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9.将含$30°$角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知$∠α=60°$，点$B$，$C$表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段$AB$的长为（
A.6 cm
B.4 cm
C.2 cm
D.1 cm
C
）A.6 cm
B.4 cm
C.2 cm
D.1 cm
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先利用直尺对边平行的性质，结合已知∠α的度数求出∠ACB的度数；再结合三角板的角度特征判断△ABC的形状，最后根据刻度尺的刻度计算出BC的长度，即可得到AB的长度。第一步回忆平行线性质：两直线平行，同位角相等，可推出∠ACB=∠α；第二步根据三角形内角和算出△ABC三个内角都为60°，判定其为等边三角形，得到AB=BC；第三步用C点刻度减去B点刻度算出BC长度，即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵直尺的上下两边互相平行，∠α=60°
∴根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠ACB=∠α=60°
又
∵三角板的顶角∠A=60°
∴在△ABC中，∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-60°-60°=60°
即∠A=∠ACB=∠ABC=60°，因此△ABC是等边三角形
∴AB=BC
∵点B对应的刻度为1 cm，点C对应的刻度为3 cm
∴BC=3-1=2 cm
∴AB=2 cm
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定与性质；长度的测量
【点评】
本题结合常见教具考查几何基础知识点，解题关键是准确识别图中的平行关系，结合已知角度判断三角形的形状，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用直尺对边平行的性质，结合已知∠α的度数求出∠ACB的度数；再结合三角板的角度特征判断△ABC的形状，最后根据刻度尺的刻度计算出BC的长度，即可得到AB的长度。第一步回忆平行线性质：两直线平行，同位角相等，可推出∠ACB=∠α；第二步根据三角形内角和算出△ABC三个内角都为60°，判定其为等边三角形，得到AB=BC；第三步用C点刻度减去B点刻度算出BC长度，即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵直尺的上下两边互相平行，∠α=60°
∴根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠ACB=∠α=60°
又
∵三角板的顶角∠A=60°
∴在△ABC中，∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-60°-60°=60°
即∠A=∠ACB=∠ABC=60°，因此△ABC是等边三角形
∴AB=BC
∵点B对应的刻度为1 cm，点C对应的刻度为3 cm
∴BC=3-1=2 cm
∴AB=2 cm
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定与性质；长度的测量
【点评】
本题结合常见教具考查几何基础知识点，解题关键是准确识别图中的平行关系，结合已知角度判断三角形的形状，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
10.[2025·陕西中考]如图,在$△ ABC$中,点D在边BC上,$∠ ADB=2∠ C$.若$AB=5$,$BC=6$,则$△ ABD$的周长为 (
A.8
B.10
C.11
D.12
C
)A.8
B.10
C.11
D.12
答案
10.C
解析
【分析】
解题时首先利用三角形外角的性质分析角的数量关系：∠ADB是△ADC的外角，等于和它不相邻的两个内角∠C、∠DAC的和，结合已知∠ADB=2∠C，可推导出∠DAC=∠C，再根据等角对等边得到AD=DC，最后将△ABD的周长中的AD替换为DC，通过等量代换把周长转化为已知边AB和BC的和，即可快速求出结果，不需要单独计算各未知边的长度。
【解析】
1. 由三角形外角的性质可得：$∠ ADB = ∠ C + ∠ DAC$
2. 已知$∠ ADB=2∠ C$，代入上式得：$2∠ C=∠ C+∠ DAC$，化简得$∠ DAC=∠ C$
3. 根据等角对等边，可得$AD=DC$
4. $△ ABD$的周长$=AB+BD+AD$，将$AD$替换为$DC$，则周长$=AB+BD+DC=AB+BC$
5. 代入$AB=5$，$BC=6$，得周长$=5+6=11$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形判定，周长计算
【点评】
本题核心是通过角的关系推导边的等量关系，利用整体代换的思路计算周长，避免了不必要的边长计算，解题的关键是灵活运用三角形外角性质和等腰三角形的判定完成边的转化。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形外角的性质分析角的数量关系：∠ADB是△ADC的外角，等于和它不相邻的两个内角∠C、∠DAC的和，结合已知∠ADB=2∠C，可推导出∠DAC=∠C，再根据等角对等边得到AD=DC，最后将△ABD的周长中的AD替换为DC，通过等量代换把周长转化为已知边AB和BC的和，即可快速求出结果，不需要单独计算各未知边的长度。
【解析】
1. 由三角形外角的性质可得：$∠ ADB = ∠ C + ∠ DAC$
2. 已知$∠ ADB=2∠ C$，代入上式得：$2∠ C=∠ C+∠ DAC$，化简得$∠ DAC=∠ C$
3. 根据等角对等边，可得$AD=DC$
4. $△ ABD$的周长$=AB+BD+AD$，将$AD$替换为$DC$，则周长$=AB+BD+DC=AB+BC$
5. 代入$AB=5$，$BC=6$，得周长$=5+6=11$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形判定，周长计算
【点评】
本题核心是通过角的关系推导边的等量关系，利用整体代换的思路计算周长，避免了不必要的边长计算，解题的关键是灵活运用三角形外角性质和等腰三角形的判定完成边的转化。
【难度系数】
0.7
11.如图，AD，CE分别是$△ ABC$的中线和高.若$AB=AC$，$∠ ACE=32°$，则$∠ BAD$的度数为
29°
.答案
11.29°
解析
【分析】
解题思路可分两步走：首先利用CE是高得到Rt△AEC，结合已知的∠ACE度数，根据直角三角形两锐角互余求出顶角∠BAC的度数；再结合AB=AC、AD是中线的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可知AD平分∠BAC，进而求出∠BAD的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵CE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°
在Rt△AEC中，∠ACE=32°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠BAC=90°-∠ACE=90°-32°=58°
2. 求∠BAD的度数：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
又
∵AD是△ABC的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×58°=29°
【答案】
29°
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余，角平分线定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查等腰三角形和直角三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的特征，只要理清各条件之间的关联就能快速求解，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.75
解题思路可分两步走：首先利用CE是高得到Rt△AEC，结合已知的∠ACE度数，根据直角三角形两锐角互余求出顶角∠BAC的度数；再结合AB=AC、AD是中线的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可知AD平分∠BAC，进而求出∠BAD的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵CE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°
在Rt△AEC中，∠ACE=32°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠BAC=90°-∠ACE=90°-32°=58°
2. 求∠BAD的度数：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
又
∵AD是△ABC的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×58°=29°
【答案】
29°
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余，角平分线定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查等腰三角形和直角三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的特征，只要理清各条件之间的关联就能快速求解，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.75
12. 新考向 数学文化 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角。这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O处相连并可绕点O转动，点C固定，$OC=CD=DE$，点D，E可在槽中滑动。若$∠ BDE=75°$，则$∠ CDE$的度数是
80°
。答案
12.80°
解析
【分析】
本题可先根据已知的相等线段，结合等腰三角形“等边对等角”的性质，将相关角用同一个未知数表示，再利用三角形外角的性质建立方程求出未知数，最后结合三角形内角和定理计算∠CDE的度数。解题步骤：①设最小角∠O为x，利用等腰三角形性质表示出∠CDO、∠DCE、∠DEC的度数；②根据外角性质得到∠BDE与x的关系，求解x；③利用三角形内角和计算∠CDE的度数。
【解析】
设$∠ O = x$，
$\because OC = CD$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ CDO = ∠ O = x$，
根据三角形外角的性质，$∠ DCE = ∠ O + ∠ CDO = x + x = 2x$，
又$\because CD = DE$，同理可得$∠ DEC = ∠ DCE = 2x$，
$∠ BDE$是$△ ODE$的外角，因此$∠ BDE = ∠ O + ∠ DEC = x + 2x = 3x$，
已知$∠ BDE = 75°$，$\therefore 3x = 75°$，解得$x = 25°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ DEC = 2×25° = 50°$，
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ CDE = 180° - ∠ DCE - ∠ DEC = 180° - 50° - 50° = 80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合古希腊“三等分角”的数学文化背景，考查三角形基础性质的应用，解题关键是利用等边对等角梳理出各角之间的数量关系，通过设未知数列方程的方式可以快速理清角度关系完成求解。
【难度系数】
0.6
本题可先根据已知的相等线段，结合等腰三角形“等边对等角”的性质，将相关角用同一个未知数表示，再利用三角形外角的性质建立方程求出未知数，最后结合三角形内角和定理计算∠CDE的度数。解题步骤：①设最小角∠O为x，利用等腰三角形性质表示出∠CDO、∠DCE、∠DEC的度数；②根据外角性质得到∠BDE与x的关系，求解x；③利用三角形内角和计算∠CDE的度数。
【解析】
设$∠ O = x$，
$\because OC = CD$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ CDO = ∠ O = x$，
根据三角形外角的性质，$∠ DCE = ∠ O + ∠ CDO = x + x = 2x$，
又$\because CD = DE$，同理可得$∠ DEC = ∠ DCE = 2x$，
$∠ BDE$是$△ ODE$的外角，因此$∠ BDE = ∠ O + ∠ DEC = x + 2x = 3x$，
已知$∠ BDE = 75°$，$\therefore 3x = 75°$，解得$x = 25°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ DEC = 2×25° = 50°$，
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ CDE = 180° - ∠ DCE - ∠ DEC = 180° - 50° - 50° = 80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合古希腊“三等分角”的数学文化背景，考查三角形基础性质的应用，解题关键是利用等边对等角梳理出各角之间的数量关系，通过设未知数列方程的方式可以快速理清角度关系完成求解。
【难度系数】
0.6
13. 如图
，在$△ ABC$中，$BC = 6$，$S_{△ ABC}=20$，$AB$的垂直平分线$EF$分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$。若$D$，$M$分别为线段$BC$，$EF$上的动点，则$BM+DM$的最小值为
，在$△ ABC$中，$BC = 6$，$S_{△ ABC}=20$，$AB$的垂直平分线$EF$分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$。若$D$，$M$分别为线段$BC$，$EF$上的动点，则$BM+DM$的最小值为$\frac{20}{3}$
。答案
13.$\frac{20}{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用垂直平分线的性质进行线段转化：EF是AB的垂直平分线，因此EF上的点M到A、B两点的距离相等，即BM=AM，由此可将待求的BM+DM转化为AM+DM。再根据最短路径原理：两点之间线段最短，结合点到直线的距离垂线段最短，可知当A、M、D三点共线且AD垂直BC时，AM+DM的和最小，这个最小值就是BC边上的高的长度，最后结合三角形面积公式计算高即可。
【解析】
解：
∵EF是AB的垂直平分线，点M在EF上
∴根据垂直平分线的性质可得：$BM=AM$
∴$BM+DM=AM+DM$
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$AM+DM=AD$，此时和取得最小值；再根据点到直线的距离垂线段最短，当$AD⊥ BC$时，AD的长度最小。
已知$S_{△ ABC}=20$，$BC=6$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，代入数据得：
$20=\frac{1}{2}×6× AD$
解得$AD=\frac{2×20}{6}=\frac{20}{3}$
即$BM+DM$的最小值为$\frac{20}{3}$。
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
垂直平分线的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题的核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和转化为共线可求的线段，再结合垂线段最短确定最小值的位置，是轴对称最短路径类题的典型考法，熟练掌握性质和转化思想是解题关键。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用垂直平分线的性质进行线段转化：EF是AB的垂直平分线，因此EF上的点M到A、B两点的距离相等，即BM=AM，由此可将待求的BM+DM转化为AM+DM。再根据最短路径原理：两点之间线段最短，结合点到直线的距离垂线段最短，可知当A、M、D三点共线且AD垂直BC时，AM+DM的和最小，这个最小值就是BC边上的高的长度，最后结合三角形面积公式计算高即可。
【解析】
解：
∵EF是AB的垂直平分线，点M在EF上
∴根据垂直平分线的性质可得：$BM=AM$
∴$BM+DM=AM+DM$
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$AM+DM=AD$，此时和取得最小值；再根据点到直线的距离垂线段最短，当$AD⊥ BC$时，AD的长度最小。
已知$S_{△ ABC}=20$，$BC=6$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，代入数据得：
$20=\frac{1}{2}×6× AD$
解得$AD=\frac{2×20}{6}=\frac{20}{3}$
即$BM+DM$的最小值为$\frac{20}{3}$。
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
垂直平分线的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题的核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和转化为共线可求的线段，再结合垂线段最短确定最小值的位置，是轴对称最短路径类题的典型考法，熟练掌握性质和转化思想是解题关键。
【难度系数】
0.6
14. [2025·六安霍邱县期末]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为AC上一点,且满足$AD=BD=BC$.E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF.
(1)求$∠ BAC$和$∠ ACB$的度数;
(2)求证:$△ ACF$是等腰三角形.
(1)求$∠ BAC$和$∠ ACB$的度数;
(2)求证:$△ ACF$是等腰三角形.
答案
14.(1)解:设$∠BAC=x°$.
∵$AD=BD$,
∴$∠ABD=∠BAC=x°$,
∴$∠BDC=∠ABD+∠BAC=(2x)°$.
∵$BD=BC$,
∴$∠BCD=∠BDC=(2x)°$.
∵$AB=AC$,
∴$∠ABC=∠ACB=(2x)°$.
在$△ABC$中,$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$,
∴$x+2x+2x=180$,解得$x=36$,
则$∠BAC=36°$,$∠ACB=72°$.
(2)证明:
∵E是AB的中点,$AD=BD$,
∴$DE⊥AB$,即$FE⊥AB$,
∴FE垂直平分AB.
∴$AF=BF$,
∴$∠BAF=∠ABF$.
又
∵$∠BAD=∠ABD$,
∴$∠BAF-∠BAD=∠ABF-∠ABD$,
即$∠FAD=∠FBD=36°$.
又
∵$∠ACB=72°$,
∴$∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°$.
∴$∠CAF=∠AFC$,
∴$AC=CF$,
∴$△ACF$是等腰三角形.
∵$AD=BD$,
∴$∠ABD=∠BAC=x°$,
∴$∠BDC=∠ABD+∠BAC=(2x)°$.
∵$BD=BC$,
∴$∠BCD=∠BDC=(2x)°$.
∵$AB=AC$,
∴$∠ABC=∠ACB=(2x)°$.
在$△ABC$中,$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$,
∴$x+2x+2x=180$,解得$x=36$,
则$∠BAC=36°$,$∠ACB=72°$.
(2)证明:
∵E是AB的中点,$AD=BD$,
∴$DE⊥AB$,即$FE⊥AB$,
∴FE垂直平分AB.
∴$AF=BF$,
∴$∠BAF=∠ABF$.
又
∵$∠BAD=∠ABD$,
∴$∠BAF-∠BAD=∠ABF-∠ABD$,
即$∠FAD=∠FBD=36°$.
又
∵$∠ACB=72°$,
∴$∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°$.
∴$∠CAF=∠AFC$,
∴$AC=CF$,
∴$△ACF$是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 题中存在多个等腰三角形，可利用“等边对等角”的性质，结合三角形外角的性质将相关角度用同一个未知数表示，再根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
(2) 要证明△ACF是等腰三角形，只需证明它有两个内角相等或者两条边相等。首先结合E是AB中点、AD=BD的条件，利用等腰三角形三线合一的性质推出FE垂直平分AB，得到AF=BF，再通过角度的和差推导角的等量关系，最终证明∠CAF=∠AFC即可。
【解析】
(1) 解：设∠BAC=x°。
∵$AD=BD$，
∴$∠ABD=∠BAC=x°$，
∴$∠BDC=∠ABD+∠BAC=(2x)°$。
∵$BD=BC$，
∴$∠BCD=∠BDC=(2x)°$。
∵$AB=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB=(2x)°$。
在$△ABC$中,$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$，
∴$x+2x+2x=180$，解得$x=36$，
则$∠BAC=36°$，$∠ACB=72°$。
(2) 证明:
∵E是AB的中点，$AD=BD$，
∴$DE⊥AB$，即$FE⊥AB$，
∴FE垂直平分AB。
∴$AF=BF$，
∴$∠BAF=∠ABF$。
又
∵$∠BAD=∠ABD$，
∴$∠BAF-∠BAD=∠ABF-∠ABD$，
即$∠FAD=∠FBD=36°$。
又
∵$∠ACB=72°$，由三角形外角性质可得$∠ACB=∠CAF+∠AFC$，
∴$∠AFC=∠ACB-∠CAF=72°-36°=36°$，
∴$∠CAF=∠AFC$，
∴$AC=CF$，
∴$△ACF$是等腰三角形。
【答案】
(1) $∠BAC=36°$，$∠ACB=72°$；(2) △ACF是等腰三角形，证明如上。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型综合题，解题的核心是利用等边对等角的性质和角度和差关系推导角的等量关系，合理设未知数列方程求角度、结合三线合一推导垂直平分线是解题的关键，考察的都是几何部分的核心知识点。
【难度系数】
0.6
(1) 题中存在多个等腰三角形，可利用“等边对等角”的性质，结合三角形外角的性质将相关角度用同一个未知数表示，再根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
(2) 要证明△ACF是等腰三角形，只需证明它有两个内角相等或者两条边相等。首先结合E是AB中点、AD=BD的条件，利用等腰三角形三线合一的性质推出FE垂直平分AB，得到AF=BF，再通过角度的和差推导角的等量关系，最终证明∠CAF=∠AFC即可。
【解析】
(1) 解：设∠BAC=x°。
∵$AD=BD$，
∴$∠ABD=∠BAC=x°$，
∴$∠BDC=∠ABD+∠BAC=(2x)°$。
∵$BD=BC$，
∴$∠BCD=∠BDC=(2x)°$。
∵$AB=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB=(2x)°$。
在$△ABC$中,$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$，
∴$x+2x+2x=180$，解得$x=36$，
则$∠BAC=36°$，$∠ACB=72°$。
(2) 证明:
∵E是AB的中点，$AD=BD$，
∴$DE⊥AB$，即$FE⊥AB$，
∴FE垂直平分AB。
∴$AF=BF$，
∴$∠BAF=∠ABF$。
又
∵$∠BAD=∠ABD$，
∴$∠BAF-∠BAD=∠ABF-∠ABD$，
即$∠FAD=∠FBD=36°$。
又
∵$∠ACB=72°$，由三角形外角性质可得$∠ACB=∠CAF+∠AFC$，
∴$∠AFC=∠ACB-∠CAF=72°-36°=36°$，
∴$∠CAF=∠AFC$，
∴$AC=CF$，
∴$△ACF$是等腰三角形。
【答案】
(1) $∠BAC=36°$，$∠ACB=72°$；(2) △ACF是等腰三角形，证明如上。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型综合题，解题的核心是利用等边对等角的性质和角度和差关系推导角的等量关系，合理设未知数列方程求角度、结合三线合一推导垂直平分线是解题的关键，考察的都是几何部分的核心知识点。
【难度系数】
0.6
15.如图，$△ ABC$为等边三角形，D为BC延长线上一点，CE平分$∠ ACD$，且$CE=BD$，连接AD，AE，DE.
(1)求证：$AB// CE$；
(2)试判断$△ ADE$的形状，并说明理由.
(1)求证：$AB// CE$；
(2)试判断$△ ADE$的形状，并说明理由.
答案
15.(1)证明:
∵$△ABC$为等边三角形,
∴$∠BAC=∠ACB=60°$,
∴$∠ACD=180°-∠ACB=120°$.
∵CE平分$∠ACD$,
∴$∠ACE=∠DCE=\frac{1}{2}∠ACD=60°$,
∴$∠BAC=∠ACE$,
∴$AB// CE$.
(2)解:$△ADE$是等边三角形.理由如下:
∵$△ABC$为等边三角形,
∴$∠B=60°=∠ACE$,$AB=AC$.
在$△ABD$和$△ACE$中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠B=∠ACE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴$△ABD≌△ACE$.(SAS)
∴$AD=AE$,$∠BAD=∠CAE$.
∴$∠DAE = ∠CAE - ∠CAD = ∠BAD - ∠CAD = ∠BAC=60°$,
∴$△ADE$是等边三角形.
∵$△ABC$为等边三角形,
∴$∠BAC=∠ACB=60°$,
∴$∠ACD=180°-∠ACB=120°$.
∵CE平分$∠ACD$,
∴$∠ACE=∠DCE=\frac{1}{2}∠ACD=60°$,
∴$∠BAC=∠ACE$,
∴$AB// CE$.
(2)解:$△ADE$是等边三角形.理由如下:
∵$△ABC$为等边三角形,
∴$∠B=60°=∠ACE$,$AB=AC$.
在$△ABD$和$△ACE$中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠B=∠ACE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴$△ABD≌△ACE$.(SAS)
∴$AD=AE$,$∠BAD=∠CAE$.
∴$∠DAE = ∠CAE - ∠CAD = ∠BAD - ∠CAD = ∠BAC=60°$,
∴$△ADE$是等边三角形.
解析
【分析】
(1)要证明$AB// CE$，可通过证明内错角相等实现。先利用等边三角形的性质得到$∠ ACB=60°$，进而求出邻补角$∠ ACD$的度数，再结合角平分线的性质求出$∠ ACE$的度数，对比$∠ BAC$的度数即可得到内错角相等，判定平行。
(2)判断$△ ADE$的形状，首先结合已知条件$BD=CE$、等边三角形的$AB=AC$和$∠ B=∠ ACE=60°$，可通过SAS证明$△ ABD≌△ ACE$，得到$AD=AE$，再通过角的等量代换求出$∠ DAE=60°$，即可结合等边三角形的判定定理得出结论。
【解析】
(1)证明:
$\because△ ABC$为等边三角形,
$\therefore∠ BAC=∠ ACB=60°$,
$\therefore∠ ACD=180°-∠ ACB=120°$.
$\because CE$平分$∠ ACD$,
$\therefore∠ ACE=∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACD=60°$,
$\therefore∠ BAC=∠ ACE$,
$\therefore AB// CE$.
(2)$△ ADE$是等边三角形.理由如下:
$\because△ ABC$为等边三角形,
$\therefore∠ B=60°=∠ ACE$,$AB=AC$.
在$△ ABD$和$△ ACE$中,
$\because\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ B=∠ ACE, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ ACE$.(SAS)
$\therefore AD=AE$,$∠ BAD=∠ CAE$.
$\therefore∠ DAE = ∠ CAE - ∠ CAD = ∠ BAD - ∠ CAD = ∠ BAC=60°$,
$\therefore△ ADE$是等边三角形.
【答案】
(1)$AB// CE$，证明成立；(2)$△ ADE$是等边三角形。
【知识点】
平行线的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行线、全等三角形、等边三角形的相关性质和判定定理，准确找到角、边的等量关系，对逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$AB// CE$，可通过证明内错角相等实现。先利用等边三角形的性质得到$∠ ACB=60°$，进而求出邻补角$∠ ACD$的度数，再结合角平分线的性质求出$∠ ACE$的度数，对比$∠ BAC$的度数即可得到内错角相等，判定平行。
(2)判断$△ ADE$的形状，首先结合已知条件$BD=CE$、等边三角形的$AB=AC$和$∠ B=∠ ACE=60°$，可通过SAS证明$△ ABD≌△ ACE$，得到$AD=AE$，再通过角的等量代换求出$∠ DAE=60°$，即可结合等边三角形的判定定理得出结论。
【解析】
(1)证明:
$\because△ ABC$为等边三角形,
$\therefore∠ BAC=∠ ACB=60°$,
$\therefore∠ ACD=180°-∠ ACB=120°$.
$\because CE$平分$∠ ACD$,
$\therefore∠ ACE=∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACD=60°$,
$\therefore∠ BAC=∠ ACE$,
$\therefore AB// CE$.
(2)$△ ADE$是等边三角形.理由如下:
$\because△ ABC$为等边三角形,
$\therefore∠ B=60°=∠ ACE$,$AB=AC$.
在$△ ABD$和$△ ACE$中,
$\because\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ B=∠ ACE, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ ACE$.(SAS)
$\therefore AD=AE$,$∠ BAD=∠ CAE$.
$\therefore∠ DAE = ∠ CAE - ∠ CAD = ∠ BAD - ∠ CAD = ∠ BAC=60°$,
$\therefore△ ADE$是等边三角形.
【答案】
(1)$AB// CE$，证明成立；(2)$△ ADE$是等边三角形。
【知识点】
平行线的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行线、全等三角形、等边三角形的相关性质和判定定理，准确找到角、边的等量关系，对逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
