：第一步利用直角三角形内角和及30°角的性质，求出∠ACB的度数和BC的长度；第二步结合角平分线的定义得到相等的角，再利用平行线的性质推导角的关系，得出DE=EC，同时判断△BDE为含30°角的直角三角形，得到BE与DE的数量关系；最后根据BC=BE+EC列等式即可求出DE的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$，
$\therefore ∠ ACB=180°-90°-30°=60°$，且$BC=2AC=2×3=6$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
$\because CD$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACD=∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ EDC=∠ ACD=30°$（两直线平行，内错角相等），$∠ BDE=∠ A=90°$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠ EDC=∠ DCB=30°$，$\therefore DE=EC$（等角对等边）。
在$Rt△ BDE$中，$∠ B=30°$，$∠ BDE=90°$，
$\therefore BE=2DE$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
又$\because BC=BE+EC$，
$\therefore BC=2DE+DE=3DE$，
将$BC=6$代入得$3DE=6$，解得$DE=2$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的核心是通过角的关系推导线段的数量关系，是几何基础部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角三角形角度和边长入手：第一步利用直角三角形内角和及30°角的性质，求出∠ACB的度数和BC的长度；第二步结合角平分线的定义得到相等的角，再利用平行线的性质推导角的关系，得出DE=EC，同时判断△BDE为含30°角的直角三角形，得到BE与DE的数量关系；最后根据BC=BE+EC列等式即可求出DE的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$，
$\therefore ∠ ACB=180°-90°-30°=60°$，且$BC=2AC=2×3=6$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
$\because CD$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACD=∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ EDC=∠ ACD=30°$（两直线平行，内错角相等），$∠ BDE=∠ A=90°$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠ EDC=∠ DCB=30°$，$\therefore DE=EC$（等角对等边）。
在$Rt△ BDE$中，$∠ B=30°$，$∠ BDE=90°$，
$\therefore BE=2DE$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
又$\because BC=BE+EC$，
$\therefore BC=2DE+DE=3DE$，
将$BC=6$代入得$3DE=6$，解得$DE=2$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的核心是通过角的关系推导线段的数量关系，是几何基础部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
18.[2026·阜阳太和县期末]如图，$△ ABC$是等边三角形，D是BC延长线上一点，$DE ⊥ AB$于点E，$EF ⊥ BC$于点F.
(1)$∠ D$的度数为________；
(2)若$CD = 3AE$，$CF = 6$，则AC的长为________.
(1)$∠ D$的度数为________；
(2)若$CD = 3AE$，$CF = 6$，则AC的长为________.
答案
18.(1)$30°$ (2)$10$
解析
【分析】
(1) 要求$∠ D$的度数，已知$DE⊥ AB$，可得$△ BED$是直角三角形，只需先得到$∠ B$的度数即可；由$△ ABC$是等边三角形可知$∠ B=60°$，结合直角三角形两锐角互余就能求出$∠ D$。
(2) 已知$CD=3AE$、$CF=6$，要求$AC$的长，可设参数建立等量关系求解：设$AE=x$，$AC=y$，利用等边三角形三边相等的性质，可将$BE$、$BD$用含$x$、$y$的式子表示，再结合含$30°$角的直角三角形的边的性质，分别在$\mathrm{Rt}△ BED$、$\mathrm{Rt}△ BEF$中得到边的关系，联立方程即可求出$AC$的长度。
【解析】
(1) $\because△ ABC$是等边三角形，$\therefore∠ B=60°$，
$\because DE⊥ AB$，$\therefore∠ BED=90°$，
$\therefore∠ D=90°-∠ B=90°-60°=30°$。
(2) 设$AE=x$，$AC=y$，
$\because△ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=BC=AC=y$，$∠ B=60°$，
$\therefore BE=AB-AE=y-x$，$BD=BC+CD=y+3x$，
在$\mathrm{Rt}△ BED$中，$∠ D=30°$，$\therefore BD=2BE$，
代入得：$y+3x=2(y-x)$，化简得$y=5x$。
$\because EF⊥ BC$，$\therefore∠ BFE=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BEF=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BF=\frac{1}{2}BE$，
$\because BE=y-x=5x-x=4x$，$\therefore BF=\frac{1}{2}×4x=2x$，
又$\because BC=BF+CF$，$CF=6$，
$\therefore2x+6=5x$，解得$x=2$，
$\therefore AC=y=5×2=10$。
【答案】
(1)$30°$；(2)$10$
【知识点】
等边三角形的性质；含$30°$角的直角三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题将等边三角形和特殊直角三角形的性质结合考查，通过设参数建立方程求解是解决这类几何计算题的常用方法，解题的关键是找准特殊三角形中的边角关系。
【难度系数】
0.6
(1) 要求$∠ D$的度数，已知$DE⊥ AB$，可得$△ BED$是直角三角形，只需先得到$∠ B$的度数即可；由$△ ABC$是等边三角形可知$∠ B=60°$，结合直角三角形两锐角互余就能求出$∠ D$。
(2) 已知$CD=3AE$、$CF=6$，要求$AC$的长，可设参数建立等量关系求解：设$AE=x$，$AC=y$，利用等边三角形三边相等的性质，可将$BE$、$BD$用含$x$、$y$的式子表示，再结合含$30°$角的直角三角形的边的性质，分别在$\mathrm{Rt}△ BED$、$\mathrm{Rt}△ BEF$中得到边的关系，联立方程即可求出$AC$的长度。
【解析】
(1) $\because△ ABC$是等边三角形，$\therefore∠ B=60°$，
$\because DE⊥ AB$，$\therefore∠ BED=90°$，
$\therefore∠ D=90°-∠ B=90°-60°=30°$。
(2) 设$AE=x$，$AC=y$，
$\because△ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=BC=AC=y$，$∠ B=60°$，
$\therefore BE=AB-AE=y-x$，$BD=BC+CD=y+3x$，
在$\mathrm{Rt}△ BED$中，$∠ D=30°$，$\therefore BD=2BE$，
代入得：$y+3x=2(y-x)$，化简得$y=5x$。
$\because EF⊥ BC$，$\therefore∠ BFE=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BEF=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BF=\frac{1}{2}BE$，
$\because BE=y-x=5x-x=4x$，$\therefore BF=\frac{1}{2}×4x=2x$，
又$\because BC=BF+CF$，$CF=6$，
$\therefore2x+6=5x$，解得$x=2$，
$\therefore AC=y=5×2=10$。
【答案】
(1)$30°$；(2)$10$
【知识点】
等边三角形的性质；含$30°$角的直角三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题将等边三角形和特殊直角三角形的性质结合考查，通过设参数建立方程求解是解决这类几何计算题的常用方法，解题的关键是找准特殊三角形中的边角关系。
【难度系数】
0.6
19. 核心素养 创新意识 [2025·潍坊中考]如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地。
甲:$A→C→B$，路程为$l_甲$.
乙:$A→D→E→F→B$，路程为$l_乙$.
丙:$A→G→H→B$，路程为$l_丙$.
下列关系正确的是 （
A.$l_甲＞l_乙＞l_丙$
B.$l_乙＞l_甲＞l_丙$
C.$l_甲＞l_丙＞l_乙$
D.$l_甲=l_乙＞l_丙$
甲:$A→C→B$，路程为$l_甲$.
乙:$A→D→E→F→B$，路程为$l_乙$.
丙:$A→G→H→B$，路程为$l_丙$.
下列关系正确的是 （
D
）A.$l_甲＞l_乙＞l_丙$
B.$l_乙＞l_甲＞l_丙$
C.$l_甲＞l_丙＞l_乙$
D.$l_甲=l_乙＞l_丙$
答案
19.D
解析
【分析】解题时先分别分析三人的路程构成，结合等边三角形的性质推导甲、乙的路程，再构造辅助线比较丙的路程大小：①先判断甲路线对应的△ABC为等边三角形，可得甲的路程等于2倍AB长；②再判断乙路线的两个小三角形均为等边三角形，将路程拆分合并后也等于2倍AB长，可得甲、乙路程相等；③最后通过延长AG、BH构造等边三角形，结合平行线性质推出丙的路程小于2倍AB长，即可得到三者的大小关系。
【解析】
1. 求$l_甲$的长度：
在$△ ABC$中，$∠ A=∠ B=60°$，因此$∠ C=180°-60°-60°=60°$，$△ ABC$是等边三角形，即$AC=BC=AB$。
故$l_甲=AC+BC=AB+AB=2AB$。
2. 求$l_乙$的长度：
在$△ ADE$中，$∠ A=∠ AED=60°$，$△ ADE$是等边三角形，因此$AD=DE=AE$；
同理$△ EFB$是等边三角形，$EF=FB=EB$。
故$l_乙=AD+DE+EF+FB=AE+AE+EB+EB=2(AE+EB)=2AB$，可得$l_甲=l_乙$。
3. 比较$l_丙$的大小：
延长$AG$、$BH$交于点$P$，$\because ∠ A=∠ B=60°$，$\therefore △ PAB$是等边三角形，$PA+PB=2AB$。
由图可知$GH// AB$，因此$∠ PGH=∠ A=60°$，$∠ PHG=∠ B=60°$，$△ PGH$是等边三角形，即$PG=PH=GH$。
故$l_丙=AG+GH+HB=(PA-PG)+GH+(PB-PH)=PA+PB-GH=2AB-GH$。
$\because GH＞0$，$\therefore l_丙=2AB-GH＜2AB$，即$l_丙＜l_甲=l_乙$。
综上：$l_甲=l_乙＞l_丙$。
【答案】D
【知识点】等边三角形判定与性质；线段大小比较；平行线的性质
【点评】本题结合路线长度比较考查几何图形性质的应用，解题核心是通过角度识别等边三角形，将路程转化为边长的和进行推导，也可通过平移法快速判断路程关系。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 求$l_甲$的长度：
在$△ ABC$中，$∠ A=∠ B=60°$，因此$∠ C=180°-60°-60°=60°$，$△ ABC$是等边三角形，即$AC=BC=AB$。
故$l_甲=AC+BC=AB+AB=2AB$。
2. 求$l_乙$的长度：
在$△ ADE$中，$∠ A=∠ AED=60°$，$△ ADE$是等边三角形，因此$AD=DE=AE$；
同理$△ EFB$是等边三角形，$EF=FB=EB$。
故$l_乙=AD+DE+EF+FB=AE+AE+EB+EB=2(AE+EB)=2AB$，可得$l_甲=l_乙$。
3. 比较$l_丙$的大小：
延长$AG$、$BH$交于点$P$，$\because ∠ A=∠ B=60°$，$\therefore △ PAB$是等边三角形，$PA+PB=2AB$。
由图可知$GH// AB$，因此$∠ PGH=∠ A=60°$，$∠ PHG=∠ B=60°$，$△ PGH$是等边三角形，即$PG=PH=GH$。
故$l_丙=AG+GH+HB=(PA-PG)+GH+(PB-PH)=PA+PB-GH=2AB-GH$。
$\because GH＞0$，$\therefore l_丙=2AB-GH＜2AB$，即$l_丙＜l_甲=l_乙$。
综上：$l_甲=l_乙＞l_丙$。
【答案】D
【知识点】等边三角形判定与性质；线段大小比较；平行线的性质
【点评】本题结合路线长度比较考查几何图形性质的应用，解题核心是通过角度识别等边三角形，将路程转化为边长的和进行推导，也可通过平移法快速判断路程关系。
【难度系数】0.7
20. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,将边$AC$沿$CE$翻折,使点$A$落在$AB$上的点$D$处;再将边$BC$沿$CF$翻折,使点$B$落在$CD$的延长线上的点$B'$处,两条折痕与斜边$AB$分别交于点$E$,$F$,则$AE+BF$的值为
$\frac{13}{5}$
.答案
20.$\frac{13}{5}$
解析
【分析】
本题是折叠类几何计算题，解题核心是利用折叠的性质梳理边、角的等量关系：
第一步：先回忆折叠的基本性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分两个对应点的连线；
第二步：先利用直角三角形的两种面积计算方法，求出斜边上的高CE的长度，再用勾股定理计算AE的长度；
第三步：根据两次折叠的角的等量关系，推导得出∠ECF=45°，判断出△CEF是等腰直角三角形，得到EF的长度；
第四步：结合AB的总长度求出BF的长度，最终计算AE与BF的和即可。
【解析】
解：根据折叠的性质可得：
第一次翻折：$AE=DE$，$AC=CD=3$，$CE⊥AB$，$∠ACE=∠DCE$；
第二次翻折：$BF=B'F$，$BC=B'C=4$，$∠BCF=∠B'CF$。
1. 求$CE$和$AE$的长度：
$Rt△ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CE$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2 - CE^2}=\sqrt{3^2 - (\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$。
2. 求$EF$的长度：
已知$∠ACB=90°$，即$∠ACE+∠DCE+∠BCF+∠B'CF=90°$，结合翻折的角相等的性质，可得：
$2∠DCE + 2∠B'CF=90°$，即$∠DCE+∠B'CF=45°$，因此$∠ECF=45°$。
又$∠CEF=90°$，故$△CEF$是等腰直角三角形，得$EF=CE=\frac{12}{5}$。
3. 求$BF$的长度并计算结果：
$AF=AE+EF=\frac{9}{5}+\frac{12}{5}=\frac{21}{5}$，$AB=5=\frac{25}{5}$，则$BF=AB - AF=\frac{25}{5}-\frac{21}{5}=\frac{4}{5}$。
因此$AE+BF=\frac{9}{5}+\frac{4}{5}=\frac{13}{5}$。
【答案】
$\frac{13}{5}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题将折叠变换和直角三角形的性质结合考查，解题的突破口是利用折叠的角的等量关系推出等腰直角三角形CEF，整体计算量不大，思路清晰后很容易求解。
【难度系数】
0.65
本题是折叠类几何计算题，解题核心是利用折叠的性质梳理边、角的等量关系：
第一步：先回忆折叠的基本性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分两个对应点的连线；
第二步：先利用直角三角形的两种面积计算方法，求出斜边上的高CE的长度，再用勾股定理计算AE的长度；
第三步：根据两次折叠的角的等量关系，推导得出∠ECF=45°，判断出△CEF是等腰直角三角形，得到EF的长度；
第四步：结合AB的总长度求出BF的长度，最终计算AE与BF的和即可。
【解析】
解：根据折叠的性质可得：
第一次翻折：$AE=DE$，$AC=CD=3$，$CE⊥AB$，$∠ACE=∠DCE$；
第二次翻折：$BF=B'F$，$BC=B'C=4$，$∠BCF=∠B'CF$。
1. 求$CE$和$AE$的长度：
$Rt△ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CE$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2 - CE^2}=\sqrt{3^2 - (\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$。
2. 求$EF$的长度：
已知$∠ACB=90°$，即$∠ACE+∠DCE+∠BCF+∠B'CF=90°$，结合翻折的角相等的性质，可得：
$2∠DCE + 2∠B'CF=90°$，即$∠DCE+∠B'CF=45°$，因此$∠ECF=45°$。
又$∠CEF=90°$，故$△CEF$是等腰直角三角形，得$EF=CE=\frac{12}{5}$。
3. 求$BF$的长度并计算结果：
$AF=AE+EF=\frac{9}{5}+\frac{12}{5}=\frac{21}{5}$，$AB=5=\frac{25}{5}$，则$BF=AB - AF=\frac{25}{5}-\frac{21}{5}=\frac{4}{5}$。
因此$AE+BF=\frac{9}{5}+\frac{4}{5}=\frac{13}{5}$。
【答案】
$\frac{13}{5}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题将折叠变换和直角三角形的性质结合考查，解题的突破口是利用折叠的角的等量关系推出等腰直角三角形CEF，整体计算量不大，思路清晰后很容易求解。
【难度系数】
0.65
21. 新考向 动手操作【操作实践】
(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=22.5°,请作出一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形,并标出分割成的两个等腰三角形底角的度数;(要求用两种不同的分割方法)
【分类探究】
(2)在△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,请作出相应示意图,并写出△ABC最大内角的所有可能值.
(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=22.5°,请作出一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形,并标出分割成的两个等腰三角形底角的度数;(要求用两种不同的分割方法)
【分类探究】
(2)在△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,请作出相应示意图,并写出△ABC最大内角的所有可能值.
答案
21.解:(1)如图所示.
(2)设分割线为AD,相应的示意图如图所示.
图①的最大内角为$39°+78°=117°$;
图②的最大内角为$24°+(180°-2×48°)=108°$;
图③的最大内角为$24°+66° = 90°$;
图④的最大内角为$180°-24°-24°-48°=84°$.
∴$△ABC$最大内角的所有可能值是$117°,108°,90°,84°$.
解析
【分析】
(1) 首先根据三角形内角和定理算出△ABC中∠C=67.5°，要分割得到两个等腰三角形，需让分割后的两个三角形各有两个相等的内角：第一种可分割直角∠BAC，将其拆分为22.5°和67.5°，分别与∠B、∠C相等，即可得到两个等腰三角形；第二种可分割∠C，将其拆分为22.5°和45°，22.5°与∠B相等得到一个等腰三角形，剩余的三角形内角为90°、45°、45°，也为等腰三角形。
(2) 已知最小内角∠B=24°，设分割线为AD，需分类讨论两个等腰三角形的等角对应情况，结合三角形内角和定理、外角性质分别计算△ABC的三个内角，找出最大角即可，分类时需做到不重不漏。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=22.5°，因此∠C=180°-90°-22.5°=67.5°。
第一种分割方法：过点A作直线AD交BC于点D，使∠BAD=22.5°，此时∠B=∠BAD=22.5°，△ABD为等腰三角形；剩余∠CAD=90°-22.5°=67.5°=∠C，△ACD也为等腰三角形，两个三角形底角分别为22.5°、67.5°。
第二种分割方法：过点C作直线CD交AB于点D，使∠BCD=22.5°，此时∠B=∠BCD=22.5°，△BCD为等腰三角形；剩余∠ACD=67.5°-22.5°=45°，又∠BAC=90°，因此∠ADC=180°-90°-45°=45°，△ACD为等腰直角三角形，底角为45°。
(2) 设分割线为AD，分四种情况计算最大内角：
① 对应图①：最大内角为39°+78°=117°；
② 对应图②：最大内角为24°+(180°-2×48°)=108°；
③ 对应图③：最大内角为24°+66°=90°；
④ 对应图④：最大内角为180°-24°-24°-48°=84°。
【答案】
(1) 如图所示.
(2) 设分割线为AD,相应的示意图如图所示.
图①的最大内角为$39°+78°=117°$;
图②的最大内角为$24°+(180°-2×48°)=108°$;
图③的最大内角为$24°+66° = 90°$;
图④的最大内角为$180°-24°-24°-48°=84°$.
∴$△ABC$最大内角的所有可能值是$117°,108°,90°,84°$.
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题结合动手操作考查等腰三角形的相关性质，需要运用分类讨论思想分析所有可能的分割情况，对逻辑思维的严谨性有一定要求，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 首先根据三角形内角和定理算出△ABC中∠C=67.5°，要分割得到两个等腰三角形，需让分割后的两个三角形各有两个相等的内角：第一种可分割直角∠BAC，将其拆分为22.5°和67.5°，分别与∠B、∠C相等，即可得到两个等腰三角形；第二种可分割∠C，将其拆分为22.5°和45°，22.5°与∠B相等得到一个等腰三角形，剩余的三角形内角为90°、45°、45°，也为等腰三角形。
(2) 已知最小内角∠B=24°，设分割线为AD，需分类讨论两个等腰三角形的等角对应情况，结合三角形内角和定理、外角性质分别计算△ABC的三个内角，找出最大角即可，分类时需做到不重不漏。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=22.5°，因此∠C=180°-90°-22.5°=67.5°。
第一种分割方法：过点A作直线AD交BC于点D，使∠BAD=22.5°，此时∠B=∠BAD=22.5°，△ABD为等腰三角形；剩余∠CAD=90°-22.5°=67.5°=∠C，△ACD也为等腰三角形，两个三角形底角分别为22.5°、67.5°。
第二种分割方法：过点C作直线CD交AB于点D，使∠BCD=22.5°，此时∠B=∠BCD=22.5°，△BCD为等腰三角形；剩余∠ACD=67.5°-22.5°=45°，又∠BAC=90°，因此∠ADC=180°-90°-45°=45°，△ACD为等腰直角三角形，底角为45°。
(2) 设分割线为AD，分四种情况计算最大内角：
① 对应图①：最大内角为39°+78°=117°；
② 对应图②：最大内角为24°+(180°-2×48°)=108°；
③ 对应图③：最大内角为24°+66°=90°；
④ 对应图④：最大内角为180°-24°-24°-48°=84°。
【答案】
(1) 如图所示.
(2) 设分割线为AD,相应的示意图如图所示.
图①的最大内角为$39°+78°=117°$;
图②的最大内角为$24°+(180°-2×48°)=108°$;
图③的最大内角为$24°+66° = 90°$;
图④的最大内角为$180°-24°-24°-48°=84°$.
∴$△ABC$最大内角的所有可能值是$117°,108°,90°,84°$.
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题结合动手操作考查等腰三角形的相关性质，需要运用分类讨论思想分析所有可能的分割情况，对逻辑思维的严谨性有一定要求，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.5
