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1. 母题 教材P43练习T2 如图，$BF=CE$，$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，根据“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ DCF$，则还要添加的条件是（
A.$∠ A=∠ D$
B.$AB=DC$
C.$∠ B=∠ C$
D.$AE=DF$
B
）A.$∠ A=∠ D$
B.$AB=DC$
C.$∠ B=∠ C$
D.$AE=DF$
答案
1.B
2. [2025江门月考] 如图，$AB⊥ BC$于点$B$，$AD⊥ DC$于点$D$，若$CB=CD$，且$∠ 1=30°$，则$∠ ACD$的度数是（
A.$90°$
B.$60°$
C.$30°$
D.$45°$
B
）A.$90°$
B.$60°$
C.$30°$
D.$45°$
答案
2.B
3. 两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点M，另一直角边BE，CD分别落在∠PAQ的边AP和AQ上，且AB=AC，作射线AM，则在说明AM为∠PAQ的平分线的过程中，证全等的依据是（
A.SAS
B.ASA
C.HL
D.SSS
C
）A.SAS
B.ASA
C.HL
D.SSS
答案
3.C 【点拨】由题意得$∠ ABM=∠ ACM=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ ABM$与$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$\begin{cases} AM=AM, \\ AB=AC, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ ACM$(HL),$\therefore ∠ BAM=∠ CAM$,$\therefore AM$是$∠ PAQ$的平分线.
4. 情境题 生活应用 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE之间的关系是 （
A.$∠ ABC=∠ DFE$
B.$∠ ABC＞∠ DFE$
C.$∠ ABC+∠ DFE=100°$
D.$∠ ABC+∠ DFE=90°$
D
）A.$∠ ABC=∠ DFE$
B.$∠ ABC＞∠ DFE$
C.$∠ ABC+∠ DFE=100°$
D.$∠ ABC+∠ DFE=90°$
答案
4.D
5. 如图，$∠ A=∠ D=90°,AB=DE,AC// DF,BC=EF$,求证:$BC// EF$.
答案
5.【证明】设$BC$与$DF$的交点为$G$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF. \therefore ∠ C=∠ F.$
$\because AC// DF,\therefore ∠ C=∠ DGB.$
$\therefore ∠ DGB=∠ F. \therefore BC// EF.$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF. \therefore ∠ C=∠ F.$
$\because AC// DF,\therefore ∠ C=∠ DGB.$
$\therefore ∠ DGB=∠ F. \therefore BC// EF.$
6. [2025天津南开区期中] 如图，$AB=BC$，$∠ BAD=∠ BCD=90°$，点$D$是$EF$上一点，$AE⊥ EF$，$CF⊥ EF$，垂足分别为点$E$，$F$，且$AE=CF$。求证：$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$。
答案
6.【证明】连接$BD$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CBD$中，$\begin{cases} BD=BD, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CBD(\mathrm{HL}),\therefore AD=CD.$
$\because AE⊥ EF,CF⊥ EF,\therefore ∠ E=∠ F=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\begin{cases} AD=CD, \\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}).$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CBD$中，$\begin{cases} BD=BD, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CBD(\mathrm{HL}),\therefore AD=CD.$
$\because AE⊥ EF,CF⊥ EF,\therefore ∠ E=∠ F=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\begin{cases} AD=CD, \\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}).$
7. [母题 教材P52习题T3] 如图，$CD⊥ AB$于点D，$BE⊥ AC$于点E，BE与CD交于点O，连接AO，$OB=OC$，则图中全等的直角三角形共有（
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
B
）A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
答案
7.B 【点拨】$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC,\therefore ∠ BDO=∠ ADO=∠ AEO=∠ CEO=90°$. 在$△ DOB$和$△ EOC$中，$\begin{cases} ∠ BDO=∠ CEO, \\ ∠ DOB=∠ EOC, \\ OB=OC, \end{cases}$$\therefore △ DOB≌△ EOC(\mathrm{AAS}),\therefore OD=OE,BD=CE$. 在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中，$\begin{cases} OA=OA, \\ OD=OE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}),\therefore AD=AE,\therefore 易得AB=AC$. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ AEB$中，$\begin{cases} AD=AE, \\ AC=AB, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ AEB(\mathrm{HL}). \therefore$共有3对全等的直角三角形.
8.如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$AB⊥ BC$，点B的坐标为$(0,2)$，点C的坐标为$(2,-2)$，则点A的坐标为（
A.$(-2,0)$
B.$(-3,0)$
C.$(-4,0)$
D.$(-5,0)$
C
）A.$(-2,0)$
B.$(-3,0)$
C.$(-4,0)$
D.$(-5,0)$
答案
8.C 【点拨】如图,过点$C$作$CM⊥ y$轴于点$M$. $\because B(0,2),C(2,-2),\therefore OB=CM=2,OM=2,\therefore BM=OB+OM=4$. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$和$\mathrm{Rt}△ BMC$中，$\begin{cases} BO=CM, \\ AB=BC, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ AOB≌\mathrm{Rt}△ BMC,\therefore AO=BM=4,\therefore A(-4,0).$
