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1. 如图,在$△ ABC$中,$BA=BC=10$,$BD$是$AC$边上的中线,$E$是$BD$上的动点,$F$是$BC$上的动点.若$CE+EF$的最小值为$9.6$,则$△ ABC$的面积为 (
A.96
B.48
C.38
D.24
B
)A.96
B.48
C.38
D.24
答案
1.B
解析
【分析】
首先根据已知△ABC中BA=BC，BD是AC中线，由等腰三角形三线合一可知BD垂直平分AC，因此点C和点A关于BD对称，可得CE=AE，那么CE+EF可转化为AE+EF。根据两点之间线段最短及垂线段最短的性质，当A、E、F三点共线且AF垂直BC时，AE+EF取得最小值，这个最小值就是BC边上的高AF的长度，最后用三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵BA=BC，BD是AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC（等腰三角形三线合一），
∴点C与点A关于直线BD对称，即CE=AE，
∴CE+EF=AE+EF。
根据垂线段最短可知，当AF⊥BC，且A、E、F三点共线时，AE+EF的值最小，最小值为AF的长，
由题意得AF=9.6。
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×BC×AF=\frac{1}{2}×10×9.6=48$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，轴对称最短路径，三角形面积计算
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型应用，解题核心是利用等腰三角形的对称性将两条线段的和转化为点到直线的垂线段，再结合面积公式求解，对学生的转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先根据已知△ABC中BA=BC，BD是AC中线，由等腰三角形三线合一可知BD垂直平分AC，因此点C和点A关于BD对称，可得CE=AE，那么CE+EF可转化为AE+EF。根据两点之间线段最短及垂线段最短的性质，当A、E、F三点共线且AF垂直BC时，AE+EF取得最小值，这个最小值就是BC边上的高AF的长度，最后用三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵BA=BC，BD是AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC（等腰三角形三线合一），
∴点C与点A关于直线BD对称，即CE=AE，
∴CE+EF=AE+EF。
根据垂线段最短可知，当AF⊥BC，且A、E、F三点共线时，AE+EF的值最小，最小值为AF的长，
由题意得AF=9.6。
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×BC×AF=\frac{1}{2}×10×9.6=48$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，轴对称最短路径，三角形面积计算
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型应用，解题核心是利用等腰三角形的对称性将两条线段的和转化为点到直线的垂线段，再结合面积公式求解，对学生的转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7
2.[2026·潜山期末]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD$是$∠ BAC$的平分线.若$P,Q$分别是$AD$和$AC$上的动点,则$PC+PQ$的最小值是
9.6
.答案
2.9.6
解析
【分析】
本题属于线段和的最小值问题，解题思路如下：①首先利用等腰三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点C与点B关于AD对称，根据轴对称的性质可得PC=PB，此时PC+PQ可转化为PB+PQ；②根据“垂线段最短”，当BQ垂直于AC且B、P、Q三点共线时，PB+PQ的值最小，最小值即为AC边上的高BQ的长度；③最后利用三角形面积的两种计算方法，即可求出BQ的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，AD平分$∠BAC$，
∴AD⊥BC，且AD平分BC，即点B与点C关于AD对称，
∴$PC=PB$，
∴$PC+PQ=PB+PQ$。
根据垂线段最短可知：过点B作$BQ⊥AC$于点Q，交AD于点P，此时$PC+PQ$的值最小，最小值为BQ的长度。
∵$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BQ$，
代入已知数据$BC=12$，$AD=8$，$AC=10$：
$\frac{1}{2} × 12 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × BQ$，
解得：$BQ=\frac{96}{10}=9.6$，
即$PC+PQ$的最小值是9.6。
【答案】
9.6
【知识点】
轴对称最短路径；等腰三角形性质；垂线段最短
【点评】
本题是轴对称求线段和最值的典型题型，解题的核心是利用轴对称性质将待求线段和转化为共线线段，结合垂线段最短确定最小值的位置，再用面积法求高即可，掌握“将军饮马”模型的变形应用是解题关键。
【难度系数】
0.6
本题属于线段和的最小值问题，解题思路如下：①首先利用等腰三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点C与点B关于AD对称，根据轴对称的性质可得PC=PB，此时PC+PQ可转化为PB+PQ；②根据“垂线段最短”，当BQ垂直于AC且B、P、Q三点共线时，PB+PQ的值最小，最小值即为AC边上的高BQ的长度；③最后利用三角形面积的两种计算方法，即可求出BQ的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，AD平分$∠BAC$，
∴AD⊥BC，且AD平分BC，即点B与点C关于AD对称，
∴$PC=PB$，
∴$PC+PQ=PB+PQ$。
根据垂线段最短可知：过点B作$BQ⊥AC$于点Q，交AD于点P，此时$PC+PQ$的值最小，最小值为BQ的长度。
∵$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BQ$，
代入已知数据$BC=12$，$AD=8$，$AC=10$：
$\frac{1}{2} × 12 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × BQ$，
解得：$BQ=\frac{96}{10}=9.6$，
即$PC+PQ$的最小值是9.6。
【答案】
9.6
【知识点】
轴对称最短路径；等腰三角形性质；垂线段最短
【点评】
本题是轴对称求线段和最值的典型题型，解题的核心是利用轴对称性质将待求线段和转化为共线线段，结合垂线段最短确定最小值的位置，再用面积法求高即可，掌握“将军饮马”模型的变形应用是解题关键。
【难度系数】
0.6
3.[2026·安庆期末]如图，$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为底边$BC$的中点，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，$AB$的垂直平分线交$AB$于点$M$，交$AC$于点$N$，$O$为线段$MN$上一点，则$OB+OD$的最小值为（
A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$4.5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
C
）A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$4.5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先观察到MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得O在MN上时OB=OA，因此OB+OD可转化为OA+OD。要使OA+OD最小，根据两点之间线段最短，当A、O、D三点共线时，和最小，最小值就是线段AD的长度。再结合等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，最后用三角形面积公式即可求出AD的长度。
【解析】
1. 利用垂直平分线性质转化线段：
∵MN是AB的垂直平分线，点O在MN上，
∴OB=OA，因此OB+OD=OA+OD。
2. 确定最小值的情况：
根据两点之间线段最短，当A、O、D三点共线时，OA+OD取得最小值，最小值为线段AD的长度。
3. 计算AD的长度：
∵AB=AC，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。
已知BC=4cm，$S_{△ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}×BC×AD=12$，代入BC=4得$\frac{1}{2}×4×AD=12$，
解得$AD=6\ \mathrm{cm}$，即OB+OD的最小值为6cm。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称最值问题的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质将待求线段和转化为共线时的线段长度，再结合等腰三角形的性质和面积公式计算，难度适中，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得O在MN上时OB=OA，因此OB+OD可转化为OA+OD。要使OA+OD最小，根据两点之间线段最短，当A、O、D三点共线时，和最小，最小值就是线段AD的长度。再结合等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，最后用三角形面积公式即可求出AD的长度。
【解析】
1. 利用垂直平分线性质转化线段：
∵MN是AB的垂直平分线，点O在MN上，
∴OB=OA，因此OB+OD=OA+OD。
2. 确定最小值的情况：
根据两点之间线段最短，当A、O、D三点共线时，OA+OD取得最小值，最小值为线段AD的长度。
3. 计算AD的长度：
∵AB=AC，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。
已知BC=4cm，$S_{△ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}×BC×AD=12$，代入BC=4得$\frac{1}{2}×4×AD=12$，
解得$AD=6\ \mathrm{cm}$，即OB+OD的最小值为6cm。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称最值问题的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质将待求线段和转化为共线时的线段长度，再结合等腰三角形的性质和面积公式计算，难度适中，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$的垂直平分线交$AC$于点$N$，交$AB$于点$M$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$△ BMC$的周长是$20\ \mathrm{cm}$.若点$P$在直线$MN$上，则$|PA-PB|$的最大值为
8
$\mathrm{cm}$.答案
4.8
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求BC的长度，已知MN是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得MA=MC，将△BMC的周长转化为AB+BC，结合已知的AB长度和△BMC的周长即可求出BC；第二步求|PA-PB|的最大值，同样根据垂直平分线性质得PA=PC，将|PA-PB|转化为|PC-PB|，再根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，可知当P、B、C三点共线时，|PC-PB|取最大值，等于BC的长度。
【解析】
解：
∵MN是AC的垂直平分线，
∴垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即$MA=MC$，$PA=PC$。
①计算BC的长度：
$△ BMC$的周长$=BM+MC+BC=20\ \mathrm{cm}$，
将$MC=MA$代入得：$BM+MA+BC=AB+BC=20\ \mathrm{cm}$，
已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，代入得$12+BC=20$，解得$BC=8\ \mathrm{cm}$。
②求$|PA-PB|$的最大值：
∵$PA=PC$，
∴$|PA-PB|=|PC-PB|$，
根据三角形三边关系，在$△ PBC$中，$|PC-PB|＜BC$，
当且仅当P、B、C三点共线时，$|PC-PB|=BC$，等号成立，此时$|PA-PB|$取得最大值。
【答案】
8
【知识点】
垂直平分线的性质；三角形三边关系；轴对称最值问题
【点评】
本题是轴对称最值类的典型题型，核心是通过垂直平分线的性质做线段的等量转换，将未知的线段差最值问题转化为已知边的长度问题，需要掌握最值的取等条件，即三点共线时差取最大值。
【难度系数】
0.65
解题思路分为两步：第一步先求BC的长度，已知MN是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得MA=MC，将△BMC的周长转化为AB+BC，结合已知的AB长度和△BMC的周长即可求出BC；第二步求|PA-PB|的最大值，同样根据垂直平分线性质得PA=PC，将|PA-PB|转化为|PC-PB|，再根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，可知当P、B、C三点共线时，|PC-PB|取最大值，等于BC的长度。
【解析】
解：
∵MN是AC的垂直平分线，
∴垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即$MA=MC$，$PA=PC$。
①计算BC的长度：
$△ BMC$的周长$=BM+MC+BC=20\ \mathrm{cm}$，
将$MC=MA$代入得：$BM+MA+BC=AB+BC=20\ \mathrm{cm}$，
已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，代入得$12+BC=20$，解得$BC=8\ \mathrm{cm}$。
②求$|PA-PB|$的最大值：
∵$PA=PC$，
∴$|PA-PB|=|PC-PB|$，
根据三角形三边关系，在$△ PBC$中，$|PC-PB|＜BC$，
当且仅当P、B、C三点共线时，$|PC-PB|=BC$，等号成立，此时$|PA-PB|$取得最大值。
【答案】
8
【知识点】
垂直平分线的性质；三角形三边关系；轴对称最值问题
【点评】
本题是轴对称最值类的典型题型，核心是通过垂直平分线的性质做线段的等量转换，将未知的线段差最值问题转化为已知边的长度问题，需要掌握最值的取等条件，即三点共线时差取最大值。
【难度系数】
0.65
5.如图,已知$∠ AOB = 30°$,在$∠ AOB$内有一定点$P$,点$M,N$分别是$OA,OB$上的动点.若$△ PMN$的周长的最小值为$3$,则$OP$的长为
3
.答案
5.3
解析
【分析】
解决这类周长最小的动点问题，需利用轴对称转化线段长度：首先分别作点P关于OA、OB的对称点，根据轴对称性质，可将△PMN的三边转化为连接两个对称点的折线段，根据“两点之间线段最短”，折线段的最小值就是两个对称点的线段长，即△PMN周长的最小值。再结合∠AOB的度数推导对称点与点O构成的三角形的形状，即可求出OP的长度。
【解析】
1. 作点P关于OA的对称点$P_1$，作点P关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交OA、OB于点M、N，此时$△ PMN$的周长最小，最小值为$P_1P_2$的长度，由题意得$P_1P_2=3$。
2. 根据轴对称的性质可知：$OP_1=OP$，$OP_2=OP$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$，因此$OP_1=OP_2$。
3. 计算$∠ P_1OP_2$：$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ AOP+∠ POB+∠ P_2OB=2(∠ AOP+∠ POB)=2∠ AOB=2×30°=60°$。
4. 由$OP_1=OP_2$且$∠ P_1OP_2=60°$，可得$△ P_1OP_2$是等边三角形，因此$OP=OP_1=P_1P_2=3$。
【答案】
3
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是利用轴对称求最短路径的典型题型，核心是通过作对称点将三角形周长的最小值转化为两点间的线段长，再结合角度特征判断三角形形状求解，充分体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.7
解决这类周长最小的动点问题，需利用轴对称转化线段长度：首先分别作点P关于OA、OB的对称点，根据轴对称性质，可将△PMN的三边转化为连接两个对称点的折线段，根据“两点之间线段最短”，折线段的最小值就是两个对称点的线段长，即△PMN周长的最小值。再结合∠AOB的度数推导对称点与点O构成的三角形的形状，即可求出OP的长度。
【解析】
1. 作点P关于OA的对称点$P_1$，作点P关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交OA、OB于点M、N，此时$△ PMN$的周长最小，最小值为$P_1P_2$的长度，由题意得$P_1P_2=3$。
2. 根据轴对称的性质可知：$OP_1=OP$，$OP_2=OP$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$，因此$OP_1=OP_2$。
3. 计算$∠ P_1OP_2$：$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ AOP+∠ POB+∠ P_2OB=2(∠ AOP+∠ POB)=2∠ AOB=2×30°=60°$。
4. 由$OP_1=OP_2$且$∠ P_1OP_2=60°$，可得$△ P_1OP_2$是等边三角形，因此$OP=OP_1=P_1P_2=3$。
【答案】
3
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是利用轴对称求最短路径的典型题型，核心是通过作对称点将三角形周长的最小值转化为两点间的线段长，再结合角度特征判断三角形形状求解，充分体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.7
6.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=130°,∠D=∠B=90°,点M,N分别是CD,BC上的动点,当△AMN的周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数为
$100°$
.答案
6.$100°$
解析
【分析】
要使△AMN的周长最小，需利用轴对称的性质将三条线段AM、MN、AN的和转化为两点之间的线段长度。我们可以分别作点A关于CD的对称点A'，关于BC的对称点A''，连接A'A''，与CD、BC的交点即为周长最小时的点M、N。再结合轴对称的对应角相等、三角形外角性质和已知角度，即可求出∠AMN+∠ANM的度数。
【解析】
1. 作点A关于CD的对称点A'，点A关于BC的对称点A''，连接A'A''，分别交CD、BC于点M、N，此时△AMN的周长最小，依据是两点之间线段最短。
2. 由轴对称的性质可得：AM = A'M，AN = A''N，∠A' = ∠MAA'，∠A'' = ∠NAA''。
3. 根据三角形外角的性质，∠AMN是△AA'M的外角，因此∠AMN = ∠A' + ∠MAA' = 2∠A'；同理∠ANM = ∠A'' + ∠NAA'' = 2∠A''。
4. 已知∠BAD = 130°，在△AA'A''中，根据三角形内角和定理，∠A' + ∠A'' = 180° - ∠BAD = 180° - 130° = 50°。
5. 因此∠AMN + ∠ANM = 2∠A' + 2∠A'' = 2(∠A' + ∠A'') = 2×50° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形外角性质
【点评】
本题属于轴对称最短路径的典型应用题型，解题的核心是通过作对称点将线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短问题，再结合角度的相关性质完成推导，考查了学生对几何最值问题的转化能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.6
要使△AMN的周长最小，需利用轴对称的性质将三条线段AM、MN、AN的和转化为两点之间的线段长度。我们可以分别作点A关于CD的对称点A'，关于BC的对称点A''，连接A'A''，与CD、BC的交点即为周长最小时的点M、N。再结合轴对称的对应角相等、三角形外角性质和已知角度，即可求出∠AMN+∠ANM的度数。
【解析】
1. 作点A关于CD的对称点A'，点A关于BC的对称点A''，连接A'A''，分别交CD、BC于点M、N，此时△AMN的周长最小，依据是两点之间线段最短。
2. 由轴对称的性质可得：AM = A'M，AN = A''N，∠A' = ∠MAA'，∠A'' = ∠NAA''。
3. 根据三角形外角的性质，∠AMN是△AA'M的外角，因此∠AMN = ∠A' + ∠MAA' = 2∠A'；同理∠ANM = ∠A'' + ∠NAA'' = 2∠A''。
4. 已知∠BAD = 130°，在△AA'A''中，根据三角形内角和定理，∠A' + ∠A'' = 180° - ∠BAD = 180° - 130° = 50°。
5. 因此∠AMN + ∠ANM = 2∠A' + 2∠A'' = 2(∠A' + ∠A'') = 2×50° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形外角性质
【点评】
本题属于轴对称最短路径的典型应用题型，解题的核心是通过作对称点将线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短问题，再结合角度的相关性质完成推导，考查了学生对几何最值问题的转化能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.6
