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11. 计算下列各题：
(1) $\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 8x + 15} ÷ \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 - 5x + 6} ÷ \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4x - 5}$；
(2)
(1) $\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 8x + 15} ÷ \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 - 5x + 6} ÷ \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4x - 5}$；
(2)
答案
11.【解】(1) 原式$=\frac{(x+3)(x+4)}{(x-3)(x-5)} · \frac{(x-2)(x-3)}{(x+4)(x-1)} · \frac{(x-5)(x+1)}{(x+3)(x-2)} = \frac{x+1}{x-1}.$
(2) 原式$=\frac{(x+y)(x-y)}{(x+5y)(x+y)} · \frac{x+5y}{x^2 - y^2 - 2(x-y)}$
$=\frac{x-y}{x+5y} · \frac{x+5y}{(x+y)(x-y)-2(x-y)}$
$=\frac{x-y}{x+5y} · \frac{x+5y}{(x-y)(x+y-2)}$
$=\frac{1}{x+y-2}.$
(2) 原式$=\frac{(x+y)(x-y)}{(x+5y)(x+y)} · \frac{x+5y}{x^2 - y^2 - 2(x-y)}$
$=\frac{x-y}{x+5y} · \frac{x+5y}{(x+y)(x-y)-2(x-y)}$
$=\frac{x-y}{x+5y} · \frac{x+5y}{(x-y)(x+y-2)}$
$=\frac{1}{x+y-2}.$
12. 母题 教材P147例3 如图，A玉米试验田是半径为R m的圆去掉宽为1 m的环形出水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了450 kg.
(1)哪块玉米试验田的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(1)哪块玉米试验田的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
答案
12.【解】(1)A玉米试验田的面积是$π(R-1)^2 \ \mathrm{m}^2$，单位面积产量是$\frac{450}{π(R-1)^2} \ \mathrm{kg/m}^2$；B玉米试验田的面积是$π(R^2-1^2) \ \mathrm{m}^2$，单位面积产量是$\frac{450}{π(R^2-1^2)} \ \mathrm{kg/m}^2$.
$\because (R^2-1^2)-(R-1)^2=2(R-1)＞0, \therefore 0＜(R-1)^2＜R^2-1^2. \therefore \frac{450}{π(R^2-1^2)} ＜ \frac{450}{π(R-1)^2}. \therefore$ A玉米试验田的单位面积产量高.
(2) $\because \frac{450}{π(R-1)^2} ÷ \frac{450}{π(R^2-1^2)} = \frac{450}{π(R-1)^2} × \frac{π(R+1)(R-1)}{450} = \frac{R+1}{R-1}.$
$\therefore$ 高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍.
$\because (R^2-1^2)-(R-1)^2=2(R-1)＞0, \therefore 0＜(R-1)^2＜R^2-1^2. \therefore \frac{450}{π(R^2-1^2)} ＜ \frac{450}{π(R-1)^2}. \therefore$ A玉米试验田的单位面积产量高.
(2) $\because \frac{450}{π(R-1)^2} ÷ \frac{450}{π(R^2-1^2)} = \frac{450}{π(R-1)^2} × \frac{π(R+1)(R-1)}{450} = \frac{R+1}{R-1}.$
$\therefore$ 高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍.
13. /新考法 特征变式法/ 在学习了分式的乘除之后，老师出了这样一道题，计算：$(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})(a^2 - 1)$，同学们都感到无从下手，小明将$a^2 -1$变形为$a(a-\frac{1}{a})$，然后用平方差公式很轻松地得出了结论。你知道他是怎么做的吗？
答案
13.【解】原式$=a(a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})·(a^8+\frac{1}{a^8})=a(a^2-\frac{1}{a^2})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})=a(a^4-\frac{1}{a^4})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})=a(a^8-\frac{1}{a^8})(a^8+\frac{1}{a^8})=a(a^{16}-\frac{1}{a^{16}})=a^{17}-\frac{1}{a^{15}}.$
14. 新考法 规律探究法 (1)计算:$(a+2)(a^2 - 2a + 4)=$
(2)上面的整式乘法的计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含$a,b$的字母表示：
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是 (
A.$(a+3)(a^2 - 3a + 9)$
B.$(2m+n)(2m^2 + 2mn + n^2)$
C.$(4 - x)(16 + 4x - x^2)$
D.$(m - n)(m^2 + 2mn + n^2)$
(4)利用所学知识以及(2)所得等式，化简式子
$a^3+8$
，$(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)=$$8x^3+y^3$
；(2)上面的整式乘法的计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含$a,b$的字母表示：
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
；(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是 (
A
)A.$(a+3)(a^2 - 3a + 9)$
B.$(2m+n)(2m^2 + 2mn + n^2)$
C.$(4 - x)(16 + 4x - x^2)$
D.$(m - n)(m^2 + 2mn + n^2)$
(4)利用所学知识以及(2)所得等式，化简式子
答案
14.【解】(1)$a^3+8$；$8x^3+y^3$
(2)$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3)A
(4)$\frac{m^3+n^3}{m^2-mn+n^2} ÷ \frac{m^2-n^2}{m^2-2mn+n^2} = \frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m^2-mn+n^2} · \frac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)} = m-n.$
(2)$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3)A
(4)$\frac{m^3+n^3}{m^2-mn+n^2} ÷ \frac{m^2-n^2}{m^2-2mn+n^2} = \frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m^2-mn+n^2} · \frac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)} = m-n.$
