1.【探究性问题】将两块大小不同的透明的等腰直角三角板ABC和DCE按如图①所示方式摆放，直角顶点C重合，三角板DCE的顶点D在三角板ABC的斜边AB上，连接BE。
【初步探究】
(1)图①中线段AD和BE之间的数量关系和位置关系分别是什么？请说明理由。
【深入探究】
(2)如果三角板DCE的顶点D在三角板ABC的斜边BA的延长线上，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？请说明理由。

1.解:(1)AD=BE,AD⊥BE.理由如下:
∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∵$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE.(SAS)
∴AD=BE,∠A=∠CBE.
∵∠A+∠ABC=90°.
∴∠CBE+∠ABC=∠ABE=90°,即AD⊥BE.
(2)AD=BE,AD⊥BE还成立.理由如下:
同(1)可证△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠CDA=∠CEB.
∵∠CDA+∠ADE+∠DEC=90°,
∴∠CEB+∠ADE+∠DEC=90°.
∴∠DBE=90°,即AD⊥BE.

【分析】
(1)要判断AD和BE的数量、位置关系，可结合共顶点等腰三角形的“手拉手”全等模型思考：首先由等腰直角三角形的性质得到两组相等的边，再通过角的和差推导两边的夹角相等，即可用SAS证明△ACD≌△BCE，得到AD与BE的数量关系；再利用全等的对应角相等，结合等腰直角三角形的锐角度数，推导得到夹角为90°，即可得到二者的位置关系。
(2)当D在BA延长线上时，仍沿用(1)的思路，先通过角的和差证明△ACD和△BCE全等，再利用全等性质推导角的关系，即可验证结论是否成立。
【解析】
(1)AD=BE，AD⊥BE，理由如下：
∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠A=∠CBE，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=∠ABE=90°，即AD⊥BE。
(2)AD=BE，AD⊥BE仍然成立，理由如下：
同(1)可证△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CDA=∠CEB，
∵∠CDA+∠ADE+∠DEC=90°，
∴∠CEB+∠ADE+∠DEC=90°，
∴∠DBE=90°，即AD⊥BE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AD=BE}$，$\boldsymbol{AD⊥ BE}$；(2) (1)中的结论仍成立，$\boldsymbol{AD=BE}$，$\boldsymbol{AD⊥ BE}$。
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直的判定
【点评】
本题是“手拉手”全等模型的典型应用，解题核心是抓住共顶点等腰三角形的两组等边角，通过角的和差推导相等夹角证明全等，再利用全等性质推导边、角关系，熟练掌握该模型可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7

2.[2026·安庆期末]如图①,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE$,连接$BD$,$CE$.
(1)求证:$BD=CE$;
(2)如图②,若点$C$恰好在$DE$上,$DB⊥ AB$,$BD=3$,则$DE$的长为________;
(3)如图③,若$DB⊥ AB$,$DE$交$BC$的延长线于点$F$,试判断$DF$与$EF$的数量关系,并说明理由.

2.(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE.(SAS)
∴BD=CE.
(2)6
(3)解:DF=EF.理由如下:
如图③,过点D作DI⊥BC于点I,过点E作EK⊥BC交BC的延长线于点K,则∠DIF=∠BID=∠CKE=90°.
同(1)可得△BAD≌△CAE,BD=CE.
∵DB⊥AB,
∴∠ACE=∠ABD=90°,
∴∠DBI+∠ABC=90°,∠ECK+∠ACB=90°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠DBI=∠ECK.
在△DBI和△ECK中,
∵$\begin{cases} ∠BID=∠CKE, \\ ∠DBI=∠ECK, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△DBI≌△ECK.(AAS)
∴DI=EK.
在△DIF和△EKF中,
∵$\begin{cases} ∠DFI=∠EFK, \\ ∠DIF=∠EKF, \\ DI=EK, \end{cases}$
∴△DIF≌△EKF.(AAS)
∴DF=EF.

【分析】
(1) 要证$BD=CE$，可通过证明两线段所在的三角形全等推导。已知$∠BAC=∠DAE$，两角度同时减去公共角$∠CAD$可得$∠BAD=∠CAE$，结合已知$AB=AC$、$AD=AE$，用SAS即可证明$△ BAD≌△ CAE$，由全等性质得对应边相等。
(2) 由(1)的全等结论可得$CE=BD=3$，且$∠ACE=∠ABD=90°$，即$AC⊥DE$，结合$AD=AE$的等腰三角形性质，利用三线合一可得$C$是$DE$中点，即可求出$DE$长度。
(3) 要判断$DF$与$EF$的数量关系，可构造全等三角形证明：过$D$、$E$分别作$BC$所在直线的垂线，先由(1)的全等得$BD=CE$，再结合$AB=AC$推导角相等，证明$△ DBI≌△ ECK$得$DI=EK$，再证$△ DIF≌△ EKF$即可得到两线段相等。
【解析】
(1)证明:
∵$∠BAC=∠DAE$,
∴$∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD$,即$∠BAD=∠CAE$.
在$△ BAD$和$△ CAE$中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴$△ BAD≌△ CAE$.(SAS)
∴$BD=CE$.
(2) 由(1)得$△ BAD≌△ CAE$，
∴$CE=BD=3$，$∠ACE=∠ABD$，
∵$DB⊥AB$，
∴$∠ABD=90°$，
∴$∠ACE=90°$，即$AC⊥DE$，
又
∵$AD=AE$，$△ ADE$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质，$C$为$DE$中点，
∴$DE=2CE=2×3=6$.
(3)$DF=EF$.理由如下:
如图③,过点$D$作$DI⊥BC$于点$I$,过点$E$作$EK⊥BC$交$BC$的延长线于点$K$,则$∠DIF=∠BID=∠CKE=90°$.
同(1)可得$△ BAD≌△ CAE$,$BD=CE$.
∵$DB⊥AB$,
∴$∠ACE=∠ABD=90°$,
∴$∠DBI+∠ABC=90°$,$∠ECK+∠ACB=90°$.
∵$AB=AC$,
∴$∠ABC=∠ACB$,
∴$∠DBI=∠ECK$.
在$△ DBI$和$△ ECK$中,
∵$\begin{cases} ∠BID=∠CKE, \\ ∠DBI=∠ECK, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴$△ DBI≌△ ECK$.(AAS)
∴$DI=EK$.
在$△ DIF$和$△ EKF$中,
∵$\begin{cases} ∠DFI=∠EFK, \\ ∠DIF=∠EKF, \\ DI=EK, \end{cases}$
∴$△ DIF≌△ EKF$.(AAS)
∴$DF=EF$.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{6}$；
(3) $DF=EF$，理由见解析，辅助线如图：
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形的性质；手拉手全等模型
【点评】
本题以共顶点等腰三角形的手拉手模型为载体，设问层层递进，第一问是基础全等证明，第二问结合等腰三线合一求线段长，第三问需要通过作垂线构造全等证明线段相等，综合考查了几何推理能力和辅助线构造能力，是三角形全等应用的典型题型。
【难度系数】
0.6