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1. 母题 教材P146例1 计算$(-\dfrac{3a}{b}) · \dfrac{1}{6ab}$的结果是（
A.$-8a^2$
B.$-\dfrac{a}{2b}$
C.$\dfrac{18a}{b^2}$
D.$-\dfrac{1}{2b^2}$
D
）A.$-8a^2$
B.$-\dfrac{a}{2b}$
C.$\dfrac{18a}{b^2}$
D.$-\dfrac{1}{2b^2}$
答案
1.D
2. 化简$(9 - x^2) ÷ \frac{x^2 - 3x}{x}$的结果是（
A.$-x - 3$
B.$x + 3$
C.$\frac{1}{x + 3}$
D.$-\frac{1}{x + 3}$
A
）A.$-x - 3$
B.$x + 3$
C.$\frac{1}{x + 3}$
D.$-\frac{1}{x + 3}$
答案
2.A
3. 若“$\dfrac{x-1}{x^2 - □} · \dfrac{x+2}{x}$”可以进行约分化简，则“$□$”不可以是（
A.1
B.2
C.4
D.x
B
）A.1
B.2
C.4
D.x
答案
3.B
4. 「新趋势 过程性学习」下面是某同学化简式子 $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} ÷ \frac{x^2 + 4x + 4}{2x - x^2}$ 的过程，则横线上依次填入的序号为 （
$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} ÷ \frac{x^2 + 4x + 4}{2x - x^2}$
$=\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} · \frac{2x - x^2}{x^2 + 4x + 4}$
$=\frac{(x+2)(x-2)}{\_\_\_\_\_\_} · \frac{-x(\_\_\_\_\_\_)}{(x+2)^2}$
$=-\frac{x}{\_\_\_\_\_\_}.$
①$x+2$；②$x-2$；③$(x+2)^2$；④$(x-2)^2.$
A.③②①
B.③①②
C.④②①
D.④①②
5. 已知 $m - n = 2$，则式子 $\frac{m^2 - n^2}{} · \frac{2m}{}$ 的值
丙:计算结果是$\frac{1}{x-2}.$
请写出一个符合上述条件的题目: ______.
C
）$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} ÷ \frac{x^2 + 4x + 4}{2x - x^2}$
$=\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} · \frac{2x - x^2}{x^2 + 4x + 4}$
$=\frac{(x+2)(x-2)}{\_\_\_\_\_\_} · \frac{-x(\_\_\_\_\_\_)}{(x+2)^2}$
$=-\frac{x}{\_\_\_\_\_\_}.$
①$x+2$；②$x-2$；③$(x+2)^2$；④$(x-2)^2.$
A.③②①
B.③①②
C.④②①
D.④①②
5. 已知 $m - n = 2$，则式子 $\frac{m^2 - n^2}{} · \frac{2m}{}$ 的值
丙:计算结果是$\frac{1}{x-2}.$
请写出一个符合上述条件的题目: ______.
答案
4.C
7. 请从①$\frac{x^2 - 2x + 1}{x}$，②$\frac{x^2 + x}{x^2 - 1}$，③$\frac{x}{x + 1}$中选取两个式子相乘并化简，再从$-1,1,2$中选择合适的数代入求值.
答案
7.【解】选取②$\frac{x^2 + x}{x^2 - 1}$,③$\frac{x}{x + 1}$两个式子相乘，$\frac{x^2 + x}{x^2 - 1} · \frac{x}{x + 1} = \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)} · \frac{x}{x+1} = \frac{x^2}{(x+1)(x-1)}$. 当$x=2$时，$\frac{x^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{2^2}{(2+1)(2-1)}=\frac{4}{3}$.(答案不唯一)
8. [2025 石家庄校级期中]若$a$为正整数，则化简$\frac{a+1}{a^2 - a} ÷ \frac{a+1}{a^2 - 2a +1}$的结果可以是（
A.$0$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
B
）A.$0$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
答案
8.B 【点拨】原式$=\frac{a+1}{a(a-1)} ÷ \frac{a+1}{(a-1)^2} = \frac{a+1}{a(a-1)} · \frac{(a-1)^2}{a+1} = \frac{a-1}{a}. \because a≠0,a+1≠0,a-1≠0, \therefore a≠0$ 且$a≠-1$且$a≠1$.又$\because a$为正整数，$\therefore a-1＜a$,即$\frac{a-1}{a}＜1$且$\frac{a-1}{a}≠0. \therefore$ 选项A,C,D均不符合题意，故选B.
9. 式子$\frac{x-2}{x^2 -4x +4} ÷ \frac{1}{x+6}$的值为F，当F为整数时，整数x的值有 （
A.0个
B.7个
C.8个
D.无数个
B
）A.0个
B.7个
C.8个
D.无数个
答案
9.B 【点拨】由题意得 $F=\frac{x-2}{x^2-4x+4} ÷ \frac{1}{x+6} = \frac{x-2}{(x-2)^2} · (x+6) = \frac{x+6}{x-2} = 1 + \frac{8}{x-2}. \because F$ 为整数，且$x$为整数，$\therefore x-2=±1$或$±2$或$±4$或$±8$，$\therefore x=3$或1或4或0或6或-2或10或-6.又$\because x-2≠0$且$x+6≠0$，$\therefore x≠2$且$x≠-6. \therefore x=3$或1或4或0或6或-2或10，共有7个.
5. 已知 $ m - n = 2 $，则式子 $ \frac{m^2 - n^2}{m} · \frac{2m}{m + n} $ 的值是
4
。答案
5.4
6. 新视角 结论开放题 八年级的三名同学在一起讨论
一个分式乘法题目：
甲:它是一个整式与一个分式相乘.
乙:在计算过程中,用到了平方差公式进行因
式分解.
一个分式乘法题目：
甲:它是一个整式与一个分式相乘.
乙:在计算过程中,用到了平方差公式进行因
式分解.
答案
6.$(x+2)·\frac{1}{x^2-4}$(答案不唯一)
10.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复这种运算的过程如下：
则第n次的运算结果是
则第n次的运算结果是
$\frac{2^n x}{(2^n -1)x +1}$
（用含有字母x和n的代数式表示）。答案
10.$\frac{2^n x}{(2^n -1)x +1}$ 【点拨】根据题意，得 $y_1=\frac{2x}{x+1}$；$y_2=\frac{2y_1}{y_1+1}=\frac{4x}{3x+1}$；$y_3=\frac{2y_2}{y_2+1}=\frac{8x}{7x+1}$；…，根据以上规律可得，$y_n=\frac{2^n x}{(2^n -1)x +1}$.
