9. 如图,已知$∠ ADB=∠ ACB=90°$,$AC=BD$,AC,BD相交于点O,给出下列五个结论:
①$AD=BC$;②$∠ DBC=∠ CAD$;③$AO=BO$;
④$AB// CD$;⑤$DO=CO$.
其中正确结论有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

9.D 【点拨】$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ BCA$中,$AB=BA$,$AC=BD$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ BCA(\mathrm{HL}). \therefore AD=BC$,故①正确; $\because \mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ BCA$,$\therefore ∠ DAB=∠ CBA$,$∠ DBA=∠ CAB$. $\therefore ∠ DBC=∠ CAD$,故②正确; 在$△ AOD$和$△ BOC$中,$∠ ADO=∠ BCO$,$∠ DOA=∠ COB$,$AD=BC$,$\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{AAS}). \therefore AO=BO$,$DO=CO$,故③⑤正确; 在$△ ACD$和$△ BDC$中,$AC=BD$,$AD=BC$,$CD=DC$,$\therefore △ ACD≌△ BDC$. $\therefore ∠ ACD=∠ BDC$. $\because ∠ CDO+∠ DCO+∠ COD=180°$,$∠ ACD=∠ BDC$,$∠ OAB+∠ OBA+∠ AOB=180°$,$∠ ABD=∠ BAC$,$∠ COD=∠ AOB$. $\therefore ∠ ACD=∠ BAC$,$\therefore AB// CD$,故④正确. $\therefore$以上结论都正确.

10.[2025连云港月考] 如图，$CA⊥AB$，垂足为点$A$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，射线$BM⊥AB$，垂足为点$B$，一动点$E$从点$A$出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$AN$运动，点$D$为射线$BM$上一动点，随着点$E$运动而运动，且始终保持$ED=CB$，当点$E$离开点$A$后，经过$\mathrm{s}$时，$△ DEB$与$△ BCA$全等。

10. 3或9或12

11. [2025 汕头月考] 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,连接对角线 AC,且 AC=AD,点 E 在边 BC 上,连接 DE,过点 A 作 AF⊥DE,垂足为 F,若 AB=AF. 求证:
(1)∠DAC=∠FAB;
(2)DF=CE+EF.

11.【证明】(1)$\because AF⊥ DE,\therefore ∠ AFD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ AFD$和$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\begin{cases} AD=AC, \\ AF=AB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFD≌\mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL}). \therefore ∠ DAF=∠ CAB,$
$\therefore ∠ DAF+∠ CAF=∠ CAB+∠ CAF,$
即$∠ DAC=∠ FAB.$
(2)如图,连接$AE$,易知$∠ AFE=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ AEF$和$\mathrm{Rt}△ AEB$中，
$\begin{cases} AE=AE, \\ AF=AB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEF≌\mathrm{Rt}△ AEB(\mathrm{HL}),$
$\therefore EF=BE.$
$\because \mathrm{Rt}△ AFD≌\mathrm{Rt}△ ABC,\therefore DF=BC.$
$\because BC=CE+BE=CE+EF,$
$\therefore DF=CE+EF.$

12. 如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接CE并延长交BD于点F.
(1)求证:△ACE≌△ABD.
(2)若∠BAC=∠DAE=49°,求∠BFC的度数.
(3)过点A作AH⊥BD于点H,请探究EF,DH,HF三条线段的数量关系,并给出证明.

12. (1)【证明】$\because ∠ BAC=∠ DAE,\therefore ∠ BAC+∠ BAE=∠ DAE+∠ BAE$,即$∠ CAE=∠ BAD.$
在$△ ACE$和$△ ABD$中，$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠ CAE=∠ BAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ ABD(\mathrm{SAS}).$
(2)【解】$\because △ ACE≌△ ABD,\therefore ∠ AEC=∠ ADB,$
$\therefore ∠ AEF+∠ AEC=∠ AEF+∠ ADB=180°,\therefore$易知$∠ DAE+∠ DFE=180°$. 又$\because ∠ BFC+∠ DFE=180°,$
$\therefore ∠ BFC=∠ DAE=49°.$
(3)【解】$EF+DH=FH$. 证明:
如图,连接$AF$,过点$A$作$AJ⊥ CF$于点$J$. $\because △ ACE≌△ ABD,\therefore S_{△ ACE}=S_{△ ABD}$,$CE=BD$. $\because AJ⊥ CE$,$AH⊥ BD$,$\therefore \frac{1}{2}CE· AJ=\frac{1}{2}BD· AH$,$\therefore AJ=AH$. 在$\mathrm{Rt}△ AFJ$和$\mathrm{Rt}△ AFH$中，$\begin{cases} AF=AF, \\ AJ=AH, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ AFJ≌\mathrm{Rt}△ AFH(\mathrm{HL}),\therefore FJ=FH$. 在$\mathrm{Rt}△ AJE$和$\mathrm{Rt}△ AHD$中，$\begin{cases} AE=AD, \\ AJ=AH, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ AJE≌\mathrm{Rt}△ AHD(\mathrm{HL}),\therefore EJ=DH,\therefore EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.$